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方程
d 2 y d x 2 + P ( x ) d y d x + Q ( x ) = f ( x ) (1) \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = f(x) \tag{1} dx2d2y+P(x)dxdy+Q(x)=f(x)(1)
叫做二阶线性微分方程 。当方程右端 f ( x ) ≡ 0 f(x) \equiv 0 f(x)≡0 时，方程叫做齐次 的；当 f ( x ) ≢ 0 f(x) \not\equiv 0 f(x)≡0 时，方程叫做非齐次的。
一、线性微分方程的解的结构
先讨论二阶齐次线性方程
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 (2) y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 \tag{2} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(2)
定理1 如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) 与 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x) 是方程 ( 2 ) (2) (2) 的两个解，那么
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) (3) y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \tag{3} y=C1y1(x)+C2y2(x)(3)
也是 ( 2 ) (2) (2) 的解，其中 C 1 , C 2 C_1, C_2 C1,C2 是任意常数。
设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋯ , y n ( x ) y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x) y1(x),y2(x),⋯,yn(x) 为定义在区间 I I I 上的 n n n 个函数，如果存在 n n n 个不全为零 的常数 k 1 , k 2 , ⋯ , k n k_1, k_2, \cdots, k_n k1,k2,⋯,kn，使得当 x ∈ I x \in I x∈I 时恒有等式
k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋯ + k n y n ≡ 0 k_1y_1 + k_2y_2 + \cdots + k_ny_n \equiv 0 k1y1+k2y2+⋯+knyn≡0
成立，那么称这 n n n 个函数在区间 I I I 上线性相关 ；否则称线性无关。
对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数：如果比为常数，那么它们是线性相关的；否则就线性无关。
定理2 如果 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) 与 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x) 是方程 ( 2 ) (2) (2) 的两个线性无关 的特解，那么
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) ( C 1 , C 2 是任意常数 ) y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \quad (C_1, C_2 是任意常数) y=C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2是任意常数)
就是方程 ( 2 ) (2) (2) 的通解。
定理2推广到 n n n 阶齐次线性方程，得到如下推论
推论 如果 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋯ , y n ( x ) y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x) y1(x),y2(x),⋯,yn(x) 是 n n n 阶齐次线性方程
y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋯ + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = 0 y^{(n)} + a_1(x) y^{(n - 1)} + \cdots + a_{n - 1}(x) y' + a_n(x) y = 0 y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=0
的 n n n 个线性无关的解，那么此方程的通解为
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + ⋯ + C n y n ( x ) , y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \cdots + C_n y_n(x) , y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋯+Cnyn(x),
其中 C 1 , C 2 , ⋯ , C n C_1, C_2, \cdots, C_n C1,C2,⋯,Cn 为任意常数。
定理3 设 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x) 是二阶非齐次线性方程
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) (4) y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) \tag{4} y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(4)
的一个特解， Y ( x ) Y(x) Y(x) 是与 ( 4 ) (4) (4) 对应的齐次方程 ( 2 ) (2) (2) 的通解，则
y = Y ( x ) + y ∗ ( x ) (5) y = Y(x) + y^*(x) \tag{5} y=Y(x)+y∗(x)(5)
是二阶非齐次线性微分方程 ( 4 ) (4) (4) 的通解。
定理4 设非齐次线性方程 ( 4 ) (4) (4) 的右端 f ( x ) f(x) f(x) 是两个函数之和，即
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) , y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) + f_2(x) , y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x),
而 y 1 ∗ ( x ) y_1^* (x) y1∗(x) 与 y 2 ∗ y_2^* y2∗ 分别是方程
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)
与
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 2 ( x ) y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)
的特解，则 y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_1^* (x) + y_2^* (x) y1∗(x)+y2∗(x) 就是原方程得特解。
这一定理通常称为线性微分方程的解的叠加原理。
定理3和定理4也可推广到 n n n 阶非齐次线性方程。
*二、常数变易法
常数变易法也适用于解高阶线性微分方程。
如果已知齐次方程 ( 2 ) (2) (2) 的通解为
Y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) Y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) Y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)
那么，可以用如下的常数变易法去求非齐次方程 ( 4 ) (4) (4) 的通解，令
y = y 1 ( x ) v 1 + y 2 ( x ) v 2 (6) y = y_1(x) v_1 + y_2(x) v_2 \tag{6} y=y1(x)v1+y2(x)v2(6)
要确定未知函数 v 1 ( x ) v_1(x) v1(x) 及 v 2 ( x ) v_2(x) v2(x) 使 ( 6 ) (6) (6) 式所表示的函数满足非齐次方程 ( 4 ) (4) (4)。为此，对 ( 6 ) (6) (6) 求导，得
y ′ = y 1 v 1 ′ + y 2 v 2 ′ + y 1 ′ v 1 + y 2 ′ v 2 . y' = y_1 v_1' + y_2 v_2' + y_1' v_1 + y_2' v_2 . y′=y1v1′+y2v2′+y1′v1+y2′v2.
