相机外参与相机位姿深度理解

文章目录

- - [1. 外参矩阵的定义](#1. 外参矩阵的定义)
  - [2. 相机姿态推导](#2. 相机姿态推导)
  - - [2.1 相机的位置](#2.1 相机的位置)
    - [2.2 相机的朝向（姿态）](#2.2 相机的朝向（姿态）)
  - [3. 具体步骤总结](#3. 具体步骤总结)
  - [4. 示例](#4. 示例)

外参描述了相机在世界坐标系中的位置和朝向，即它将世界坐标转换为相机坐标的几何变换。具体来说，外参包括一个 旋转矩阵 R R R 和一个 平移向量 t t t，它们共同构成了将世界坐标变换到相机坐标系的刚体变换。

1. 外参矩阵的定义

外参矩阵通常表示为一个 3 × 4 3 \times 4 3×4 的矩阵，形式如下：
[ R t ] \begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix} [Rt]

其中：

R R R 是一个 3 × 3 3 \times 3 3×3 的旋转矩阵，它描述了相机的朝向（姿态）。
t t t 是一个 3 × 1 3 \times 1 3×1 的平移向量，它描述了相机相对于世界坐标系的平移。

该矩阵的作用是将世界坐标系下的点 P w = ( X w , Y w , Z w ) ⊤ \mathbf{P}_w = (X_w, Y_w, Z_w)^\top Pw=(Xw,Yw,Zw)⊤ 转换为相机坐标系下的点 P c = ( X c , Y c , Z c ) ⊤ \mathbf{P}_c = (X_c, Y_c, Z_c)^\top Pc=(Xc,Yc,Zc)⊤：

P c = R P w + t \mathbf{P}_c = R \mathbf{P}_w + t Pc=RPw+t

可以将这个过程写成齐次坐标形式，方便描述：

[ X c Y c Z c 1 ] = [ R t 0 1 ] [ X w Y w Z w 1 ] \begin{equation} \begin{bmatrix} X_c \\ Y_c \\ Z_c \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} \end{equation} XcYcZc1 =[R0t1] XwYwZw1

这其中的 [ R t 0 1 ] \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [R0t1] 矩阵就是外参矩阵的扩展形式（齐次变换矩阵）。

2. 相机姿态推导

我们关心的是如何从外参矩阵 [ R t ] \begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix} [Rt] 中推导出相机在世界坐标系中的姿态，即旋转和位置。

2.1 相机的位置

相机的世界坐标位置 C \mathbf{C} C 是通过将相机坐标原点逆变换到世界坐标系中获得的。相机坐标系中的原点在相机坐标下是 P c = ( 0 , 0 , 0 ) ⊤ \mathbf{P}_c = (0, 0, 0)^\top Pc=(0,0,0)⊤，因此有：
R C + t = 0 R \mathbf{C} + t = 0 RC+t=0

解得相机在世界坐标系中的位置为：
C = − R − 1 t \mathbf{C} = -R^{-1} t C=−R−1t

由于旋转矩阵 R R R 是正交矩阵，所以 R − 1 = R ⊤ R^{-1} = R^\top R−1=R⊤，因此相机位置可以表示为：
C = − R ⊤ t \mathbf{C} = -R^\top t C=−R⊤t

2.2 相机的朝向（姿态）

相机的姿态由旋转矩阵 R R R 表示，它将世界坐标系中的方向向量旋转到相机坐标系中。具体来说，旋转矩阵的列向量表示世界坐标系中基向量在相机坐标系中的方向。

因此， R R R 描述了相机相对于世界坐标系的旋转。如果想得到相机在世界坐标系中的姿态，可以求 R R R 的转置矩阵 R ⊤ R^\top R⊤，因为 R R R 将世界坐标系变换到相机坐标系，而 R ⊤ R^\top R⊤ 则是反向变换，即从相机坐标系变回世界坐标系的旋转。

3. 具体步骤总结

要从外参推导相机在世界坐标系中的姿态，步骤如下：

提取旋转矩阵 R R R ：从外参矩阵 P = [ R t ] P = \begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix} P=[Rt] 中提取前 3 × 3 3 \times 3 3×3 的部分 R R R，这就是旋转矩阵，表示相机的朝向。
提取平移向量 t t t ：从外参矩阵提取最后的 3 × 1 3 \times 1 3×1 部分 t t t，表示相机的平移。
计算相机位置 C \mathbf{C} C ：通过公式 C = − R ⊤ t \mathbf{C} = -R^\top t C=−R⊤t 得到相机的世界坐标系中的位置。
相机的朝向 ：旋转矩阵 R R R 直接描述了世界坐标系如何转换到相机坐标系。如果需要相机在世界坐标系中的姿态（即从相机坐标系转换到世界坐标系），使用 R ⊤ R^\top R⊤ 作为反向旋转矩阵。

4. 示例

把前后左右四个相机用opencv viz模块绘制出来。

cpp 复制代码

TEST(Demo, DemoOfCamera)
{
    Sentinel_Config sentinel_config = GetDefaultConfig();

    Camera2World front_camera2world(sentinel_config.front_yaml_path);
    Camera2World rear_camera2world(sentinel_config.rear_yaml_path);
    Camera2World left_camera2world(sentinel_config.left_yaml_path);
    Camera2World right_camera2world(sentinel_config.right_yaml_path);


    // visualize camera
    cv::viz::Viz3d window("Coordinate Frame");

    auto visualize_function = [&](Camera2World &camera2world, std::string widget_name)
    {
        
        cv::Matx33d K = camera2world.camera_param.para_K;
        cv::Matx33d R = camera2world.camera_param.Rcw;
        cv::Vec3d T = camera2world.camera_param.Tcw;

        cv::Vec3d camera_position = -R.t() * T;

        cv::viz::WCameraPosition cam(0.5); // Coordinate axes
        cv::viz::WCameraPosition cam_frustum(K, 0.5, cv::viz::Color::green()); // Camera frustum

        window.showWidget(widget_name, cam);
        window.showWidget(widget_name+" frustum", cam_frustum);

        // set the viewer pose
        cv::Affine3d cam_pose(R.t(), camera_position);
        window.setWidgetPose(widget_name, cam_pose);
        window.setWidgetPose(widget_name+" frustum", cam_pose);
    };


    visualize_function(front_camera2world, "Front Camera");
    visualize_function(rear_camera2world, "Rear Camera");
    visualize_function(left_camera2world, "Left Camera");
    visualize_function(right_camera2world, "Right Camera");

    // visualize world
    cv::viz::WCoordinateSystem world_coor(1.0);
    window.showWidget("World", world_coor);

    window.spin();

}

camera_position