C++之AVL树的深邃（图文并茂，万字详解）

禁默2024-12-04 8:31

目录

1.什么是AVL树

[1.1 树的结构](#1.1 树的结构)

1.2平衡因子的引入

[1.3 旋转操作的大致说明](#1.3 旋转操作的大致说明)

[1.4 插入与删除操作](#1.4 插入与删除操作)

1.5AVL树的优点和缺点

2.AVL树的实现

[2.1 AVL树的整体框架](#2.1 AVL树的整体框架)

[2.2 AVL树的插入](#2.2 AVL树的插入)

[2.2.1 AVL树插入一个值的过程](#2.2.1 AVL树插入一个值的过程)

[2.2.2 平衡因子更新](#2.2.2 平衡因子更新)

更新原则

更新停止条件

旋转的目标

[2.2.3 结点插入和平衡因子的更新](#2.2.3 结点插入和平衡因子的更新)

[2.3 旋转](#2.3 旋转)

[2.3.1 旋转的原则](#2.3.1 旋转的原则)

[2.3.2 右单旋](#2.3.2 右单旋)

[2.3.3 左单旋](#2.3.3 左单旋)

[2.3.4 左右双旋](#2.3.4 左右双旋)

[2.3.5 右左双旋](#2.3.5 右左双旋)

[2.4 AVL树的查找](#2.4 AVL树的查找)

[2.5 AVL树平衡检测（了解）](#2.5 AVL树平衡检测（了解）)

[3. 完整代码（附测试代码函数）](#3. 完整代码（附测试代码函数）)

结束语

1.什么是AVL树

**AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）是一种自平衡的二叉查找树（Binary Search Tree, BST），它的特点是每个节点的左子树和右子树的高度差（称为平衡因子）不能超过1。**AVL树是由俄罗斯数学家Adelson-Velsky和Landis于1962年提出的。

1.1 树的结构

AVL树与普通的二叉搜索树一样，满足以下两个条件：

  1. 二叉查找树性质 ：对于树中的任意一个节点，左子树的所有节点的值小于该节点的值，右子树的所有节点的值大于该节点的值。

  2. 平衡性：对于树中的每个节点，左子树和右子树的高度差的绝对值（即平衡因子）不能大于1。

1.2平衡因子的引入

对于树中某个节点 ( N )，其平衡因子 ( BF(N) ) 定义为：
BF(N) = 右子树高度-左子树高度

  • 如果 BF(N) = 0 ，表示该节点的左右子树高度相等。

  • 如果 BF(N) = 1 ，表示该节点的左子树比右子树高1。

  • 如果 BF(N) = -1 ，表示该节点的右子树比左子树高1。

  • 如果 ( |BF(N)| > 1 )，表示该节点的子树不平衡，需进行旋转操作来恢复平衡。

1.3 旋转操作的大致说明

为了保持AVL树的平衡性，当插入或删除节点后，树可能会失去平衡。此时需要通过旋转操作来恢复平衡。常见的旋转操作有四种：

  1. 右旋转（Single Rotation, Right Rotation）：适用于左子树过高（左重）的情况。

  2. 左旋转（Single Rotation, Left Rotation）：适用于右子树过高（右重）的情况。

  3. 左-右旋转（Double Rotation, Left-Right Rotation）： 适用于左子树的右子树过高的情况。

  4. 右-左旋转（Double Rotation, Right-Left Rotation）： 适用于右子树的左子树过高的情况。

1.4 插入与删除操作

  • 插入操作：当一个新节点插入AVL树时，首先按照二叉查找树的方式插入节点。然后，通过遍历树的路径来检查是否有节点失衡，如果有，进行相应的旋转操作。

  • 删除操作：删除节点后，可能导致树的不平衡，需要检查并恢复平衡，通常需要进行旋转操作。

平衡性与时间复杂度

  • 插入、删除、查找操作的时间复杂度为 O(log n) ，其中 n 是树中节点的数量。由于AVL树保证了平衡，因此在最坏情况下，树的高度为 O(log n) )，使得这些操作的时间复杂度得到保证。

