【划分型 DP-最优划分】【腾讯笔试压轴】【hard】力扣132. 分割回文串 II

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。

返回符合要求的最少分割次数。

示例 1：

输入：s = "aab"

输出：1

解释：只需一次分割就可将 s 分割成 $"aa","b"$ 这样两个回文子串。

示例 2：

输入：s = "a"

输出：0

示例 3：

输入：s = "ab"

输出：1

提示：

1 <= s.length <= 2000

s 仅由小写英文字母组成

动态规划

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minCut(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> g(n, vector<bool>(n, true));
        for(int i = n-1; i >= 0; i--){
            for(int j = i+1; j < n; j++){
                g[i][j] = s[i] == s[j] && g[i+1][j-1];
            }
        }

        vector<int> f(n, INT_MAX);
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(g[0][j]){
                f[j] = 0;
            }
            else{
                for(int i = 0; i < j; i++){
                    if(g[i+1][j]){
                        f[j] = min(f[j], f[i] + 1);
                    }
                }
            }
        }
        return f[n-1];
    }
};

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)

这道题最关键的部分是我们要对字符串s进行处理，我们通过一个二维数组来记录字符串的各个部分是否是回文字符串。

我们定义一个二维数组g $i$ $j$ 来表示字符串 $i...j$ 这一段是否是回文串。在检查是否是回文串的时候，我们只需要判断s $i$ 和s $j$ 是否相等，如果相等的话，那么 $i+1,...,j-1$ 是否是回文串，如果也是的话，就说明g $i$ $j$ 是true。在处理回文串的时候，需要注意我们要初始化g $i$ $j$ 都为true，这是为了避免额外判断：若初始化为 false，则需要额外处理长度为 1 或 2 的子串，代码的复杂度会增加。初始化为 true 可以确保所有的单字符子串都被认为是回文，代码逻辑更加简洁。

预处理完字符串后，我们定义一个动态数组f $i$ ，他代表字符串 $0,...,i$ 的最小分割次数是多少。我们先遍历j从0到n-1，也就是我们要找出从 0到1,0到2,...,0到(n-1)字符串的最小分割次数是多少。因为我们最终的目的就是求从0到(n-1)的字符串的最小分割次数，那么我们求0到j的最小分割次数就可以从前面的状态转换而来。

那么如何进行状态转换，f $j$ 如何从之前计算过的状态转换而来？我们这时候遍历下标i，目的是判断从i+1到j这字符串是否是回文，如果是回文的话，那么从0到j这个字符串的最小分割次数，不就是0到i的最小分割次数加上1吗。然后我们不断寻找状态转换后的f $j$ 的最小值并记录。

最后返回f $n-1$ 即可。