章节概述
第三章（Paths and cycles）主要讲述了路径和循环相关的图论知识，包括四个部分：连通性、欧拉图、哈密顿图、一些相关算法应用。
连通性 Connectivity
通道 walk
给定一个图 G G G ， G G G中的一条通道 （或称为**"链"）是形如 v 0 v 1 、 v 1 v 2 、 ⋅ ⋅ ⋅ 、 v m − 1 v m v_{0}v_{1}、v_{1}v_{2}、··· 、v_{m - 1}v_{m} v0v1、v1v2、⋅⋅⋅、vm−1vm 的 有限边序列**，也可记为 v 0 → v 1 → v 2 → ⋯ → v m v_{0} \to v_{1} \to v_{2} \to \cdots \to v_{m} v0→v1→v2→⋯→vm，其中任意两条连续的边是相邻的或相同的。
- 一条通道确定了一个顶点序列 v 0 , v 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , v m v_{0},v_{1},···,v_{m} v0,v1,⋅⋅⋅,vm。
- 我们称 v 0 v_{0} v0 为通道的起始顶点（initial vertex）， v m v_{m} vm 为通道的终止顶点（final vertex），并说这是一条从 v 0 v_{0} v0到 v m v_{m} vm 的通道。
- 通道中的边数称为其长度（length）。
迹 trail 和 路径 path
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所有边都互不相同 的通道是一条迹（trail）。
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此外，如果所有顶点 v 0 , v 1 , ⋯ , v m v_{0}, v_{1}, \cdots, v_{m} v0,v1,⋯,vm 都互不相同 （除了 v 0 = v m v_{0}=v_{m} v0=vm），那么这条迹就是一条路径（path）。
- 如果 v 0 = v m v_{0}=v_{m} v0=vm，则路径或迹是封闭的（closed） ，并且包含至少一条边的封闭路径是一个圈（cycle）。
- 注意，任何环（loop）或一对多重边都是一个圈。
连通图
当且仅当每对顶点之间都存在一条路径 时，图是连通的。
二部图 Bipartite Graph
当且仅当 G G G 的每个圈(cycle)都具有偶数长度 时， G G G 是二分图。
定理5.1：如果 G G G 是一个二分图，那么 G G G 的每个圈都具有偶数长度。
证明：
- 因为 G G G 是二分图，所以我们可以将其顶点集划分为两个不相交的集合 A A A 和 B B B，使得 G G G 的每条边都连接 A A A 中的一个顶点和 B B B 中的一个顶点。
- 设 v 0 → v 1 → ⋯ → v m → v 0 v_{0} \to v_{1} \to \cdots \to v_{m} \to v_{0} v0→v1→⋯→vm→v0 是 G G G 中的一个环，并且假设 v 0 v_{0} v0 在 A A A 中。那么 v 1 v_{1} v1 在 B B B 中， v 2 v_{2} v2 在 A A A 中，依此类推。由于 v m v_{m} vm 必定在 B B B 中，所以这个回路的长度肯定是偶数。
简单连通图的边数限制
一个具有 n n n 个顶点的简单连通图，当没有回路时边数最少，为 n − 1 n-1 n−1 条边；当该图是完全图时边数最多，为 n ( n − 1 ) / 2 n(n-1)/2 n(n−1)/2 条边。
定理5.2：设 G G G 是一个具有 n n n 个顶点的简单图。如果 G G G 有 k k k 个连通分量，那么 G G G 的边数 m m m 满足 n − k ≤ m ≤ ( n − k ) ( n − k + 1 ) / 2 n - k \leq m \leq (n - k)(n - k + 1)/2 n−k≤m≤(n−k)(n−k+1)/2。
证明：
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证下界：
- 假设每个连通分量 C i C_i Ci 中有 n i n_i ni 个顶点，图 G G G 的总顶点数为 n = ∑ i = 1 k n i n=\sum_{i=1}^{k} n_{i} n=∑i=1kni
- 一个连通分量中， n i n_i ni 个顶点至少有 n i − 1 n_i-1 ni−1 条边连接
- k k k 个连通分量，至少有 ∑ i = 1 k ( n i − 1 ) \sum_{i=1}^{k} (n_{i}-1) ∑i=1k(ni−1) 条边，计算 ∑ i = 1 k ( n i − 1 ) = ∑ i = 1 k n i − k = n − k \sum_{i=1}^{k} (n_{i}-1)=\sum_{i=1}^{k} n_{i}-k=n-k ∑i=1k(ni−1)=∑i=1kni−k=n−k
- 对于 k k k 个连通分量，至少有 n − k n-k n−k 条边，得证。
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证上界：
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为了证明上限，假设 G G G 的每个连通分量都是完全图，这样才有可能达到最多的边数。
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假设有两个连通分量 C i C_{i} Ci 和 C j C_{j} Cj，分别有 n i n_{i} ni 个和 n j n_{j} nj 个顶点，其中 n i ≥ n j > 1 n_{i}\geq n_{j}>1 ni≥nj>1。如果我们用具有 n i + 1 n_{i}+1 ni+1 个顶点和 n j − 1 n_{j}-1 nj−1 个顶点的完全图分别替换 C i C_{i} Ci 和 C j C_{j} Cj，那么顶点总数保持不变，而边的数量变化为
{ ( n i + 1 ) n i − n i ( n i − 1 ) 2 } − { n j ( n j − 1 ) − ( n j − 1 ) ( n j − 2 ) 2 } = n i − n j + 1 \{\frac{(n_{i}+1)n_{i}-n_{i}(n_{i}-1)}{2}\}-\{\frac{n_{j}(n_{j}-1)-(n_{j}-1)(n_{j}-2)}{2}\}=n_{i}-n_{j}+1 {2(ni+1)ni−ni(ni−1)}−{2nj(nj−1)−(nj−1)(nj−2)}=ni−nj+1 -
