命题：
设G为一个群，e是G中的单位元，a∈G，m,n,k∈Z₊，则：
（1）若|a|=k，a^m = e，则k|m；
（2）若m|k,n|k且(m,n)=1，则mn|k；
（3）若m|kn，(m,n)=1，则m|k。
【注：S₃中，|(12)|=2，|(123)|=3，但|(12)(123)| = 2，因此|ab|未必等于|a|×|b|。】
例1：设(G,o)是一个群，a,b∈G，且：
（1）a o b = b o a，|a| = m，|b| = n；
（2）(m,n) = 1。
证明：|a o b| = m×n。
证：设|a o b| = k，下证k = m×n。
（1）∵a o b = b o a，∴(a o b)^mn = a^mn o b^mn = (a^m)^n o (b^n)^m = e^n o e^m = e，
所以k|mn；
（2）∵(m,n) = 1，∴（根据上面的命题）只需证m|k且n|k，
a^kn = a^kn o e = a^kn o b^kn = (a o b)^kn = ((a o b)^k)^n = e，
∴有m|kn，同理可得n|km，
∴m|k，n|k（因为m与n互素），
所以mn|k。
综上所述，可得k = mn。
例2：设(G,o)是一个群，~是G中的一个等价关系（元之间），并且对任意的a,x₁,x₂∈G，由a o x₁ ~ a o x₂可推出x₁ ~ x₂。
证明，G中与单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群。
证：设H = {x∈G|x ~ e}，往证H≤G，使用子群的第一判定定理：
（1）∵~是等价关系，具有自反性，∴e ~ e，∴e∈H，从而H≠∅；
（2）对∀a,b∈H，有a ~ e，b ~ e，
由b ~ e可得（左右两端均左乘(a^(-1) o a)）：(a^(-1) o a) o b ~ (a^(-1) o a) o e = a^(-1) o a，
从而（两边消去a^(-1)）：a o b ~ a，
又a ~ e，根据等价关系的传递性，可得a o b ~ e，
所以a o b∈H；
（3）对∀a∈H，有a ~ e，
从而a o e ~ a o a^(-1)(= e)，两边消去a，得e ~ a^(-1)，根据等价关系的对称性，有a^(-1) ~ e，所以a^(-1)∈H。
综上所述，根据子群的第一判定定理，可得H≤G。
不变子群和商群
例3：设H = {(1),(12)}≤S₃。
（1）写出H在S₃中的左陪集(1)H,(13)H,(23)H；
（2）写出H在S₃中的右陪集H(1),H(13),H(23)；
（3）Sl = {(1)H,(13)H,(23)H}是否为H在S₃中的左陪集分解；
（4）Sr = {H(1),H(13),H(23)}是否为H在S₃中的右陪集分解；
（5）设S₃/H = {(1)H,(13)H,(23)H}，规定aH·bH = (ab)H，判断S₃/H关于给定乘法能否作成群，若能，判断与哪个已知群同构。
（6）我们知，A₄/K₄关于左陪集乘法aK₄·bK₄ = (ab)K₄能作成群，与（5）比较结果。
解：（1）(1)H = {(1),(12)}，(13)H = {(13),(123)}，(23)H = {(123),(132)}，
（2）H(1) = {(1),(12)}，H(13) = {(13),(132)}，H(23) = {(23),(123)}，
（3）是。
（4）是。
（5）不能。因为(13)H·(23)H = (132)H∉S₃/H，封闭性不满足。
（6）并不是每一个子群的左陪集分解关于左陪集乘法都能作成群，左陪集和右陪集对应相等的子群才可以（即aH = Ha），否则不行。
定义：
设N≤G，若∀a∈G，有aN = Na，则称N是G的不变子群（正规子群），记为N⊿G。
注：三角形符号应该是顶角朝向左边的等腰三角形，找不到这个符号所以用个近似的代替了
N的一个左陪集（也是右陪集）称为N的一个陪集。
（待续......）