数据结构——AVL树

未知陨落2024-11-17 18:47

目录

一.AVL树的概念

二.AVL树的实现

1.AVL树结点的定义

2.AVL树的插入

3.AVL树的删除

4.AVL树的查和改

5.AVL树的遍历

6.验证AVL树是否平衡

7.AVL树的性能

三.整体代码

1.AVLTree.h

2.AVLTree.cpp

一.AVL树的概念

二叉搜索树 虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1

平衡因子:右子树高度-左子树高度

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2N),搜索时间复杂度O(log2N)

二.AVL树的实现

1.AVL树结点的定义

cpp 复制代码 
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	int _bf;//balance factor 平衡因子:右子树高度减左子树高度

	pair<K, V> _kv;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv) { }
};

2.AVL树的插入

我们将插入分为3个步骤

1.按照二叉搜索树的规则插入

cpp 复制代码 
if (_root == nullptr)
{
	_root = new Node(kv);
	return true;
}

Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
	if (cur->_kv.first > kv.first)
	{
		parent = cur;
		cur = cur->_left;
	}
	else if (cur->_kv.first < kv.first)
	{
		parent = cur;
		cur = cur->_right;
	}
	else
	{
		return false;
	}
}

cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
	parent->_right = cur;
	cur->_parent = parent;
}
else
{
	parent->_left = cur;
	cur->_parent = parent;
}

2.调节平衡因子

插入后的平衡因子可以分为3种情况:

  1. 插入后平衡因子为0,说明插入前平衡因子为1/-1,将矮的那一边填上了,parent所在子树的高度不变,更新结束
  2. 插入后平衡因子为1 / -1,说明插入前平衡因子为0,parent所在子树的高度改变,需要向上更新
  3. 插入后平衡因子平衡因子为2 / -2,说明parent所在子树不平衡,需要旋转
cpp 复制代码 
while (parent)
{
	if (cur == parent->_right)
		parent->_bf++;
	else
		parent->_bf--;

	if (parent->_bf == 0)
	{
		//parent所在子树高度不变,更新结束
		break;
	}
	else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
	{
		//parent所在子树的高度变了,继续往上更新
		cur = parent;
		parent = parent->_parent;
	}
	else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
	{
		//parent所在子树不平衡,需要旋转处理
		if (parent->_bf == 2)
		{
			if (cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			else
			{
				RotateRL(parent);
			}
		}
		else if (parent->_bf == -2)
		{
			if (cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);
			}
			else
			{
				RotateLR(parent);
			}
		}

		break;
	}
}

3.平衡因子为正负2,需要旋转处理

旋转我们分为4种:左单旋,右单旋,先左单旋再右单旋,先右单旋再左单旋

1.左单旋

新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

cpp 复制代码 
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	subR->_left = parent;
	Node* ppNode = parent->_parent;
	parent->_parent = subR;

	//原来parent为根,现在subR为根
	//parent为树的子树,sunR替代parent
	if (_root == parent)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (ppNode->_left == parent)
			ppNode->_left = subR;
		else
			ppNode->_right = subR;

		subR->_parent = ppNode;
	}

	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

在左单旋的时候需要注意parent原来为根,subR替代为根,同时也可能parent为一棵子树的根,所以需要一个ppNode来保存parent的parent,以便于替代时将subR连接起来

2.右单旋

新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

cpp 复制代码 
	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		subL->_right = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subL;
			else
				ppNode->_right = subL;

			subL->_parent = ppNode;
		}

		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

3.先左单旋再右单旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新

cpp 复制代码 
void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;

	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);

	if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 1;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
}

4.先右单旋再左单旋

新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

cpp 复制代码 
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);

	if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
}

3.AVL树的删除

我们知道插入的步骤为:

  1. 按照搜索树的规则插入
  2. 更新平衡因子
  3. 更新过程中的平衡因子为2 / -2,根据情况判断是那种旋转,进行旋转处理

删除的步骤与之相同,只是更新平衡因子的过程基本相反

更新平衡因子:

