线性移不变系统
线性移不变系统（Linear Time-Invariant System, LTI系统）同时满足线性和时不变性两个条件。
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线性 ：如果输入信号的加权和通过系统后，输出是这些输入信号单独通过系统后的输出的相同加权和，那么该系统就是线性的。数学上，对于任意输入信号 x 1 ( t ) x_1(t) x1(t)和 x 2 ( t ) x_2(t) x2(t)，以及任意常数 a a a和 b b b，如果系统满足：
y ( t ) = a ⋅ h ( x 1 ( t ) ) + b ⋅ h ( x 2 ( t ) ) y(t) = a \cdot h(x_1(t)) + b \cdot h(x_2(t)) y(t)=a⋅h(x1(t))+b⋅h(x2(t))其中 h ( ⋅ ) h(\cdot) h(⋅)表示系统对输入的响应，则该系统是线性的。
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时不变性 ：如果一个系统的输入信号延迟一段时间后，其输出仅仅是原输出信号同样延迟的时间，而没有其他变化，那么该系统就是时不变的。即，对于任意输入信号 x ( t ) x(t) x(t)及其延迟版本 x ( t − τ ) x(t - \tau) x(t−τ)，系统的输出也仅仅是 y ( t ) y(t) y(t)延迟了 τ \tau τ时间单位的版本 y ( t − τ ) y(t - \tau) y(t−τ)。
LTI系统的一个重要性质是，它们可以通过卷积 来描述。具体来说，如果 h ( t ) h(t) h(t)是系统的冲激响应（即当输入为单位脉冲时系统的输出）， x ( t ) x(t) x(t)是系统的输入信号，那么系统的输出 y ( t ) y(t) y(t)可以通过输入信号与冲激响应的卷积来计算：
y ( t ) = ( x ∗ h ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau y(t)=(x∗h)(t)=∫−∞∞x(τ)h(t−τ)dτ
这个卷积公式表示，LTI系统的输出是输入信号与系统冲激响应之间的一种加权平均。这一性质使得LTI系统在理论分析和实际应用中都变得极其重要，尤其是在滤波器设计、通信系统、图像处理等领域。通过理解系统的冲激响应，可以预测系统对任何输入信号的响应。
卷积还可以写成频域乘积和矩阵向量乘积两种形式。
三者之间的等价关系与转换
时域卷积到频域乘积
①→②和②→①根据卷积定理，时域中的卷积对应于频域中的乘积。时域卷积通常用于理论分析，而频域乘积则更常用于实际计算，尤其是当信号长度较长时，通过快速傅里叶变换（FFT）实现的频域乘积可以显著提高计算效率。
- 傅里叶变换 ：首先对输入信号 x ( t ) x(t) x(t)和冲激响应 h ( t ) h(t) h(t)进行傅里叶变换，得到它们的频域表示 X ( f ) X(f) X(f)和 H ( f ) H(f) H(f)。
X ( f ) = F { x ( t ) } X(f) = \mathcal{F}\{x(t)\} X(f)=F{x(t)}
H ( f ) = F { h ( t ) } H(f) = \mathcal{F}\{h(t)\} H(f)=F{h(t)}
这里是psf2otf，解释见这里。 - 频域乘积 ：在频域中，将 X ( f ) X(f) X(f)和 H ( f ) H(f) H(f)相乘，得到输出信号的频域表示 Y ( f ) Y(f) Y(f)。
Y ( f ) = X ( f ) H ( f ) Y(f) = X(f) H(f) Y(f)=X(f)H(f) - 逆傅里叶变换 ：对 Y ( f ) Y(f) Y(f)进行逆傅里叶变换，得到输出信号 y ( t ) y(t) y(t)。
y ( t ) = F − 1 { Y ( f ) } y(t) = \mathcal{F}^{-1}\{Y(f)\} y(t)=F−1{Y(f)}
时域卷积到矩阵向量乘积
①→③对于有限长的离散信号，卷积可以完全等价地用矩阵向量乘积来表示。这种方法在实现离散信号处理算法时非常有用，它可以利用线性代数来进行表示和计算。
- 构建卷积矩阵 ：根据冲激响应 h n hn hn，构建卷积矩阵 H \mathbf{H} H。假设 x n xn xn的长度为 N N N， h n hn hn的长度为 M M M，则 H \mathbf{H} H是一个 ( N + M − 1 ) × N (N+M-1) \times N (N+M−1)×N的矩阵。
H = h \[ 0 0 ⋯ 0 h 1 h 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ h M − 1 h M − 2 ⋯ h 0 0 h M − 1 ⋯ h 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ h M − 1 ] \mathbf{H} = \begin{bmatrix} h0 & 0 & \cdots & 0 \\ h1 & h0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ hM-1 & hM-2 & \cdots & h0 \\ 0 & hM-1 & \cdots & h1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & hM-1 \end{bmatrix} H= h0h1⋮hM−10⋮00h0⋮hM−2hM−1⋮0⋯⋯⋱⋯⋯⋱⋯00⋮h0h1⋮hM−1 - 矩阵向量乘积 ：将输入信号 x n xn xn表示为列向量 x \mathbf{x} x，计算输出向量 y \mathbf{y} y。
y = H x \mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} y=Hx
矩阵向量乘积到时域卷积
③→①对于一个 n × n n \times n n×n的循环矩阵 C C C和一个 n n n维向量 x x x，计算 C x Cx Cx的过程实际上是一个卷积操作。设 c c c为 C C C的第一列，那么 C x Cx Cx等价于将 c c c和 x x x进行循环卷积。
- 提取冲激响应 ：从卷积矩阵 H \mathbf{H} H中提取冲激响应 h n hn hn。通常， H \mathbf{H} H的第一行或第一列就是 h n hn hn。
- 计算卷积 ：使用提取的 h n hn hn和输入信号 x n xn xn计算卷积。
y n = ( x ∗ h ) n = ∑ k = 0 M − 1 x n − k h k yn = (x * h)n = \sum_{k=0}^{M-1} xn-k hk yn=(x∗h)n=k=0∑M−1xn−khk
矩阵向量乘积到频域乘积
③→②循环矩阵和BCCB矩阵的[对角化，即特征值分解](https://blog.csdn.net/u013600306/article/details/143765471?spm=1001.2014.3001.5501)，特征值是傅里叶系数，特征向量是傅里叶变换基。(https://blog.csdn.net/u013600306/article/details/143728757?spm=1001.2014.3001.5501)
总结
- 时域卷积 和 频域乘积 通过傅里叶变换和逆傅里叶变换相互转换。
- 时域卷积 和 矩阵向量乘积 通过构建卷积矩阵实现相互转换。
- 矩阵向量乘积 到 时域卷积 通过提取卷积矩阵中的冲激响应实现。