1.题目基本信息
1.1.题目描述
给你一个points 数组，表示 2D 平面上的一些点，其中 pointsi = x_i, y_i 。
连接点 x_i, y_i 和点 x_j, y_j 的费用为它们之间的 曼哈顿距离 ：|x_i -- x_j| + |y_i -- y_j| ，其中 |val| 表示 val 的绝对值。
请你返回将所有点连接的最小总费用。只有任意两点之间 有且仅有 一条简单路径时，才认为所有点都已连接。
1.2.题目地址
https://leetcode.cn/problems/min-cost-to-connect-all-points/description/
2.解题方法
2.1.解题思路
最小生成树+Prim算法/Kruskal算法
2.2.解题步骤
Kruskal算法
- 第一步，构建边的堆
- 第二步，构建并查集并初始化节点
- 第三步，从堆中弹出(节点数-1)条非内联边加到并查集中
Prim算法
- 第一步，构建有向图
- 第二步，Prim算法构建最小生成树并获取其权值和
3.解题代码
Python代码（Kruskal算法）（附并查集模板）
python
# # ==> 并查集模板(附优化)
class UnionFind():
def __init__(self):
self.roots={}
self.setCnt=0 # 连通分量的个数
# Union优化:存储根节点主导的集合的总节点数
self.rootSizes={}
def add(self,x):
if x not in self.roots:
self.roots[x]=x
self.rootSizes[x]=1
self.setCnt+=1
def find(self,x):
root=x
while root != self.roots[root]:
root=self.roots[root]
# 优化:压缩路径
while x!=root:
temp=self.roots[x]
self.roots[x]=root
x=temp
return root
def union(self,x,y):
rootx,rooty=self.find(x),self.find(y)
if rootx!=rooty:
# 优化:小树合并到大树上
if self.rootSizes[rootx]<self.rootSizes[rooty]:
self.roots[rootx]=rooty
self.rootSizes[rooty]+=self.rootSizes[rootx]
else:
self.roots[rooty]=rootx
self.rootSizes[rootx]+=self.rootSizes[rooty]
self.setCnt-=1
import heapq
class Solution:
# Kruskal算法
def minCostConnectPoints(self, points: List[List[int]]) -> int:
pcnt=len(points)
# 构建边的堆
edgesHeap=[]
for i in range(pcnt):
for j in range(i+1,pcnt):
dist=abs(points[i][0]-points[j][0])+abs(points[i][1]-points[j][1])
heapq.heappush(edgesHeap,(dist,i,j))
# 构建并查集并初始化节点
uf=UnionFind()
for i in range(pcnt):
uf.add(i)
# 从堆中弹出(节点数-1)条非内联边加到并查集中
addedEdgesCnt=0
minTotalWeight=0
while addedEdgesCnt<pcnt-1:
weight,node1,node2=heapq.heappop(edgesHeap)
if uf.find(node1)!=uf.find(node2):
uf.union(node1,node2)
minTotalWeight+=weight
addedEdgesCnt+=1
return minTotalWeightPython代码（附Prim算法模板）
python
import heapq
from typing import Dict,List
# ==> Prim算法模板：用于计算无向图的最小生成树及最小权值和
# graph:无向图的邻接表；item项例子：{节点:[[相邻边的权值,相邻边对面的节点],...],...}
# return:minWeightsSum为最小生成树的权值和；treeEdges为一个合法的最小生成树的边的列表（列表项：[节点,对面节点,两点之间的边的权值]）；visited为最小生成树的节点，可以用来判断图中是否存在最小生成树
def primMinSpanningTree(graph:List[List[List]]):
minWeightsSum,treeEdges=0,[]
firstNode=0
# 记录已经加入最小生成树的节点
visited=set([firstNode])
# 选择从firstNode开始，相邻的边加到堆中
neighEdgesHeap=[item+[firstNode] for item in graph[firstNode]]
heapq.heapify(neighEdgesHeap)
while neighEdgesHeap:
weight,node,startNode=heapq.heappop(neighEdgesHeap) # node2为node的weight权值对应的边的对面的节点
if node in visited: # 这个地方必须进行判断，否则会造成重复添加已访问节点，造成最小权值和偏大（因为前面遍历的节点可能将未遍历的共同相邻节点重复添加到堆中）
continue
minWeightsSum+=weight
treeEdges.append([startNode,node,weight])
visited.add(node)
# 遍历新访问的节点的边，加入堆中
for nextWeight,nextNode in graph[node]:
if nextNode not in visited:
heapq.heappush(neighEdgesHeap,[nextWeight,nextNode,node])
return minWeightsSum,treeEdges,visited
class Solution:
# Prim算法
def minCostConnectPoints(self, points: List[List[int]]) -> int:
pcnt=len(points)
# 第一步，构建有向图
graph=[[] for i in range(pcnt)]
for i in range(pcnt):
for j in range(i+1,pcnt):
dist=abs(points[i][0]-points[j][0])+abs(points[i][1]-points[j][1])
graph[i].append([dist,j])
graph[j].append([dist,i])
# print(graph)
# 第二步，Prim算法构建最小生成树并获取其权值和
minTotalDist,_,_=primMinSpanningTree(graph)
# print(minTotalDist)
return minTotalDist4.执行结果