由于两个未知函数 v 1 , v 2 v_1, v_2 v1,v2 只需使 ( 6 ) (6) (6) 所表示的函数满足一个关系式 ( 4 ) (4) (4) 。所以可规定它们再满足一个关系式。从 y ′ y' y′ 的上述表示式可看出，为了使 y ′ ′ y'' y′′ 的表示式中不含 v 1 ′ ′ v_1'' v1′′ 和 v 2 ′ ′ v_2'' v2′′，可设
y 1 v 1 ′ + y 2 v 2 ′ = 0 (7) y_1 v_1' + y_2 v_2' = 0 \tag{7} y1v1′+y2v2′=0(7)
从而
y ′ = y 1 ′ v 1 + y 2 ′ v 2 y' = y_1' v_1 + y_2' v_2 y′=y1′v1+y2′v2
再求导，得
y ′ ′ = y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ + y 1 ′ ′ v 1 + y 2 ′ ′ v 2 y'' = y_1' v_1' + y_2' v_2' +y_1'' v_1 + y_2'' v_2 y′′=y1′v1′+y2′v2′+y1′′v1+y2′′v2
把 y , y ′ , y ′ ′ y, y', y'' y,y′,y′′ 代入方程 ( 4 ) (4) (4) ，得
y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ + y 1 ′ ′ v 1 + y 2 ′ ′ v 2 + P ( y 1 ′ v 1 + y 2 ′ v 2 ) + Q ( y 1 v 1 , y 2 v 2 ) = f y_1' v_1' + y_2' v_2' +y_1'' v_1 + y_2'' v_2 + P(y_1' v_1 + y_2' v_2) + Q(y_1 v_1, y_2 v_2) = f y1′v1′+y2′v2′+y1′′v1+y2′′v2+P(y1′v1+y2′v2)+Q(y1v1,y2v2)=f
整理，得
y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ + ( y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 ) v 1 + ( y 2 ′ ′ + P y 2 ′ + Q y 2 ) v 2 = f y_1' v_1' + y_2' v_2' + (y_1'' + Py_1' + Qy_1) v_1 + (y_2'' + Py_2' + Qy_2)v_2 = f y1′v1′+y2′v2′+(y1′′+Py1′+Qy1)v1+(y2′′+Py2′+Qy2)v2=f
注意到 y 1 y_1 y1 及 y 2 y_2 y2 是齐次方程 ( 2 ) (2) (2) 的解，故上式即为
y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ = f (8) y_1' v_1' + y_2' v_2' = f \tag{8} y1′v1′+y2′v2′=f(8)
联立方程 ( 7 ) (7) (7) 与 ( 8 ) (8) (8) ，在系数行列式
W = ∣ y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ ∣ = y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 ≠ 0 W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_1' y_2 \neq 0 W= y1y1′y2y2′ =y1y2′−y1′y2=0
时，可解得
v 1 ′ = − y 2 f W , v 2 ′ = y 1 f W . v_1' = - \cfrac{y_2 f}{W}, \quad v_2' = \cfrac{y_1 f}{W} . v1′=−Wy2f,v2′=Wy1f.
对上两式积分（假定 f ( x ) f(x) f(x) 连续），得
v 1 = C 1 + ∫ ( − y 2 f W ) d x , v 2 = C 2 + ∫ y 1 f W d x . v_1 = C_1 + \int \left( - \cfrac{y_2 f}{W} \right) \mathrm{d}x, \quad v_2 = C_2 + \int \cfrac{y_1 f}{W} \mathrm{d}x . v1=C1+∫(−Wy2f)dx,v2=C2+∫Wy1fdx.
