数据结构--二叉树的创建和遍历

引入

定义

性质

二叉树的创建

引入

二叉树（Binary Tree）是数据结构中的一种重要类型。

定义

二叉树是指树中节点的度不大于2的有序树，即每个节点最多有两个子节点，通常被称为左子节点和右子节点。二叉树可以是空树，或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

性质

在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点（i≥1）。

深度为h的二叉树中至多含有2^h-1个节点（h≥1）。当二叉树为满二叉树时，节点数达到最大值。

若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1。

具有n个节点的满二叉树深为log2(n+1)（这里的log是以2为底的对数）。

对于完全二叉树，若其节点按从上至下从左至右的顺序编号，则对于任意节点i：

若i=1，则该节点为根节点，无双亲节点。

若2i≤n（n为节点总数），则有编号为2i的左节点，否则没有左节点。

若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点。

二叉树的创建

如下就是一个二叉树，那么如何去构建这么一个二叉树呢？

如上，A、B、C、D......等都是一个节点，要想去构建二叉树，那么就要有额外的类或方法去创建这些节点，在此给出一个 TreeNode类：

java 复制代码

public class TreeNode{
    public int data;
    public TreeNode left;
    public TreeNode  right;

    public TreeNode(int data){
        this.data=data;
    }
   
    //重写toString()方法
    @Override
    public String toString(){
        return "data:"+data+"left:"+left+"right:"+right;
    }
    //数据的类型决定数据在内存中的存储形式
}

在这里给出两种方式去构建二叉树：迭代法和递归法。

迭代法

java 复制代码

public class BinaryTree {
    public TreeNode root;
    public void insert(int data) {
        //新建一个节点
        TreeNode newNode = new TreeNode(data);
        //放入第一个节点
        if (root == null) {
            root = newNode;
            return;
        }
        TreeNode currentNode = root;
        while (true) {
            if (newNode.data < currentNode.data) {
                if (currentNode.left != null) {
                    currentNode = currentNode.left;
                } else {
                    currentNode.left = newNode;
                    return;
                }
            } else {
                if (currentNode.right != null) {
                    currentNode = currentNode.right;
                } else {
                    currentNode.right = newNode;
                    return;
                }
            }
        }
    }
}

注意事项：

TreeNode类的定义 ：上述代码中假设已经存在一个名为TreeNode的类，它应该包含一个名为data的整型字段，以及两个名为left和right的TreeNode类型字段（分别表示左子节点和右子节点）。这个类通常还会包含一个构造函数来初始化这些字段。
二叉树的性质 ：上述insert方法实现的是一个二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）的插入操作。在二叉搜索树中，每个节点的左子树只包含小于节点值的元素，而右子树只包含大于或等于节点值的元素。这种性质使得二叉搜索树在查找、插入和删除操作上具有较高的效率。
无限循环的安全性 ：虽然上述代码中使用了一个无限循环（while (true)），但由于在每个条件分支中都有return语句来终止方法，因此这个循环是安全的。在实际编程中，如果循环条件不是显而易见的，或者循环体中的逻辑比较复杂，那么使用明确的循环条件（如do-while循环或带有break语句的while循环）可能会使代码更加清晰易懂。

递归法

java 复制代码

//递归实现树的构建
// 递归插入方法
public void build(int data) {
    root = insertRec(root, data);
}

// 辅助递归函数
private TreeNode insertRec(TreeNode root, int data) {
    // 如果当前节点为空，创建一个新节点并返回它
    if (root == null) {
        root = new TreeNode(data);
        return root;
    }
    // 否则，递归地将数据插入到左子树或右子树中
    if (data < root.data) {
        root.left = insertRec(root.left, data);
    } else {
        root.right = insertRec(root.right, data);
    }
    // 返回（未修改的）当前节点（对于递归调用者很重要）
    return root;
}

注意事项：

递归的基本情况和递归情况 ：在insertRec方法中，基本情况是当当前节点为空时创建一个新节点。递归情况是当当前节点不为空时，根据数据的大小将数据插入到左子树或右子树中。
返回当前节点：在递归方法中，返回当前节点（即使它可能没有被修改）是非常重要的。这是因为递归调用需要返回更新后的子树的根节点，以保持树的结构。
Java的引用传递 ：在Java中，对象是通过引用传递的。这意味着当我们将一个对象传递给一个方法时，我们实际上是在传递对象的引用（而不是对象本身）。因此，当我们在insertRec方法中修改root.left或root.right时，我们实际上是在修改调用者传递的引用所指向的对象。
构建二叉搜索树：这段代码实现了一个二叉搜索树的构建过程。在二叉搜索树中，每个节点的左子树只包含小于节点值的元素，而右子树只包含大于或等于节点值的元素。这种性质使得二叉搜索树在查找、插入和删除操作上具有较高的效率。

二叉树的遍历

二叉树的遍历分为深度优先和广度优先两大类。

深度优先

先序遍历：按照"根节点-左子树-右子树"的顺序遍历二叉树。

中序遍历：按照"左子树-根节点-右子树"的顺序遍历二叉树。在二叉搜索树（BST）中，中序遍历的结果是一个有序序列。

后序遍历：按照"左子树-右子树-根节点"的顺序遍历二叉树。

广度优先

层序遍历：按照二叉树的层次从上到下、从左到右遍历节点。

接下来实现上述遍历算法：

先序遍历（前序遍历）

java 复制代码

//先序遍历
public void beforOrder(TreeNode root){
    if(root==null){
        return;
    }
    System.out.println(" "+root.data);
    beforOrder(root.left);
    beforOrder(root.right);
}

中序遍历

java 复制代码

//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root){
    if(root==null){
        return;
    }
    inOrder(root.left);
    System.out.println(" "+root.data);
    inOrder(root.right);
}

后序遍历

java 复制代码

//后序遍历
public void afterOrder(TreeNode root){
    if(root==null){
        return;
    }
    afterOrder(root.left);
    afterOrder(root.right);
    System.out.println(" "+root.data);
}

层序遍历

java 复制代码

//广度优先
public void leveOrder(){
    LinkedList<TreeNode> queue=new LinkedList<>();
    queue.add(root);
    while(!queue.isEmpty()){
        root=queue.pop();
        System.out.println(" "+root.data);
        if(root.left!=null){
            queue.add(root.left);
        }
        if(root.right!=null){
            queue.add(root.right);
        }
    }
}

查找树结构中是否存在某数值

方法一：

java 复制代码

//查询是否存在某个数值（true/false）
public boolean isNode(TreeNode root,int data){
    if(root==null){
        return false;
    }
    if(root.data==data){
        return true;
    }
    return isNode(root.left,data) || isNode(root.right,data);
}

方法二：

java 复制代码

// 递归搜索方法
public boolean search(int data) {
    return searchRec(root, data);
}

private boolean searchRec(TreeNode root, int data) {
    // 如果当前节点为空，说明没有找到目标值
    if (root == null) {
        return false;
    }
    // 如果当前节点的值等于目标值，返回true
    if (root.data == data) {
        return true;
    }
    // 如果目标值小于当前节点的值，递归地在左子树中搜索
    if (data < root.data) {
        return searchRec(root.left, data);
    }else{
        // 如果目标值大于当前节点的值，递归地在右子树中搜索
        return searchRec(root.right, data);
    }

}

上述就是二叉树相关操作啦！o(*￣▽￣*)ブ