λ矩阵与矩阵的Jordan标准形

λ矩阵与矩阵的Jordan标准形

λ矩阵简介

设 a i j ( λ ) ( 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ) a_{ij}(\lambda)(1 \leq i \leq m,1 \leq j \leq n) aij(λ)(1≤i≤m,1≤j≤n)是数域P上的多项式，那么以 a i j ( λ ) a_{ij}(\lambda) aij(λ)为元素的 m × n m \times n m×n的矩阵 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)
( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 . . . a n n ) \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{matrix} \right) a11a21⋮an1a12a22⋮an2.........a1na2n⋮ann

成为多项式矩阵或 λ \lambda λ矩阵，多项式 a i j a_{ij} aij中的最高次数就是 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的次数。数字矩阵是0次的 λ \lambda λ矩阵， λ I − A \lambda I-A λI−A就是1次的 λ \lambda λ矩阵。

若是 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)经过有限次初等变换可以化为 B ( λ ) B(\lambda) B(λ)，则称 λ \lambda λ矩阵 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)和 B ( λ ) B(\lambda) B(λ)相抵。

Smith标准型

A ( λ ) A(\lambda) A(λ)相抵于如下的对角阵
( d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) d 3 ( λ ) ⋱ 0 ⋱ 0 ) m × n \left( \begin{matrix} d_1(\lambda)\\& d_2(\lambda)\\ & & d_3(\lambda) \\ & & & \ddots \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & 0 \end{matrix} \right)_{m \times n} d1(λ)d2(λ)d3(λ)⋱0⋱0 m×n

其中 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)是首项系数为1的多项式，并且 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)可以被 d i + 1 ( λ ) d_{i+1}(\lambda) di+1(λ)整除。

Smith标准型是唯一的。

行列式因子、不变因子、初等因子

行列式因子： A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的全部k阶子式的最大公因式称为 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的k阶行列式因子。

不变因子：Smith标准型主对角线上非零元称为 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的不变因子。

{ ( 1 ) D 1 ( λ ) ∣ D 2 ( λ ) , D 2 ( λ ) ∣ D 3 ( λ ) , ⋯   , D r − 1 ( λ ) ∣ D r ( λ ) ( 2 ) d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) = D 2 ( λ ) / D 1 ( λ ) , ⋯   , d r ( λ ) = D r ( λ ) / D r − 1 ( λ ) \begin{cases} (1) D_1(\lambda) | D_2(\lambda) ,D_2(\lambda)|D_3(\lambda) , \cdots,D_{r-1}(\lambda)|D_r(\lambda) \\ \\ (2) d_1(\lambda) = D_1(\lambda) , d_2(\lambda) = D_2(\lambda)/D_1(\lambda),\cdots,d_r(\lambda)=D_r(\lambda)/D_{r-1}(\lambda)\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧(1)D1(λ)∣D2(λ),D2(λ)∣D3(λ),⋯,Dr−1(λ)∣Dr(λ)(2)d1(λ)=D1(λ),d2(λ)=D2(λ)/D1(λ),⋯,dr(λ)=Dr(λ)/Dr−1(λ)

D i ( λ ) D_i(\lambda) Di(λ)是行列式因子， d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)是不变因子。

初等因子：假设 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的不变因子为 d 1 ( λ ) d_1(\lambda) d1(λ), d 2 ( λ ) d_2(\lambda) d2(λ), ⋯ \cdots ⋯ , d r ( λ ) d_r(\lambda) dr(λ),将它们分解为一次因式的幂的乘积：
{ d 1 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 11 ( λ − λ 2 ) e 12 ⋯ ( λ − λ s ) e 1 s d 2 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 21 ( λ − λ 2 ) e 22 ⋯ ( λ − λ s ) e 2 s d 3 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 31 ( λ − λ 2 ) e 32 ⋯ ( λ − λ s ) e 3 s ⋯ d r ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e r 1 ( λ − λ 2 ) e r 2 ⋯ ( λ − λ s ) e r s \begin{cases} d_1(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{11}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{12}}\cdots(\lambda-\lambda_{s})^{e_{1s}} \\ d_2(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{21}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{22}}\cdots(\lambda-\lambda_{s})^{e_{2s}} \\ d_3(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{31}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{32}}\cdots(\lambda-\lambda_{s})^{e_{3s}} \\ \cdots \\ d_r(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{r1}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{r2}}\cdots(\lambda-\lambda_{s})^{e_{rs}} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧d1(λ)=(λ−λ1)e11(λ−λ2)e12⋯(λ−λs)e1sd2(λ)=(λ−λ1)e21(λ−λ2)e22⋯(λ−λs)e2sd3(λ)=(λ−λ1)e31(λ−λ2)e32⋯(λ−λs)e3s⋯dr(λ)=(λ−λ1)er1(λ−λ2)er2⋯(λ−λs)ers