于是得非齐次方程 ( 1 ) (1) (1) 的通解为
y = C 1 y 1 + C 2 y 2 − y 1 ∫ y 2 f W d x + y 2 ∫ y 1 f W d x . y = C_1 y_1 + C_2 y_2 - y_1 \int \cfrac{y_2 f}{W} \mathrm{d}x + y_2 \int \cfrac{y_1 f}{W} \mathrm{d}x . y=C1y1+C2y2−y1∫Wy2fdx+y2∫Wy1fdx.
例1 已知齐次方程 ( x − 1 ) y ′ ′ − x y ′ + y = 0 (x - 1)y'' - xy' + y = 0 (x−1)y′′−xy′+y=0 的通解为 Y ( x ) = C 1 x + C 2 e x Y(x) = C_1 x + C_2 \mathrm{e}^x Y(x)=C1x+C2ex，求非齐次方程 ( x − 1 ) y ′ ′ − x y ′ + y = ( x − 1 ) 2 (x - 1)y'' - xy' + y = (x - 1)^2 (x−1)y′′−xy′+y=(x−1)2 的通解。
解：把所给方程写成标准形式
y ′ ′ − x x − 1 y ′ + 1 x − 1 = x − 1 y'' - \cfrac{x}{x - 1} y' + \cfrac{1}{x - 1} = x - 1 y′′−x−1xy′+x−11=x−1
令 y = x v 1 + e x v 2 y = xv_1 + \mathrm{e}^x v_2 y=xv1+exv2，按照
{ y 1 v 1 ′ + y 2 v 2 ′ = 0 y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ = f \begin{cases} y_1 v_1' + y_2 v_2' = 0 \\ y_1' v_1' + y_2' v_2' = f \end{cases} {y1v1′+y2v2′=0y1′v1′+y2′v2′=f
有
{ x v 1 ′ + e x v 2 ′ = 0 v 1 ′ + e x v 2 ′ = x − 1 \begin{cases} xv_1' + \mathrm{e}^x v_2' = 0 \\ v_1' + \mathrm{e}^x v_2' = x - 1 \end{cases} {xv1′+exv2′=0v1′+exv2′=x−1
解得
v 1 ′ = − 1 , v 2 ′ = x e − x . v_1' = -1, \quad v_2' = x \mathrm{e}^{-x} . v1′=−1,v2′=xe−x.
积分，得
v 1 = C 1 − x , v 2 = C 2 − ( x + 1 ) e − x . v_1 = C_1 - x, \quad v_2 = C_2 - (x + 1)\mathrm{e}^{-x} . v1=C1−x,v2=C2−(x+1)e−x.
于是所求非齐次方程的通解为
y = C 1 x + C 2 e x − ( x 2 + x + 1 ) . y = C_1 x + C_2 \mathrm{e}^x - (x^2 + x + 1). y=C1x+C2ex−(x2+x+1).
如果只知齐次方程 ( 2 ) (2) (2) 的一个不恒为零的解 y 1 ( x ) y_1 (x) y1(x) ，那么，利用变换 y = u y 1 ( x ) y = u y_1 (x) y=uy1(x)，可把非齐次方程 ( 1 ) (1) (1) 化为一阶线性方程。
事实上，把
y = y 1 u , y ′ = y 1 u ′ + y 1 ′ u , y ′ ′ = y 1 u ′ ′ + 2 y 1 ′ u ′ + y 1 ′ ′ u y = y_1 u, y' = y_1 u' + y_1' u, y'' = y_1 u'' + 2 y_1' u' + y_1'' u y=y1u,y′=y1u′+y1′u,y′′=y1u′′+2y1′u′+y1′′u
代入方程 ( 1 ) (1) (1)，得
y 1 u ′ ′ + 2 y 1 ′ u ′ + y 1 ′ ′ u + P ( y 1 u ′ + y 1 ′ u ) + Q y 1 u = f , y_1 u'' + 2 y_1' u' + y_1'' u + P(y_1 u' + y_1' u) + Qy_1 u = f, y1u′′+2y1′u′+y1′′u+P(y1u′+y1′u)+Qy1u=f,
即
y 1 u ′ ′ + ( 2 y 1 ′ + P y 1 ) u ′ + ( y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 ) u = f , y_1 u'' + (2y_1' + Py_1)u' + (y_1'' + Py_1' + Qy_1)u = f, y1u′′+(2y1′+Py1)u′+(y1′′+Py1′+Qy1)u=f,
由于 y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 ≡ 0 y_1'' + Py_1' + Qy_1 \equiv 0 y1′′+Py1′+Qy1≡0，故上式为
y 1 u ′ ′ + ( 2 y 1 ′ + P y 1 ) u ′ = f . y_1u'' + (2y_1' + Py_1) u' = f. y1u′′+(2y1′+Py1)u′=f.