1.右边插入 ,父亲平衡因子**++** ,左边插入, 父亲平衡因子**--**

右边删除 ,父亲平衡因子**--** ,左边删除, 父亲平衡因子**++**

2.插入后 ,父亲平衡因子变为0 ,说明父亲所在树高度不变,更新结束

删除后 ,父亲平衡因子变为0 ,说明父亲所在树高度变了,继续向上更新

3.插入后 ,父亲平衡因子变为1/-1 ,说明父亲所在树高度变了,继续向上更新

删除后 ,父亲平衡因子变为1/-1 ,说明父亲所在树高度不变,更新结束

4.插入/删除后,父亲平衡因子变为2/-2,说明不平衡,旋转处理

4.AVL树的查和改

1.搜索树的key是不允许更改的,因为更改了可能破坏整棵树的结构,但在key/value模型中,value可以更改

2.查和改和二叉搜索树是一样的

5.AVL树的遍历

cpp 复制代码 
void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return;

	_InOrder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
	_InOrder(root->_right);
}

void InOrder()
{
	_InOrder(_root);
	cout << endl;
}

6.验证AVL树是否平衡

cpp 复制代码 
int Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	int leftHeight = Height(root->_left);
	int rightHeight = Height(root->_right);

	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

bool _IsBalance(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return true;

	int leftHeight = Height(root->_left);
	int rightHeight = Height(root->_right);

	return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
}

bool IsBalance()
{
	return _IsBalance(_root);
}

7.AVL树的性能

我们可以通过下面的代码来测试AVLTree的效率如何

cpp 复制代码 
void Testtime()
{
	const int n = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(n);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
		v.push_back(rand());
	}

	AVLTree<int, int> avltree;
	size_t begin1 = clock();
	for (auto e : v)
	{
		avltree.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end1 = clock();

	cout << end1 - begin1 << endl;
}

可以看到100W个数据不会超过200

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(log2N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数 据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合

三.整体代码

1.AVLTree.h

cpp 复制代码 
#pragma once

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	int _bf;//balance factor 平衡因子:右子树高度减左子树高度

	pair<K, V> _kv;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv) { }
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;

public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//先按照搜索树的规则插入
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)
				parent->_bf++;
			else
				parent->_bf--;

			if (parent->_bf == 0)
			{
				//parent所在子树高度不变,更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//parent所在子树的高度变了,继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//parent所在子树不平衡,需要旋转处理
				if (parent->_bf == 2)
				{
					if (cur->_bf == 1)
					{
						RotateL(parent);
					}
					else
					{
						RotateRL(parent);
					}
				}
				else if (parent->_bf == -2)
				{
					if (cur->_bf == -1)
					{
						RotateR(parent);
					}
					else
					{
						RotateLR(parent);
					}
				}

				break;
			}
		}

		return true;
	}

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		subR->_left = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		//原来parent为根,现在subR为根
		//parent为树的子树,sunR替代parent
		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subR;
			else
				ppNode->_right = subR;

			subR->_parent = ppNode;
		}

		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		subL->_right = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subL;
			else
				ppNode->_right = subL;

			subL->_parent = ppNode;
		}

		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

void TestAVLTree()
{
	int a[] = { 16,3,7,11,9,26,18,14,15 };
    //int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	t.InOrder();

	cout << t.IsBalance() << endl;
}

void Testtime()
{
	const int n = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(n);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
		v.push_back(rand());
	}

	AVLTree<int, int> avltree;
	size_t begin1 = clock();
	for (auto e : v)
	{
		avltree.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end1 = clock();

	cout << end1 - begin1 << endl;
}

2.AVLTree.cpp

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<vector>
#include<time.h>
using namespace std;
#include"AVLTree.h"

int main()
{
	TestAVLTree();
    Testtime();
	return 0;
}
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