神经网络的激活函数（五）门控系列GLU、Swish和SwiGLU

1. GLU函数

GLU（Gated Linear Unit，门控线性单元）是一种在深度学习中用于增强模型表现的激活函数。GLU通过引入门控机制，使得模型能够选择性地通过信息，从而提高模型的表达能力和性能。

1.1 数学定义

GLU函数的数学表达式为：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> GLU ( x ) = ( X ∗ W + b ) ⊗ σ ( X ∗ V + c ) \text{GLU}(x) = (X ∗ W + b) ⊗ σ(X ∗ V + c) </math>GLU(x)=(X∗W+b)⊗σ(X∗V+c) 其中 ⊗ 表示逐元素乘法， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> X X </math>X 是输入， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> W W </math>W 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> V V </math>V 是权重矩阵， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> b b </math>b 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> c c </math>c 是偏置项。

1.2 关键性质

门控机制：GLU通过引入门控机制，使得模型能够选择性地通过信息，从而提高模型的表达能力。
非线性：GLU结合了线性变换和非线性激活，使得模型能够学习复杂的模式。
信息过滤：通过门控机制，GLU能够过滤掉不重要的信息，从而增强模型的表现。

1.3 提出时间

GLU激活函数是在2017年由Yann Dauphin等人在论文《Language Modeling with Gated Convolutional Networks》中提出的。

1.4 解决的问题

信息选择性：GLU通过门控机制，使得模型能够选择性地通过信息，从而提高模型的表达能力。
非线性增强：GLU结合了线性变换和非线性激活，从而增强了模型的非线性特性。
提高模型性能：GLU在许多任务中表现出色，特别是在自然语言处理（NLP）和序列建模任务中。

1.5 示例

以下是一个简单的Python示例，展示如何计算GLU函数：

python 复制代码

import numpy as np
def glu(x):
    """GLU 激活函数

    参数:
    x -- 输入数组，维度必须是偶数

    返回:
    GLU 激活后的数组
    """
    assert x.shape[-1] % 2 == 0, "输入数组的最后一个维度必须是偶数"
    half_dim = x.shape[-1] // 2
    return x[..., :half_dim] * sigmoid(x[..., half_dim:])

def sigmoid(x):
    """Sigmoid 函数

    参数:
    x -- 输入值

    返回:
    Sigmoid 函数的输出值
    """
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

2. Swish函数

Swish激活函数是一种在深度学习中广泛应用的激活函数，由Google Brain团队提出。Swish函数通过引入一个可学习的参数，使得激活函数在训练过程中能够自适应地调整，从而提高模型的性能。

数学定义

Swish函数的数学表达式为：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Swish ( x ) = x ⋅ σ ( β x ) \text{Swish}(x) = x \cdot \sigma(\beta x) </math>Swish(x)=x⋅σ(βx)

其中：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x x </math>x 是输入。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> σ \sigma </math>σ 是Sigmoid函数，定义为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> σ ( x ) = 1 1 + e − x \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} </math>σ(x)=1+e−x1。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β 是一个可学习的参数，控制函数的形状。

在大多数情况下， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β 被设置为1，从而简化为：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Swish ( x ) = x ⋅ σ ( x ) \text{Swish}(x) = x \cdot \sigma(x) </math>Swish(x)=x⋅σ(x)

关键性质

平滑性：Swish函数是连续且平滑的，这有助于提高模型的稳定性和收敛速度。
非单调性：Swish函数是非单调的，这意味着它在某些区间内是递增的，而在其他区间内是递减的。这种特性使得Swish能够捕捉到更复杂的模式。
可学习性 ：通过引入可学习参数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β，Swish函数能够在训练过程中自适应地调整，从而提高模型性能。
近似ReLU ：当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β趋向于无穷大时，Swish函数近似于ReLU函数；当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β趋向于0时，Swish函数近似于线性函数。

提出时间

Swish激活函数是在2017年由Google Brain团队在论文《Searching for Activation Functions》中提出的。

解决的问题

平滑激活：Swish通过引入Sigmoid函数，使得激活函数在输入的正负区间内都具有平滑性，从而提高模型的稳定性。
非单调性：Swish的非单调性使得它能够捕捉到更复杂的模式，比ReLU等单调激活函数更具表现力。
可学习性 ：Swish通过引入可学习参数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β \beta </math>β，使得激活函数能够自适应地调整，从而提高模型性能。

