在第0天，某债券价值1元。在第 n n n天，其价值为 S n : = e ( X 1 + ⋯ + X n ) S_n := e^{(X_1 + \cdots + X_n)} Sn:=e(X1+⋯+Xn) 元，其中 X i X_i Xi 是独立同分布随机变量，满足 P ( X i = 1 ) = P ( X i = − 1 ) = 1 / 2 P(X_i = 1) = P(X_i = -1) = 1/2 P(Xi=1)=P(Xi=−1)=1/2。爱丽丝有一些直到第 N N N天都可投资该债券的闲钱。作为一位有独特投资理念的投资人，她只愿意在"信号时刻"购入债券。所谓信号时刻，指的是某个日子 K K K，其中 K ∈ [ 1 , ⋯ , N − 1 ] K \in [1, \cdots , N-1] K∈[1,⋯,N−1]，并且该债券在第 K K K天的价格是第0天到第 K K K天中最高的，却是第K天到第N天中最低的。
当然即使这样的日子 K K K 存在，她也无法在当时确认这是否就是"信号时间"。但事后来着，我们很自然地想知道，这样的信号时间是否真的存在。试证明存在不依赖于 N N N 的常数 c , C > 0 c, C > 0 c,C>0 使得这样的日子 K K K 存在的概率 ϵ ∈ ( c / log N , C / log N ) \epsilon \in (c/\log N, C/\log N) ϵ∈(c/logN,C/logN)。
提示：定义 p n = P [ S i ≥ 1 , ∀ i = 1 , ⋯ , n ] p_n = P[S_i \geq 1, \forall i = 1, \cdots , n] pn=P[Si≥1,∀i=1,⋯,n] 并注意到
p n 2 ≤ P [ 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n ] ≤ p n [ n / 2 ] p_n^2 \leq P[1 \leq S_i \leq S_n, \forall 1 \leq i \leq n] \leq p_n^{[n/2]} pn2≤P[1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n]≤pn[n/2]。
再证明该提示。
证：
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信号时刻定义：
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信号时刻的定义是准确的，要求满足以下两条条件：
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S n ≥ 1 S_n \geq 1 Sn≥1
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S i ≥ 1 S_i \geq 1 Si≥1 对于所有 i = 1 , 2 , ... , n i = 1, 2, \ldots, n i=1,2,...,n
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定义 p n p_n pn：
- 定义 p n = P [ S i ≥ 1 , ∀ i = 1 , ⋯ , n ] p_n = P[S_i \geq 1, \forall i = 1, \cdots, n] pn=P[Si≥1,∀i=1,⋯,n] 是合理的，这个概率确实表示在前 n n n 天债券价格始终不低于初始价格的概率。
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不等式的证明：
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证明不等式 p n 2 ≤ P [ 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n ] p_n^2 \leq P[1 \leq S_i \leq S_n, \forall 1 \leq i \leq n] pn2≤P[1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n] 是正确的。可以通过独立性说明：
P [ 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n ] ≥ P [ S 1 ≥ 1 ] ⋅ P [ S 2 ≥ 1 ] = p n 2 P[1 \leq S_i \leq S_n, \forall 1 \leq i \leq n] \geq P[S_1 \geq 1] \cdot P[S_2 \geq 1] = p_n^2 P[1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n]≥P[S1≥1]⋅P[S2≥1]=pn2
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接下来的不等式 P [ 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n ] ≤ p n [ n / 2 ] P[1 \leq S_i \leq S_n, \forall 1 \leq i \leq n] \leq p_n^{[n/2]} P[1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n]≤pn[n/2] 需要更详细的解释。可以考虑将时间段分为两部分，证明：
P [ 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n ] ≤ P [ S i ≥ 1 , ∀ 1 ≤ i ≤ n / 2 ] ⋅ P [ S i ≥ 1 , ∀ n / 2 < i ≤ n ] P[1 \leq S_i \leq S_n, \forall 1 \leq i \leq n] \leq P[S_i \geq 1, \forall 1 \leq i \leq n/2] \cdot P[S_i \geq 1, \forall n/2 < i \leq n] P[1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n]≤P[Si≥1,∀1≤i≤n/2]⋅P[Si≥1,∀n/2<i≤n]
通过独立性，可以得到：
≤ p n / 2 2 ≤ p n [ n / 2 ] \leq p_{n/2}^2 \leq p_n^{[n/2]} ≤pn/22≤pn[n/2]
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这一步需要根据实际情况可能的细化。
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局部最大值的概率与路径长度：
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关于局部最大值和路径长度 N N N 的关系，你可以使用随机游走理论中的大数法则。具体来说，随着 N N N 的增大，局部最大值的出现概率将会减少，因为路径会更加趋向于稳定：
P [ 存在局部最大值 ] ∼ C N （其中 C 是常数） P[\text{存在局部最大值}] \sim \frac{C}{N} \quad \text{（其中 C 是常数）} P[存在局部最大值]∼NC（其中 C 是常数）
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这一部分可以结合具体的随机游走模型进行推导。
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选择常数 c c c 和 C C C：
- 在选择常数 c c c 和 C C C 时，确保它们能够准确反映出事件发生的概率关系。选择时可以使用极限定理或中心极限定理来支持常数的选取。