1.5AVL树的优点和缺点

优点：

  • 相比普通的二叉查找树，AVL树提供了更稳定的查询时间，因为它保持了树的平衡性。

  • 对于频繁进行查找操作的应用，AVL树的性能较好。

缺点：

  • 由于在插入和删除操作后需要进行旋转操作，AVL树的插入和删除操作较为复杂。

  • 相比于其他自平衡树（如红黑树），AVL树的维护成本稍高，因为它需要频繁检查并调整平衡。

部分图例展示

该图就是要进行旋转操作

2.AVL树的实现

2.1 AVL树的整体框架

AVL树的结构跟二叉搜索树几乎是类似的，我们**需要添加一个int变量来记录平衡因子，且增加一个parent结点指针来辅助平衡因子的找寻和修改，**在后续的旋转操作我们会认识到它的作用。

cpp 复制代码 
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode {
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	int _BF;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _kv(kv), _parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr), _BF(0){}
};
template<class K,class V>
class AVLTree {
	using Node = AVLTreeNode<K, V>;
public:
	//AVL树的构建和操作
	bool Insert(const pair<K, V>& kv) {}
	void RotateR(Node* parent) {}
	void RotateL(Node* parent){}
	void RotateLR(Node* parent) {}
	void RotateRL(Node* parent) {}
	Node Find(const K& key){}
private:
	Node* _root = nullptr;
};
int main() {
	return 0;
}

2.2 AVL树的插入

2.2.1 AVL树插入一个值的过程

  1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。
  2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。
  3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束
  4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.2.2 平衡因子更新

更新原则

平衡因子 = 右子树高度-左子树高度
只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。
插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在
parent的左子树，parent平衡因子--
parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件

更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前
parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会
影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。
更新后parent的平衡因子等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1 或者 0->-1，说
明更新前parent子树两边一样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。
更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理。

旋转的目标

1、把 parent子树旋转平衡。

2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

图例展示

更新到10结点，发现平衡因子变为2，破坏了10子树结构，需要进行旋转。

更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束

最坏的情况一直更新到根结点

2.2.3 结点插入和平衡因子的更新

当一个新节点插入AVL树时，首先按照二叉查找树的方式插入节点。然后，通过遍历树的路径来检查是否有节点失衡，如果有，进行相应的旋转操作。

先找到插入结点的位置，在进行插入，然后检查更新平衡因子，这里我们在前面定义的_parent的作用就逐渐体现出来了。

cpp 复制代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
	if (_root == nullptr) {
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur) {
		if (cur->_kv.first < kv.first) {
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first) {
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
			return false;
	}
	cur = new Node(kv);
	
		if (kv.first < parent->_kv.first) {
			parent->_left = cur;
		}
		else
			parent->_right = cur;
	
	//链接父亲,方便后续更新平衡因子
	cur->_parent = parent;
	//控制平衡，平衡因子更新
	while (parent) {
		if (cur == parent->_left)
			parent->_BF--;
		else 
			parent->_BF++;
		if (parent->_BF == 0)
			break;
		else if (parent->_BF == 1 && parent->_BF == -1) {
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_BF == 2 && parent->_BF == -2) {
			//旋转处理
			break;
		}
		else
			return false;
	}
}

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

保持搜索树的规则，让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
说明：下面的图中，有些结点给的是具体值，方便观察。

2.3.2 右单旋

图例文字描述

图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是⾼度为h的子树， 是一种概括抽象表示，代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。
在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平
衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原
则。如果插入之前10是整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

右单旋的详细描述

右单旋代码

cpp 复制代码 
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 需要注意除了要修改孩⼦指针指向，还是修改⽗亲
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树
// 如果是整棵树的根，要修改_root
// 如果是局部的指针要跟上⼀层链接
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else

{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = subL;
}
else
{
parentParent->_right = subL;
}
subL->_parent = parentParent;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2.3.3 左单旋

图例文字描述
展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右旋类似。
在a子树中插入一个新结点，导致a子树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵
树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转
原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

