命题:
设G为一个群,e是G中的单位元,a∈G,m,n,k∈Z₊,则:
(1)若|a|=k,a^m = e,则k|m;
(2)若m|k,n|k且(m,n)=1,则mn|k;
(3)若m|kn,(m,n)=1,则m|k。
【注:S₃中,|(12)|=2,|(123)|=3,但|(12)(123)| = 2,因此|ab|未必等于|a|×|b|。】
例1:设(G,o)是一个群,a,b∈G,且:
(1)a o b = b o a,|a| = m,|b| = n;
(2)(m,n) = 1。
证明:|a o b| = m×n。
证:设|a o b| = k,下证k = m×n。
(1)∵a o b = b o a,∴(a o b)^mn = a^mn o b^mn = (a^m)^n o (b^n)^m = e^n o e^m = e,
所以k|mn;
(2)∵(m,n) = 1,∴(根据上面的命题)只需证m|k且n|k,
a^kn = a^kn o e = a^kn o b^kn = (a o b)^kn = ((a o b)^k)^n = e,
∴有m|kn,同理可得n|km,
∴m|k,n|k(因为m与n互素),
所以mn|k。
综上所述,可得k = mn。
例2:设(G,o)是一个群,~是G中的一个等价关系(元之间),并且对任意的a,x₁,x₂∈G,由a o x₁ ~ a o x₂可推出x₁ ~ x₂。
证明,G中与单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群。
证:设H = {x∈G|x ~ e},往证H≤G,使用子群的第一判定定理:
(1)∵~是等价关系,具有自反性,∴e ~ e,∴e∈H,从而H≠∅;
(2)对∀a,b∈H,有a ~ e,b ~ e,
由b ~ e可得(左右两端均左乘(a^(-1) o a)):(a^(-1) o a) o b ~ (a^(-1) o a) o e = a^(-1) o a,
从而(两边消去a^(-1)):a o b ~ a,
又a ~ e,根据等价关系的传递性,可得a o b ~ e,
所以a o b∈H;
(3)对∀a∈H,有a ~ e,
从而a o e ~ a o a^(-1)(= e),两边消去a,得e ~ a^(-1),根据等价关系的对称性,有a^(-1) ~ e,所以a^(-1)∈H。
综上所述,根据子群的第一判定定理,可得H≤G。
不变子群和商群
例3:设H = {(1),(12)}≤S₃。
(1)写出H在S₃中的左陪集(1)H,(13)H,(23)H;
(2)写出H在S₃中的右陪集H(1),H(13),H(23);
(3)Sl = {(1)H,(13)H,(23)H}是否为H在S₃中的左陪集分解;
(4)Sr = {H(1),H(13),H(23)}是否为H在S₃中的右陪集分解;
(5)设S₃/H = {(1)H,(13)H,(23)H},规定aH·bH = (ab)H,判断S₃/H关于给定乘法能否作成群,若能,判断与哪个已知群同构。
(6)我们知,A₄/K₄关于左陪集乘法aK₄·bK₄ = (ab)K₄能作成群,与(5)比较结果。
解:(1)(1)H = {(1),(12)},(13)H = {(13),(123)},(23)H = {(123),(132)},
(2)H(1) = {(1),(12)},H(13) = {(13),(132)},H(23) = {(23),(123)},
(3)是。
(4)是。
(5)不能。因为(13)H·(23)H = (132)H∉S₃/H,封闭性不满足。
(6)并不是每一个子群的左陪集分解关于左陪集乘法都能作成群,左陪集和右陪集对应相等的子群才可以(即aH = Ha),否则不行。
定义:
设N≤G,若∀a∈G,有aN = Na,则称N是G的不变子群(正规子群),记为N⊿G。
[注:三角形符号应该是顶角朝向左边的等腰三角形,找不到这个符号所以用个近似的代替了]
N的一个左陪集(也是右陪集)称为N的一个陪集。
(待续......)