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**K近邻算法（K-Nearest Neighbors, KNN）**是一种简单但非常实用的监督学习算法，主要用于分类和回归问题。KNN 基于相似性度量（如欧几里得距离）来进行预测，核心思想是给定一个样本，找到与其最接近的 K 个邻居，根据这些邻居的类别或特征对该样本进行分类或预测。
算法引入：
我们假设平面上有两类点的集合，一类属于A类，一类属于B类，A类有三个点，B类有三个点。如果我们要加入一个橙色的点，那么它是属于A类还是B类？
我们不去考虑算法的话，如果去归类A类还是B类，那么我们肯定想到的就是这个点它离哪个点最近，就属于哪一类。到这里就与我们的K近邻算法大概相同了，只不过我们要选取一个范围，在这个范围里找点进行判断，比如，我们选择它的邻域三个点，即K=3，那么这个区域里面有一个点属于A类，两个点属于B类，根据少数服从多数，我们就可以把它归于B类点。
K近邻算法有三个要素，如下图所示，第一个就是距离度量，这个距离有很多种距离，比如：欧几里得距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离等。上面的例子中我们选择的欧几里得距离。第二个是K值，就是这个一个范围的的点个数，上面例子中，K=3。第三个是少数服从多数规则，上面例子中区域里面有一个点属于A类，两个点属于B类，根据少数服从多数，我们就可以把它归于B类点。
KNN算法的核心思想
1. 分类问题：
-
给定一个未标记的数据点，通过计算该数据点与已标记的训练数据集中的每一个数据点的距离，选择距离最近的 K 个邻居。
-
根据这 K 个邻居的类别，采用"多数投票"的方式来决定未标记数据点的类别。
2. 回归问题：
- 计算未标记数据点的 K 个最近邻居的值，然后取这些邻居的平均值或加权平均值作为该点的预测值。
KNN算法的步骤
1. 数据准备： 准备好训练数据集，包括特征和标签（分类问题中为类别，回归问题中为数值）。
2. 选择K值： 选择邻居的数量K，一般是正整数。
3. 计算距离： 对每个未标记数据点，计算它与训练集中每一个数据点的距离（常见的距离度量方法有欧几里得距离、曼哈顿距离等）。
4. 选择K个最近邻居： 根据距离从小到大排序，选择距离最近的K个邻居。
**5. 投票或平均：**分类问题中，根据K个邻居的类别进行投票选择类别；回归问题中，计算邻居的平均值作为预测结果。
KNN常用的距离度量方法
1. 欧几里得距离：
欧几里得距离是最常用的距离度量方法，适用于连续变量的情况。
2. 曼哈顿距离：
曼哈顿距离适用于某些特定场景，尤其是当特征值的变化范围不均匀时。
3. 闵可夫斯基距离：
闵可夫斯基距离是欧几里得距离和曼哈顿距离的推广形式，其中 p 是一个参数，当 p=2 时，便是欧几里得距离，当 p=1 时便是曼哈顿距离。
KNN算法的优缺点
优点：
1. 简单易理解： KNN算法实现简单，易于理解和解释。
2. 无参数模型： KNN不需要训练过程，可以直接使用数据进行预测。
**3. 适用性广泛：**KNN可以用于分类和回归问题，并且对非线性数据有较好的适应性。
缺点：
1. 计算复杂度高： KNN算法需要对每一个测试样本都计算与所有训练样本的距离，因此在大数据集下计算开销较大。
2. 内存开销大： KNN需要存储整个训练数据集，占用较大的存储空间。
**3. 对噪声敏感：**KNN对噪声数据较为敏感，特别是在K值较小的情况下，少量噪声数据可能会对结果产生很大影响。
K值的选择
- 小K值 ：K值较小时，模型会更加复杂，可能会过拟合。即使有少量噪声数据，也会对分类结果产生较大的影响。
- 大K值：K值较大时，模型会更加平滑，可能会欠拟合。K值过大会忽略数据的局部结构。
通常，K值通过交叉验证等方法来选择合适的值。
KNN的C++实现
下面是一个简单的KNN算法的C++实现，用于分类问题，采用欧几里得距离来计算邻居之间的距离。
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 定义一个点，包含特征和标签
struct Point {
vector<double> features;
int label;
};
// 计算欧几里得距离
double euclideanDistance(const vector<double>& a, const vector<double>& b) {
double distance = 0.0;
for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
distance += pow(a[i] - b[i], 2);
}
return sqrt(distance);
}
// KNN算法实现
int knn(const vector<Point>& train_data, const vector<double>& test_point, int k) {
vector<pair<double, int>> distances; // 距离和标签的对
// 计算每个训练数据点到测试点的距离
for (const auto& point : train_data) {
double distance = euclideanDistance(point.features, test_point);
distances.push_back({distance, point.label});
}
// 按距离排序
sort(distances.begin(), distances.end());
// 统计前k个最近邻的类别
vector<int> label_count(100, 0); // 假设标签在0-99之间
for (int i = 0; i < k; i++) {
label_count[distances[i].second]++;
}
// 返回出现次数最多的类别
int max_count = 0;
int predicted_label = -1;
for (int i = 0; i < label_count.size(); i++) {
if (label_count[i] > max_count) {
max_count = label_count[i];
predicted_label = i;
}
}
return predicted_label;
}
int main() {
int n, m, k;
cin >> n;//训练数据的个数
cin >> m;//测试数据的维度
cin >> k;
// 输入训练数据
vector<Point> train_data(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
train_data[i].features.resize(m);
for (int j = 0; j < m; j++) {
cin >> train_data[i].features[j];
}
cin >> train_data[i].label;
}
// 输入测试点
vector<double> test_point(m);
for (int j = 0; j < m; j++) {
cin >> test_point[j];
}
// 使用KNN进行分类
int predicted_label = knn(train_data, test_point, k);
cout << predicted_label << endl;
return 0;
}复杂度分析：
-
时间复杂度 ：对于每个测试点，KNN需要计算与所有训练点的距离，因此时间复杂度为 O(n * m)，其中 n 是训练集大小，m 是特征维度。
-
空间复杂度：主要用于存储训练数据和距离结果，空间复杂度为 O(n)。
K近邻算法是一个简单直观的非参数分类算法，适用于低维、小数据集的情况。然而，由于它的计算复杂性较高，KNN在大数据集或高维数据上的表现不佳。因此，KNN算法通常被用作基准模型或在小规模数据集上使用。