左单旋代码

cpp 复制代码 
void RotateL(Node* parent){
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;
	subR->_left = parent;
	Node* parent_Parent = parent->_parent;
	parent->_parent = subR;
	if (parent_Parent == nullptr) {
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else {
		if (parent == parent_Parent->_left)
			parent_Parent->_left = subR;
		else
			parent_Parent->_right = subR;

		subR->_parent = parent_Parent;
	}
	parent->_BF = subR->_BF = 0;
}

2.3.4 左右双旋

图形文字描述
通过下面的图可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

只进行了右旋的错误示范图


下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置 不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。
场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子， 引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。


场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋
转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

代码书写

cpp 复制代码 
void RotateLR(Node* parent) {
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_BF;
	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);
	if (bf == 0) {
		subLR->_BF = 0;
		parent->_BF = 0;
		subL->_BF = 0;
	}
	else if (bf == 1) {
		subLR->_BF = 0;
		parent->_BF = 0;
		subL->_BF = -1;
	}
	else if (bf == -1) {
		subLR->_BF = 0;
		parent->_BF = 1;
		subL->_BF = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}

}

重点是平衡因子的更新

2.3.5 右左双旋

跟左右双旋类似，下面将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的
细节进一步展开为12和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察12的平衡因子不同，这里同样要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因
子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。


场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子， 引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。


场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

代码展示

cpp 复制代码 
void RotateRL(Node* parent) {
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_BF;
	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);
	if (bf == 0) {
		subR->_BF = 0;
		subRL->_BF = 0;
		parent->_BF = 0;
	}
	else if (bf == 1) {
		subR->_BF = 0;
		subRL->_BF = 0;
		parent->_BF = -1;
	}
	else if (bf == -1) {
		subR->_BF = 1;
		subRL->_BF = 0;
		parent->_BF = 0;
	}
	else {
		assert(false);
	}
}

2.4 AVL树的查找

仿照二叉搜索树的逻辑进行查找，效率O(log n)

cpp 复制代码 
Node*Find(const K& key){
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first > key)
			cur = cur->_left;
		else if (cur->_kv.first < key)
			cur = cur->_right;
		else
			return cur;
	}
	return nullptr;
}

2.5 AVL树平衡检测（了解）

实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

cpp 复制代码 
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
	// 空树也是AVL树
	if (nullptr == root)
		return true;
	// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	int diff = rightHeight - leftHeight;

	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
	// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
	if (abs(diff) >= 2)
	{
		cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
		return false;
	}

	if (root->_BF != diff)
	{
		cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}

	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

我们仿照前面二叉树的学习将高度和大小，中序遍历求解也写下

cpp 复制代码 
void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}

	_InOrder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
	_InOrder(root->_right);
}
int _Height(Node* root) {

	if (root == nullptr) {
		return 0;
	}
	int Left_height = _Height(root->_left);
	int Right_height = _Height(root->_right);
	return Left_height > Right_height ? Left_height + 1 : Right_height + 1;
}
int _Size(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}

我们同样按照二叉搜索树一样是将这些函数封装在private中，在public中在定义函数调用这些函数，不然在外面传根节点有点麻烦。

3. 完整代码（附测试代码函数）

cpp 复制代码 
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <vector>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode {
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	int _BF;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _kv(kv), _parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr), _BF(0){}
};
template<class K,class V>
class AVLTree {
	using Node = AVLTreeNode<K, V>;
public:
	//AVL树的构建和操作
	bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_kv.first < kv.first) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(kv);
		
			if (kv.first < parent->_kv.first) {
				parent->_left = cur;
			}
			else
				parent->_right = cur;
		
		//链接父亲,方便后续更新平衡因子
		cur->_parent = parent;
		//控制平衡，平衡因子更新
		while (parent) {
			if (cur == parent->_left)
		   parent->_BF--;
	     	else 
				parent->_BF++;

			if (parent->_BF == 0) 
				break;
			else if (parent->_BF == 1 || parent->_BF == -1) {
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_BF == 2 || parent->_BF == -2) {
				if (parent->_BF == 2 && cur->_BF == 1)
					RotateL(parent);
				else if (parent->_BF == -2 && cur->_BF == -1) 
					RotateR(parent);
				else if (parent->_BF == 2 && cur->_BF == -1) 
					RotateRL(parent);
				else if (parent->_BF == -2 && cur->_BF == 1) 
					RotateLR(parent);
				else 
					assert(false);
				
				break;
			}
			else 
				return false;
			
