奇点的定义
如果 f f f 在 z 0 z_0 z0 的某个邻域内不解析，但在 z 0 z_0 z0 的去心邻域内解析，称 z 0 z_0 z0 是 f f f的一个奇点。
回顾复解析函数的定义
∂ f ∂ z ˉ = 0 \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0 ∂zˉ∂f=0, 即
f = g ( x , y ) + i h ( x , y ) f=g(x,y)+\mathbf{i} h(x,y) f=g(x,y)+ih(x,y), 且 ∂ g ∂ x = ∂ h ∂ y \frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial h}{\partial y} ∂x∂g=∂y∂h, ∂ g ∂ y = − ∂ h ∂ x \frac{\partial g}{\partial y}=-\frac{\partial h}{\partial x} ∂y∂g=−∂x∂h
可去奇点
如果 f f f 在 z 0 z_0 z0 处存在极限， 则称为可去奇点。
极点
如果 f f f 在 z 0 z_0 z0 的极限为无穷大，则称该奇点为极点。
一阶极点
如果存在表示 f ( z ) = ϕ ( z ) z − a f(z)=\frac{\phi(z)}{z-a} f(z)=z−aϕ(z) 且 ϕ ( a ) ≠ 0 \phi(a)\neq 0 ϕ(a)=0, 且 ϕ ( z ) \phi(z) ϕ(z) 在 z = a z=a z=a 处解析， 称 z = a z=a z=a 是 f f f 的一阶极点。
m阶极点
如果存在表示 f ( z ) = ϕ ( z ) ( z − a ) m f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-a)^m} f(z)=(z−a)mϕ(z) 且 ϕ ( a ) ≠ 0 \phi(a)\neq 0 ϕ(a)=0, 且 ϕ ( z ) \phi(z) ϕ(z) 在 z = a z=a z=a 处解析， 称 z = a z=a z=a 是 f f f 的 m m m 阶极点。
本性奇点
不是奇点与极点的奇点称为本性奇点。 例如 a a a 的某个邻域内去掉任意有限个点仍然是不解析函数， 在 a a a 附近无限震荡， 或者其他复杂行为的函数。
在复变函数理论中，留数的定义如下：
设 f f f 是定义在复平面上的一个函数，且在 z = a z = a z=a 处有一个孤立奇点（即 a a a 是 f f f 的一个奇点，但在 a a a 的某个邻域内， f f f 除了在 a a a 点外是解析的。如果 f f f 在 z = a z = a z=a 处有一个一阶极点，那么 f f f 在 z = a z = a z=a 处的留数定义为：
R e s ( f , a ) = lim z → a ( z − a ) f ( z ) \mathrm{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a)f(z) Res(f,a)=z→alim(z−a)f(z)
对于更高阶的极点，留数的定义稍微复杂一些。如果 f f f) 在 z = a z = a z=a 处有一个 m m m 阶极点即 ( z − a ) m f ( z ) (z - a)^m f(z) (z−a)mf(z) 在 z = a z = a z=a处解析且不为零），那么 f f f 在 z = a z = a z=a 处的留数定义为：
Res ( f , a ) = 1 ( m − 1 ) ! lim z → a d m − 1 d z m − 1 [ ( z − a ) m f ( z ) ] \text{Res}(f, a) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - a)^m f(z) \right] Res(f,a)=(m−1)!1z→alimdzm−1dm−1[(z−a)mf(z)]
这里的 d m − 1 d z m − 1 \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} dzm−1dm−1 表示对 ( z − a ) m f ( z ) (z - a)^m f(z) (z−a)mf(z) 进行 m − 1 m-1 m−1 次求导。
留数定理
留数定理：设 f f f 是在复平面上除了一些孤立奇点外解析的函数， C C C 是一条包围这些奇点的正向简单闭合曲线，那么
∮ C f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n Res ( f , a k ) \oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, a_k) ∮Cf(z)dz=2πik=1∑nRes(f,ak)
其中 a 1 , a 2 , ... , a n a_1, a_2, \ldots, a_n a1,a2,...,an 是 C C C 内部的所有奇点， Res ( f , a k ) \text{Res}(f, a_k) Res(f,ak) 是 f f f 在 a k a_k ak 处的留数。
