动态规划Ⅰ
- 一、基础
-
- [1. 意义](#1. 意义)
- [2. 序列 dp 解法](#2. 序列 dp 解法)
- 二、例题
-
- [1. 最大子段和](#1. 最大子段和)
- [2. 删数最大子段和（数据强度：pro max）](#2. 删数最大子段和（数据强度：pro max）)
- [3. 最长上升子序列（数据强度：pro max）](#3. 最长上升子序列（数据强度：pro max）)
- [4. 3 或 5 的倍数序列](#4. 3 或 5 的倍数序列)
- [5. 数码约数序列](#5. 数码约数序列)
一、基础
1. 意义
动态规划（dynamic programming，简称 dp），将一个目标大问题"大事化小，小事化了"，分成很多的子问题，得出子问题的解后得到目标大问题的解。动态规划相当于地狱难度的递推。
问题P 子问题P1 子问题P1的解 问题P的解 子问题P2 子问题P2的解 子问题P3 子问题P3的解 子问题P4 子问题P4的解
2. 序列 dp 解法
序列型动态规划分为几种常见的问题：
- 取连续的子段（串）
dp[i]表示以 i i i 为结尾
- 取子序列（不要求连续）
dp[i]表示以 i i i 为结尾dp[i]表示 0 ∼ i 0\sim i 0∼i 中 ...dp[i]长度为 i i i 序列结尾的性质
- 分段
dp[i]表示以 i i i 为结尾
二、例题
1. 最大子段和
题目描述
给出数组 a a a，如果我们取连续且非空的一段，那么这段的和最大是多少?
输入描述
第 1 1 1 行，是一个正整数 n n n，数组 a a a 的长度。
第 2 2 2 行，用空格隔开的 n n n 个整数，依次是 a [ 1 ] ∼ a [ n ] a[1]\sim a[n] a[1]∼a[n] 的值。
输出描述
1 1 1 个整数，为所求的最大的和
样例1
输入
6 1 -6 5 -4 2 4输出
7
提示
【样例解释】
取 5 , − 4 , 2 , 4 5,−4,2,4 5,−4,2,4 可以得到最大的和 7 7 7。
【数据范围】
对于 60 % 60\% 60% 的数据， n ≤ 100 n≤100 n≤100。
对于 80 % 80\% 80% 的数据， n ≤ 5000 n≤5000 n≤5000。
对于 100 % 100\% 100% 的数据， n ≤ 100000 n≤100000 n≤100000。
【问题类型】 取子段
【问题解法】 dp[i] 表示以 a[i] 为结尾的最大子段和是多少
【模板技巧】 如果前面都是负数，我不跟它们同流合污（a[i]）；如果前面大的，那就加入它们，做一个更大的数（dp[i-1]+a[i]）
【参考答案】
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,maxn=-1e8;
int a[100005];
int dp[100005];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
dp[1]=a[1];
for(int i=2;i<=n;i++){
dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i]);
maxn=max(maxn,dp[i]);
}
cout<<maxn;
return 0;
}2. 删数最大子段和（数据强度：pro max）
给出一个数组 a[]，删除一个元素后，求它的最大子段和。（子段是指数组中连续的一段元素）删除的元素可以由你自由选择，但是不能不删除任何元素，输出你能得到的最大的子段和。
思路：要删掉 a[i] 的时候会产生两个切口，第一个是以 a[i-1] 为结尾，第二个是以 a[i+1] 为开头。以 a[i-1] 为结尾取一个非常大的子段，以 a[i+1] 为开头取一个非常大的子段，将它们组合在一起，就可以完成本题。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN=1e6+8;
const int NEGINF=-1e18;
int n,ans=NEGINF;
int a[MAXN],dpl[MAXN],dpr[MAXN];
/*
* dpl[i]:以i为右端点的最大子段和
* dpr[i]:以i为左端点的最大子段和
*/
signed main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
dpl[i]=max(dpl[i-1]+a[i],a[i]);
for(int i=n;i>=1;i--)
dpr[i]=max(dpr[i+1]+a[i],a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=max({ans,dpl[i-1],dpr[i+1],dpl[i-1]+dpr[i+1]});//选择左边/右边/左边和右边
cout<<ans;
return 0;
}3. 最长上升子序列（数据强度：pro max）
求出数组 a[] 的最长上升子序列⻓度。
参考答案：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,sz;
int a[5005];
int dp[5005];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
if(sz==0||a[i]>dp[sz])sz++,dp[sz]=a[i];
else{
int p=lower_bound(dp+1,dp+sz+1,a[i])-dp;
dp[p]=a[i];
}
}
cout<<sz;
return 0;
}4. 3 或 5 的倍数序列
给出一个序列 a[]，要求你从中找出一个子序列，满足子序列中任意相邻两数之和是 3 3 3 或 5 5 5 的倍数。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=3e3+8;
const int MOD=1e9+7;
int n,a[MAXN],dp[MAXN];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<i;j++)
if((a[i]+a[j])%3==0||(a[i]+a[j])%5==0)
dp[i]=(dp[i]+dp[j]+1)%MOD;
ans=(ans+dp[i])%MOD;
}
cout<<ans;
return 0;
}5. 数码约数序列
给出一个序列 a[]，要求你从中找出一个子序列，满足子序列中任意相邻两数，前一个数的末位数码是后一个数的首位数码的约数。
例如 302 , 817 , 739000 302,817,739000 302,817,739000 是一个满足要求的序列，因为 302 302 302 的末位 2 2 2 是 807 807 807 的首位 8 8 8 的约数； 817 817 817 的末位 7 7 7 是 739000 739000 739000 的首位 7 7 7 的约数。 但是 70 , 1 70,1 70,1 就不满足要求，因为 0 0 0 不是 1 1 1 的约数。
问所有满足要求的子序列中，总和最大的序列的和是多少？（单独一个数也算满足要求的序列）
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+8;
long long n,dp[MAXN][10];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1,a,fst,lst;i<=n;i++){
cin>>a,fst=a,lst=a%10;
while(fst>=10)fst/=10;
for(int j=0;j<=9;j++)
dp[i][j]=dp[i-1][j];
for(int j=1;j<=fst;j++)
if(fst%j==0)
dp[i][lst]=max(dp[i][lst],dp[i-1][j]+a);
}
long long ans=0;
for(int i=0;i<=9;i++)ans=max(ans,dp[n][i]);
cout<<ans;
return 0;
}