		}
		return true;
	}
	void RotateR(Node* parent) {
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		Node* parent_Parent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		//parent可能是整棵树的根，也可能是局部根
		//局部根要向上链接，更新祖父的结点信息
		if(parent_Parent==nullptr){
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else {
			if (parent_Parent->_left == parent)
				parent_Parent->_left = subL;
			else
				parent_Parent->_right = subL;

			subL->_parent = parent_Parent;
		}	
		parent->_BF = subL->_BF = 0;
	}
	void RotateL(Node* parent) {
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		subR->_left = parent;
		Node* parent_Parent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		// 更新 parent_Parent 的子节点指针
		if (parent_Parent == nullptr) {
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else {
			if (parent == parent_Parent->_left)
				parent_Parent->_left = subR;
			else
				parent_Parent->_right = subR;

			subR->_parent = parent_Parent;
		}

		parent->_BF = subR->_BF = 0;
	}
	void RotateLR(Node* parent) {
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_BF;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == 0) {
			subLR->_BF = 0;
			parent->_BF = 0;
			subL->_BF = 0;
		}
		else if (bf == 1) {
			subLR->_BF = 0;
			parent->_BF = 0;
			subL->_BF = -1;
		}
		else if (bf == -1) {
			subLR->_BF = 0;
			parent->_BF = 1;
			subL->_BF = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}

	}
	void RotateRL(Node* parent) {
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_BF;
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		if (bf == 0) {
			subR->_BF = 0;
			subRL->_BF = 0;
			parent->_BF = 0;
		}
		else if (bf == 1) {
			subR->_BF = 0;
			subRL->_BF = 0;
			parent->_BF = -1;
		}
		else if (bf == -1) {
			subR->_BF = 1;
			subRL->_BF = 0;
			parent->_BF = 0;
		}
		else {
			assert(false);
		}
	}
	Node*Find(const K& key){
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > key)
				cur = cur->_left;
			else if (cur->_kv.first < key)
				cur = cur->_right;
			else
				return cur;
		}
		return nullptr;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

	bool IsBalanceTree()
	{
		return _IsBalanceTree(_root);
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	int _Height(Node* root) {

		if (root == nullptr) {
			return 0;
		}
		int Left_height = _Height(root->_left);
		int Right_height = _Height(root->_right);
		return Left_height > Right_height ? Left_height + 1 : Right_height + 1;
	}
	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}
	bool _IsBalanceTree(Node* root)
	{
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == root)
			return true;
		// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		int diff = rightHeight - leftHeight;

		// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
		// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (abs(diff) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_BF != diff)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
		return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> t;
	// 常规的测试用例
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };

	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}

	t.InOrder();
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
void test2() {
	AVLTree<int, int> tree;
	const int N = 100000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		v.push_back(rand() + i);
	}
	for (auto e : v) {
		tree.Insert({ e, e });
	}
	size_t end2 = clock();

	cout << tree.IsBalanceTree() << endl;

	cout << "Height:" << tree.Height() << endl;
	cout << "Size:" << tree.Size() << endl;

	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值
	for (auto e : v)
	{
		tree.Find(e);
	}
	// 随机值
	/*for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}*/

}

int main() {
	//test2();
	TestAVLTree1();
	return 0;
}

测试部分我们用了随机的数据插入来验证AVL树更具有说服力。

结束语

AVL树是一种自平衡的二叉查找树，能够保证在插入、删除、查找等操作中的时间复杂度为 O(log n) 。通过平衡因子的控制和旋转操作，AVL树保持了树的平衡性，有效地避免了树变成链表的情况，从而提升了操作效率。

本节内容就到此结束了，感谢友友们的阅读和支持！！！

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