证明存在常数c, C ＞ 0，使得在一系列特定条件下，某个特定投资时刻出现的概率与天数的对数成反比

在第0天，某债券价值1元。在第 n n n天，其价值为 S n : = e ( X 1 + ⋯ + X n ) S_n := e^{(X_1 + \cdots + X_n)} Sn:=e(X1+⋯+Xn) 元，其中 X i X_i Xi 是独立同分布随机变量，满足 P ( X i = 1 ) = P ( X i = − 1 ) = 1 / 2 P(X_i = 1) = P(X_i = -1) = 1/2 P(Xi=1)=P(Xi=−1)=1/2。爱丽丝有一些直到第 N N N天都可投资该债券的闲钱。作为一位有独特投资理念的投资人，她只愿意在"信号时刻"购入债券。所谓信号时刻，指的是某个日子 K K K，其中 K ∈ 1 , ⋯   , N − 1 K \in 1, \\cdots , N-1 K∈1,⋯,N−1，并且该债券在第 K K K天的价格是第0天到第 K K K天中最高的，却是第K天到第N天中最低的。

当然即使这样的日子 K K K 存在，她也无法在当时确认这是否就是"信号时间"。但事后来着，我们很自然地想知道，这样的信号时间是否真的存在。试证明存在不依赖于 N N N 的常数 c , C > 0 c, C > 0 c,C>0 使得这样的日子 K K K 存在的概率 ϵ ∈ ( c / log ⁡ N , C / log ⁡ N ) \epsilon \in (c/\log N, C/\log N) ϵ∈(c/logN,C/logN)。

提示：定义 p n = P S i ≥ 1 , ∀ i = 1 , ⋯   , n p_n = PS_i \\geq 1, \\forall i = 1, \\cdots , n pn=PSi≥1,∀i=1,⋯,n 并注意到

p n 2 ≤ P 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n ≤ p n n / 2 p_n^2 \leq P1 \\leq S_i \\leq S_n, \\forall 1 \\leq i \\leq n \leq p_n^{n/2} pn2≤P1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n≤pnn/2。

再证明该提示。

证：

1. 信号时刻定义：

   • 信号时刻的定义是准确的，要求满足以下两条条件：

     • S n ≥ 1 S_n \geq 1 Sn≥1

     • S i ≥ 1 S_i \geq 1 Si≥1 对于所有 i = 1 , 2 , ... , n i = 1, 2, \ldots, n i=1,2,...,n

2. 定义 p n p_n pn：

   • 定义 p n = P S i ≥ 1 , ∀ i = 1 , ⋯   , n p_n = PS_i \\geq 1, \\forall i = 1, \\cdots, n pn=PSi≥1,∀i=1,⋯,n 是合理的，这个概率确实表示在前 n n n 天债券价格始终不低于初始价格的概率。

3. 不等式的证明：

   • 证明不等式 p n 2 ≤ P 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n p_n^2 \leq P1 \\leq S_i \\leq S_n, \\forall 1 \\leq i \\leq n pn2≤P1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n 是正确的。可以通过独立性说明：

     P 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n ≥ P S 1 ≥ 1 ⋅ P S 2 ≥ 1 = p n 2 P1 \\leq S_i \\leq S_n, \\forall 1 \\leq i \\leq n \geq PS_1 \\geq 1 \cdot PS_2 \\geq 1 = p_n^2 P1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n≥PS1≥1⋅PS2≥1=pn2

   • 接下来的不等式 P 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n ≤ p n n / 2 P1 \\leq S_i \\leq S_n, \\forall 1 \\leq i \\leq n \leq p_n^{n/2} P1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n≤pnn/2 需要更详细的解释。可以考虑将时间段分为两部分，证明：

     P 1 ≤ S i ≤ S n , ∀ 1 ≤ i ≤ n ≤ P S i ≥ 1 , ∀ 1 ≤ i ≤ n / 2 ⋅ P S i ≥ 1 , ∀ n / 2 \< i ≤ n P1 \\leq S_i \\leq S_n, \\forall 1 \\leq i \\leq n \leq PS_i \\geq 1, \\forall 1 \\leq i \\leq n/2 \cdot PS_i \\geq 1, \\forall n/2 \< i \\leq n P1≤Si≤Sn,∀1≤i≤n≤PSi≥1,∀1≤i≤n/2⋅PSi≥1,∀n/2\

     通过独立性，可以得到：

     ≤ p n / 2 2 ≤ p n n / 2 \leq p_{n/2}^2 \leq p_n^{n/2} ≤pn/22≤pnn/2

   • 这一步需要根据实际情况可能的细化。

4. 局部最大值的概率与路径长度：

   • 关于局部最大值和路径长度 N N N 的关系，你可以使用随机游走理论中的大数法则。具体来说，随着 N N N 的增大，局部最大值的出现概率将会减少，因为路径会更加趋向于稳定：

     P 存在局部最大值 ∼ C N （其中 C 是常数） P\\text{存在局部最大值} \sim \frac{C}{N} \quad \text{（其中 C 是常数）} P存在局部最大值∼NC（其中 C 是常数）

   • 这一部分可以结合具体的随机游走模型进行推导。

5. 选择常数 c c c 和 C C C：

   • 在选择常数 c c c 和 C C C 时，确保它们能够准确反映出事件发生的概率关系。选择时可以使用极限定理或中心极限定理来支持常数的选取。