由于 n i − n j + 1 n_i-n_j+1 ni−nj+1 肯定是一个正数，因此边数在增多。为了让边的数量最大，需要不断增加一个连通分量的顶点，减少另外连通分量的顶点。
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由此可知，G G G 必须由一个具有 n − k + 1 n - k + 1 n−k+1 个顶点的完全图和 k − 1 k - 1 k−1 个孤立顶点组成。
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具有 n − k + 1 n - k + 1 n−k+1 个顶点的完全图的边数为 ( n − k ) ( n − k + 1 ) / 2 (n - k)(n - k + 1)/2 (n−k)(n−k+1)/2，得证。
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推论5.3：任何具有 n n n 个顶点且边数多于 ( n − 1 ) ( n − 2 ) / 2 (n - 1)(n - 2)/2 (n−1)(n−2)/2 的简单图都是连通的。
证明：
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把任意一个图 G G G 分成包含 n − 1 n-1 n−1 个顶点的子图和一个顶点 n 0 n_0 n0
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只需要保证包含 n − 1 n-1 n−1 个顶点的子图是完全图，再用其余的边连接最后一个顶点 n 0 n_0 n0。
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顶点个数为 n − 1 n-1 n−1 的完全图的边数为 ( n − 1 ) ( n − 2 ) / 2 (n-1)(n-2)/2 (n−1)(n−2)/2，那么只要边数多余 ( n − 1 ) ( n − 2 ) / 2 (n-1)(n-2)/2 (n−1)(n−2)/2 则整个图 G G G 必定是完全图。
断集、割集和桥
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如何衡量一个连通图的连通性有多强？
- 看看移除多少条边或顶点才能使连通图不连通
- 点连通度、边连通度
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断集 disconnecting set
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在连通图 G G G 中，一个断集是一组边的集合，移除集合中的这些边会使 G G G 不连通。断集是使得图失去连通性的边集。
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割集 cutset
- 一个断集的任何真子集都不是断集 ，则称该断集为割集。
- 移除割集中的边总是会留下一个恰好有两个连通分量的图。
- 在上图 5.3 中， { e 3 , e 6 , e 7 , e 8 } \{e_3,e_6,e_7,e_8\} {e3,e6,e7,e8} 是割集。
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桥 bridge
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如果一个割集只有一条边 e e e，我们称 e e e 为桥。
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边连通度 λ ( G ) \lambda(G) λ(G)
- 如果 G G G 是连通的，它的边连通度 λ ( G ) \lambda(G) λ(G) 是 G G G 中最小割集的大小 。因此， λ ( G ) \lambda(G) λ(G) 是为使 G G G 不连通而需要删除的最少边数。
- 如果 λ ( G ) ≥ k \lambda(G)\geq k λ(G)≥k，那么 G G G 是 k k k 边连通的。
分离集和割点
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分离集 separating set
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在连通图 G G G 中，一个分离集是一组顶点，删除这些顶点会使 G G G 不连通；当删除一个顶点时，也会移除与顶点关联的边。
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割点 cut-vertex
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如果一个分离集只包含一个顶点 v v v，我们称 v v v 为割点。
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点连通度 κ ( G ) \kappa(G) κ(G)
- 如果 G G G 是连通的且不是完全图，它的顶点连通度 κ ( G ) \kappa(G) κ(G) 是 G G G 中最小分离集的大小 。 κ ( G ) \kappa(G) κ(G) 是为使 G G G 不连通而需要删除的最少顶点数。
- 如果 κ ( G ) ≥ k \kappa(G)\geq k κ(G)≥k，那么 G G G 是 k k k 连通的。
- 可以证明，如果 G G G 是任何连通图，那么 κ ( G ) ≤ λ ( G ) \kappa(G)\leq\lambda(G) κ(G)≤λ(G)。
- 直观理解，一个顶点可能与多条边相关联，删除一个顶点可能会导致与该顶点相连的所有边都失去作用，从而更容易使图变得不连通；而删除一条边只会影响与该边直接相关的两个顶点之间的连接。
- 所以，为了使图不连通，需要删除的顶点数量通常不会超过需要删除的边的数量，即点连通度一般小于等于边连通度。