例
∫ − ∞ + ∞ cos ( x ) x 2 + 1 d x \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} \, dx ∫−∞+∞x2+1cos(x)dx
由于被积函数是偶函数，我们可以简化积分：
∫ − ∞ + ∞ cos ( x ) x 2 + 1 d x = 2 ∫ 0 + ∞ cos ( x ) x 2 + 1 d x \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} \, dx = 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} \, dx ∫−∞+∞x2+1cos(x)dx=2∫0+∞x2+1cos(x)dx
接下来，将 cos ( x ) \cos(x) cos(x) 表达为复指数形式：
cos ( x ) = e i x + e − i x 2 \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} cos(x)=2eix+e−ix
因此，积分变为：
2 ∫ 0 + ∞ cos ( x ) x 2 + 1 d x = ∫ 0 + ∞ e i x + e − i x x 2 + 1 d x 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} \, dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{x^2 + 1} \, dx 2∫0+∞x2+1cos(x)dx=∫0+∞x2+1eix+e−ixdx
分别对 e i x e^{ix} eix 和 e − i x e^{-ix} e−ix 进行积分，但由于 e − i x e^{-ix} e−ix 的积分会得到一个与 e i x e^{ix} eix 相同的结果，只需要计算 e i x e^{ix} eix 的积分并乘以 2。考虑到 e i x e^{ix} eix 的积分在下半平面是 e − i x e^{-ix} e−ix 的积分的共轭，实际上只需要计算 e i x e^{ix} eix 的积分。
现在，考虑沿上半平面（包括实轴）的闭合路径积分。选择一个半圆路径 C R C_R CR，半径为 R R R，在实轴上方，并加上实轴上的线段 [ − R , R ] [-R, R] [−R,R]。根据留数定理，闭合路径的积分为 2 π i 2\pi i 2πi 乘以位于上半平面的极点的留数之和。
在 z = i z = i z=i 处有一个一阶极点，因此需要计算：
Res ( e i z z 2 + 1 , i ) = lim z → i ( z − i ) e i z z 2 + 1 = lim z → i e i z z + i = e − 1 2 i \text{Res}\left(\frac{e^{iz}}{z^2 + 1}, i\right) = \lim_{z \to i} (z - i) \frac{e^{iz}}{z^2 + 1} = \lim_{z \to i} \frac{e^{iz}}{z + i} = \frac{e^{-1}}{2i} Res(z2+1eiz,i)=z→ilim(z−i)z2+1eiz=z→ilimz+ieiz=2ie−1
因此，闭合路径上的积分为：
∮ C R e i z z 2 + 1 d z = 2 π i ⋅ e − 1 2 i = π e − 1 \oint_{C_R} \frac{e^{iz}}{z^2 + 1} \, dz = 2\pi i \cdot \frac{e^{-1}}{2i} = \pi e^{-1} ∮CRz2+1eizdz=2πi⋅2ie−1=πe−1
当 R → ∞ R \to \infty R→∞ 时，半圆路径上的积分趋于零，因此得到：
∫ − ∞ + ∞ e i x x 2 + 1 d x = π e − 1 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{x^2 + 1} \, dx = \pi e^{-1} ∫−∞+∞x2+1eixdx=πe−1
最后，由于只考虑了 e i x e^{ix} eix 的积分，需要将结果乘以 2，并取实部来得到原始积分的值。但是，由于 e i x e^{ix} eix 和 e − i x e^{-ix} e−ix 的积分是共轭的，乘以 2 并取实部实际上只是将结果乘以 2，因此原始积分的值为：
∫ − ∞ + ∞ cos ( x ) x 2 + 1 d x = π e − 1 = π e \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} \, dx = \pi e^{-1} = \frac{\pi}{e} ∫−∞+∞x2+1cos(x)dx=πe−1=eπ
python
>>>from sympy import *
>>>x=symbols("x")
>>>y=cos(x)/(1+x**2)
>>>integrate(y,(x,-oo,oo))
pi* exp(-1)