动态规划---2466. 统计构造好字符串的方案数
题目描述
前言
在本问题中，我们需要计算构建良好字符串的方式。给定两个整数 low 和 high，表示字符串的最小和最大长度，以及两个字符 zero 和 one，我们的任务是找到用这两个字符构建字符串的所有可能方式，确保构建的字符串长度在 low 到 high 之间。
基本思路
1. 问题定义
我们需要找出所有由字符 0 和 1 组成的字符串，其长度在 low 到 high 之间，并且字符串的构建方式是根据提供的字符构建。
举例：
- 输入：
low = 3,high = 3,zero = "0",one = "1" - 输出：
1 - 解释：只有一种可能的字符串：
"111"，长度在范围内。
2. 理解问题和递推关系
动态规划思想：
我们可以使用动态规划来计算构建字符串的方式。定义一个数组 dp[i]，表示构建长度为 i 的字符串的方式。
状态定义：
dp[i]表示构建长度为i的字符串的方式数量。
状态转移方程：
- 对于每个长度
i，我们可以从长度i-1的字符串添加字符1，或者从长度i-2的字符串添加字符0：
d p [ i ] = d p [ i − 1 ] + d p [ i − 2 ] dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]- 其中
dp[i - 1]是从长度i-1加上字符1的构建方式，dp[i - 2]是从长度i-2加上字符0的构建方式。
- 其中
边界条件：
dp[0] = 1：表示构建长度为 0 的字符串有 1 种方式（即空字符串）。dp[1] = 1：表示构建长度为 1 的字符串只有 1 种方式（即字符1）。
3. 解决方法
动态规划方法
- 初始化 ：创建一个大小为
high + 1的dp数组，初始时dp[0] = 1，dp[1] = 1。 - 状态转移 ：遍历从
2到high，更新dp[i]的值。 - 结果计算 ：将
dp数组中low到high的所有值相加，得到构建的总方式。
伪代码：
initialize dp array with dp[0] = 1, dp[1] = 1
for i from 2 to high:
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
total_ways = sum(dp[i] for i in range(low, high + 1))
return total_ways
4. 进一步优化
- 时间复杂度 ：时间复杂度为
O(high)，因为我们只需遍历到high。 - 空间复杂度 ：空间复杂度为
O(high)，因为需要一个dp数组。
5. 小总结
- 递推思路 ：通过动态规划逐步构建
dp数组，从最小长度开始递推，计算出构建的所有方式。 - 时间复杂度 ：时间复杂度为
O(high)，适合处理中等规模的输入。
以上就是统计构造好字符串的方案数问题的基本思路。
Python代码
python
class Solution:
def countGoodStrings(self, low: int, high: int, zero: int, one: int) -> int:
MOD = 10**9 + 7
# dp[i] 表示长度为 i 的良好字符串的数量
dp = [0] * (high + 1)
dp[0] = 1 # 空字符串的方式
for i in range(1, high + 1):
if i >= one:
dp[i] = (dp[i] + dp[i - one]) % MOD # 添加字符 '1'
if i >= zero:
dp[i] = (dp[i] + dp[i - zero]) % MOD # 添加字符 '0'
# 计算从 low 到 high 的总和
total_ways = sum(dp[i] for i in range(low, high + 1)) % MOD
return total_waysPython代码解释
- 初始化 ：定义
dp数组，dp[i]表示构建长度为i的字符串的方式，初始时dp[0] = 1。 - 动态规划递推 ：遍历长度
1到high，更新dp[i]，即计算出当前长度i的字符串的构建方式。 - 结果计算 ：求和
low到high的所有方式，返回结果。
C++代码
cpp
class Solution {
public:
int countGoodStrings(int low, int high, int zero, int one) {
const int MOD = 1e9 + 7;
// dp[i] 表示长度为 i 的良好字符串的数量
vector<long long> dp(high + 1, 0);
dp[0] = 1; // 空字符串的方式
for (int i = 1; i <= high; ++i) {
if (i >= one) {
dp[i] = (dp[i] + dp[i - one]) % MOD; // 添加字符 '1'
}
if (i >= zero) {
dp[i] = (dp[i] + dp[i - zero]) % MOD; // 添加字符 '0'
}
}
// 计算从 low 到 high 的总和
long long total_ways = 0;
for (int i = low; i <= high; ++i) {
total_ways = (total_ways + dp[i]) % MOD;
}
return total_ways;
}
};C++代码解释
- 初始化 ：定义
dp数组，dp[i]表示构建长度为i的字符串的方式，初始时dp[0] = 1。 - 动态规划递推 ：遍历长度
1到high，更新dp[i]，即计算出当前长度i的字符串的构建方式。 - 结果计算 ：求和
low到high的所有方式，返回结果。
总结
- 核心思想 ：通过动态规划计算构建字符串的方式，使用状态转移方程
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]来更新每个长度的构建方式。 - 时间复杂度 ：时间复杂度为
O(high)，因为只需遍历到high。 - 空间复杂度 ：空间复杂度为
O(high)，因为需要一个dp数组。