示例

以下是一个简单的Python示例，展示如何计算Swish函数：

python 复制代码

import numpy as np
def swish(x,beta=1.0):
    """Swish 激活函数

    参数:
    x -- 输入值

    返回:
    Swish 激活后的值
    """
    return x * sigmoid(beta*x)

def sigmoid(x):
    """Sigmoid 函数

    参数:
    x -- 输入值

    返回:
    Sigmoid 函数的输出值
    """
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

3. SwiGLU函数

SwiGLU（Swish-Gated Linear Unit）是一种结合了Swish和GLU（Gated Linear Unit）特点的激活函数，旨在提高深度学习模型的性能。SwiGLU通过引入门控机制和Swish激活函数，使得模型能够更有效地选择性通过信息，从而增强模型的表达能力和性能。

3.1 数学定义

SwiGLU函数的数学表达式为：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> SwiGLU ( a , b ) = Swish ( a ) ⊗ σ ( b ) \text{SwiGLU}(a, b) = \text{Swish}(a) \otimes \sigma(b) </math>SwiGLU(a,b)=Swish(a)⊗σ(b)

其中：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a a </math>a 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> b b </math>b 是输入张量。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Swish ( x ) = x ⋅ σ ( x ) \text{Swish}(x) = x \cdot \sigma(x) </math>Swish(x)=x⋅σ(x) 是Swish激活函数。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> σ ( x ) = 1 1 + e − x \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} </math>σ(x)=1+e−x1 是Sigmoid激活函数。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ⊗ \otimes </math>⊗ 表示逐元素乘法（Hadamard乘积）。

3.2 关键性质

门控机制：SwiGLU通过引入门控机制，使得模型能够选择性地通过信息，从而提高模型的表达能力。
平滑性：Swish函数的平滑性有助于提高模型的稳定性和收敛速度。
非单调性：Swish函数的非单调性使得SwiGLU能够捕捉到更复杂的模式。
信息过滤：通过门控机制，SwiGLU能够过滤掉不重要的信息，从而增强模型的表现。

3.3 提出时间

SwiGLU激活函数是在2021年由DeepMind团队在论文《Scaling Vision Transformers》中提出的。

3.4 解决的问题

信息选择性：SwiGLU通过门控机制，使得模型能够选择性地通过信息，从而提高模型的表达能力。
平滑激活：Swish通过引入Sigmoid函数，使得激活函数在输入的正负区间内都具有平滑性，从而提高模型的稳定性。
非单调性：Swish的非单调性使得SwiGLU能够捕捉到更复杂的模式，比ReLU等单调激活函数更具表现力。

3.5 示例

以下是一个简单的Python示例，展示如何计算SwiGLU函数： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( X ) = ( X ∗ W + b ) ⊗ S w i s h ( X ∗ V + c ) f(X) = (X ∗ W + b) ⊗ Swish(X ∗ V + c) </math>f(X)=(X∗W+b)⊗Swish(X∗V+c)

python 复制代码

import numpy as np
def SwiGLU(x):
    """SwiGLU 激活函数

    参数:
    x -- 输入数组，维度必须是偶数

    返回:
    SwiGLU 激活后的数组
    """
    assert x.shape[-1] % 2 == 0, "输入数组的最后一个维度必须是偶数"
    half_dim = x.shape[-1] // 2
    return x[..., :half_dim] * swish(x[..., half_dim:])

def swish(x,beta=1.0):
    """Swish 激活函数

    参数:
    x -- 输入值

    返回:
    Swish 激活后的值
    """
    return x * sigmoid(beta*x)

def sigmoid(x):
    """Sigmoid 函数

    参数:
    x -- 输入值

    返回:
    Sigmoid 函数的输出值
    """
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

总结

SwiGLU激活函数结合了Swish和GLU的优点，通过引入门控机制和平滑非单调特性，解决了ReLU等激活函数的一些固有问题。SwiGLU在许多深度学习任务中表现出色，特别是在计算机视觉和自然语言处理任务中。它通过门控机制和平滑激活，使得模型能够更快地收敛并达到更高的性能。

参考

[1] Language Modeling with Gated Convolutional Networks

[2] Searching for Activation Functions

[3] Scaling Vision Transformers

欢迎关注我的GitHub和微信公众号[真-忒修斯之船]，来不及解释了，快上船！

GitHub: LLMForEverybody

仓库上有原始的Markdown文件，完全开源，欢迎大家Star和Fork！