其中， e i j e_{ij} eij满足：
{ 0 ≤ e 11 ≤ e 21 ⋯ ≤ e r 1 0 ≤ e 12 ≤ e 22 ⋯ ≤ e r 2 0 ≤ e 13 ≤ e 23 ⋯ ≤ e r 3 ⋯ 0 ≤ e 1 r ≤ e 2 r ⋯ ≤ e r s \begin{cases} 0 \leq e_{11} \leq e_{21} \cdots \leq e_{r1} \\ 0 \leq e_{12} \leq e_{22} \cdots \leq e_{r2} \\ 0 \leq e_{13} \leq e_{23} \cdots \leq e_{r3} \\ \cdots \\ 0 \leq e_{1r} \leq e_{2r} \cdots \leq e_{rs} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧0≤e11≤e21⋯≤er10≤e12≤e22⋯≤er20≤e13≤e23⋯≤er3⋯0≤e1r≤e2r⋯≤ers

所有指数大于0的因子 ( λ − λ j ) e i j (\lambda - \lambda_j)^{e_{ij}} (λ−λj)eij称为 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)的初等因子。

相抵的 λ \lambda λ矩阵具有相同的秩、相同的各阶行列式因子、相同的不变因子。

Jordan标准型

Jordan块为:
J i = ( λ i 1 0 λ i ⋱ ⋱ 1 λ i ) n i × n i J_i = \left ( \begin{matrix} \lambda_i &1 & & 0 \\ & \lambda_i & \ddots \\ & &\ddots & 1 \\ & & &\lambda_i \end{matrix} \right)_{n_i \times n_i} Ji= λi1λi⋱⋱01λi ni×ni

即，对角为 λ \lambda λ，副队角为1，其余为0。

多个Jordan块构成一个Jordan形矩阵。

例如：
J = ( 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 4 1 0 0 0 4 ) J = \left ( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right) J= 1000110000400014
Jordan块被初等因子唯一确定，但是Jordan形可以由多个Jordan块构成，因此不唯一（即Jordan块顺序不唯一）。

初等因子确定Jordan块的方法：例如初等因子 ( λ − 1 ) 2 (\lambda-1)^2 (λ−1)2、 ( λ − 4 ) 2 (\lambda -4)^2 (λ−4)2，由于是2次，那么对角线应该出现两次特征值1、4，然后副对角线全部是1即可。

计算方法

Smith形

1. 初等变换

   利用初等变换，将每行化为阶梯型，同时为首1项，系数应为1，后续对角线要满足后一个能够整除前一个。

   举例：

   

   

   注意：每一行首项系数都要是1，前一项是后一项的因子，初等变换可以包括初等行变换和列变换。

2. 行列式因子法

   该方法适用于0较多的情形，因为便于计算行列式因子，因为如果是一个3*3的矩阵，光二阶行列式就需要计算9个，计算量较大。

   计算出每个k阶行列式因子后，利用不变因子和行列式因子的关系，计算出不变因子，然后将对角线写为不变因子，即可构造出Smith标准型。

   

   

Jordan形

1. 利用 λ I − A \lambda I - A λI−A得到 λ \lambda λ矩阵，求它的各阶行列式因子 D k ( λ ) D_k(\lambda) Dk(λ).
2. 根据不变因子的公式，求得不变因子。( d i ( λ ) = D i + 1 ( λ ) D i ( λ ) d_i(\lambda) = \frac{D_{i+1}(\lambda)}{D_i(\lambda)} di(λ)=Di(λ)Di+1(λ))
3. 根据不变因子获得初等因子。
4. 利用初等因子构造Jordan块，然后组成Jordan形（不唯一）。

可逆P的求法

求一个可逆矩阵 P P P，使得 P − 1 A P = J P^{-1}AP = J P−1AP=J。

1. 首先求得Jordan形J。

2. 将 P − 1 A P = J P^{-1}AP = J P−1AP=J变为 A P = P J AP=PJ AP=PJ。

3. 设 P = ( P 1 , P 2 , ⋯   , P n ) P = (P_1,P_2,\cdots,P_n) P=(P1,P2,⋯,Pn)，构造方程组：
   { A P 1 = J 11 P 1 A P 2 = J 12 P 2 + J 22 P 2 ⋯ A P n = J ( n − 1 , n ) P n − 1 + J n n P n \begin{cases} AP_1 = J_{11}P_1\\ AP_2 = J_{12}P_2 + J_{22}P_2\\ \cdots \\ AP_n = J{(n-1,n)}P_{n-1}+J_{nn}P_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧AP1=J11P1AP2=J12P2+J22P2⋯APn=J(n−1,n)Pn−1+JnnPn

   P取值不唯一，但是一定可逆。

考点

1. 特征多项式和特征值的计算
2. 不变因子和初等因子的计算
3. Jordan标准型的计算
4. 可逆P的计算

参考

矩阵论-戴华

[【矩阵论】Chapter 5---lambda矩阵与Jordan 标准型](【矩阵论】Chapter 5---lambda矩阵与Jordan 标准型_lamda矩阵-CSDN博客)