令 u ′ = z u' = z u′=z ，上式即化为一阶线性方程
y 1 z ′ + ( 2 y 1 ′ + P y 1 ) z = f . (9) y_1 z' + (2y_1' + Py_1) z = f. \tag{9} y1z′+(2y1′+Py1)z=f.(9)
把方程 ( 4 ) (4) (4) 化为方程 ( 9 ) (9) (9) 以后，按一阶线性方程的解法，设求得方程 ( 9 ) (9) (9) 的通解为
z = C 2 Z ( x ) + z ∗ ( x ) z = C_2 Z(x) + z^* (x) z=C2Z(x)+z∗(x)
积分得
u = C 1 + C 2 U ( x ) + u ∗ ( x ) ( 其中 U ′ ( x ) = Z ( x ) , u ∗ ′ ( x ) = z ∗ ( x ) ) , u = C_1 + C_2 U(x) + u^* (x) \quad (其中 U'(x) = Z(x), u^{*'}(x) = z^* (x)) , u=C1+C2U(x)+u∗(x)(其中U′(x)=Z(x),u∗′(x)=z∗(x)),
上式两端同乘 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)，便得方程 ( 4 ) (4) (4) 的通解
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 U ( x ) y 1 ( x ) + u ∗ ( x ) y 1 ( x ) y = C_1 y_1(x) + C_2 U(x) y_1 (x) + u^* (x) y_1 (x) y=C1y1(x)+C2U(x)y1(x)+u∗(x)y1(x)
上述方法也适用于求齐次方程 ( 2 ) (2) (2) 的通解。
例2 已知 y 1 ( x ) = e x y_1 (x) = \mathrm{e}^x y1(x)=ex 是齐次方程 y ′ ′ − 2 y ′ + y = 0 y'' - 2y' + y = 0 y′′−2y′+y=0 的解，求非齐次方程 y ′ ′ − 2 y ′ + y = 1 x e x y'' - 2y' + y = \cfrac{1}{x} \mathrm{e}^x y′′−2y′+y=x1ex .
解：令 y = e x u y = \mathrm{e}^x u y=exu，则 y ′ = e x ( u ′ + u ) , y ′ ′ = e x ( u ′ ′ + 2 u ′ + u ) y' = \mathrm{e}^x (u' + u), y'' = \mathrm{e}^x (u'' + 2u' + u) y′=ex(u′+u),y′′=ex(u′′+2u′+u) ，代入非齐次方程，得
e x ( u ′ ′ + 2 u ′ + u ) − 2 e x ( u ′ + u ) + e x u = 1 x e x , \mathrm{e}^x (u'' + 2u' + u) - 2 \mathrm{e}^x (u' + u) + \mathrm{e}^x u = \cfrac{1}{x} \mathrm{e}^x , ex(u′′+2u′+u)−2ex(u′+u)+exu=x1ex,
即
e x u = 1 x e x , u ′ ′ = 1 x . \mathrm{e}^x u = \cfrac{1}{x} \mathrm{e}^x, \quad u'' = \cfrac{1}{x} . exu=x1ex,u′′=x1.
只要直接积分，便得
u ′ = C + ln ∣ x ∣ , u' = C + \ln |x| , u′=C+ln∣x∣,
再积分得
u = C 1 + C x + x ln ∣ x ∣ − x , u = C_1 + Cx + x \ln |x| - x , u=C1+Cx+xln∣x∣−x,
即
u = C 1 + C 2 x + x ln ∣ x ∣ ( C 2 = C − 1 ) . u = C_1 + C_2 x + x \ln |x| \quad (C_2 = C - 1). u=C1+C2x+xln∣x∣(C2=C−1).
于是所求通解为
y = C 1 e x + C 2 x e x + x e x ln ∣ x ∣ . y = C_1 \mathrm{e}^x + C_2 x \mathrm{e}^x + x \mathrm{e}^x \ln |x| . y=C1ex+C2xex+xexln∣x∣.
原文链接：高等数学 7.6高阶线性微分方程