装箱问题的三种解法

有一个箱子容量为V（正整数，0≤v≤20000），同时有n个物品（0< n ≤30），每个物品有一个体积（正整数）。

要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

样例

输入样例

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输出样例

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方法一：动规

dp $j$ 表示体积为j用掉的最大体积

动态转移方程：dp $j$ =max(dp $j$ ,dp $j-a\[i$ ]+a $i$ );

dp $j-a\[i$ ]+a $i$ 表示a $i$ 全部装入

dp $j$ 表示不放入

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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
	int V,n,i,j;
	cin>>V>>n;
	int a[35]={};
	for(i=0;i<n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	int dp[20005]={};
	for(i=0;i<n;i++){
		for(j=V;j>=a[i];j--){
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+a[i]);
		}
	}
	cout<<V-dp[V]<<endl;
}

方法2 回溯

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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[35]={}; 
//maxV表示消耗的最大体积 
int maxV=0,n,V;
//sumV为实际消耗的体积 
//cnt为搜索的第cnt个物品 
void dfs(int cnt,int sumV){
	if(sumV>V)return;
	//搜索到最后一个 
	if(cnt==n+1){
		if(sumV>maxV)maxV=sumV;
		return; 
	}
	//不放入 
	dfs(cnt+1,sumV);
	//全部放入 
	dfs(cnt+1,sumV+a[cnt]);
}
int main(){
	cin>>V;
	int i,j;
	cin>>n; 
	for(i=0;i<n;i++){
		cin>>a[i]; 
	}
	dfs(0,0);
    cout<<V-maxV<<endl;
}

方法3 贪心

从大到小排序，每次选择可以装入的

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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//从大到小排序 
int cmp(const void *a,const void *b){
	return *(int*)b-*(int*)a;
} 
int main(){
	int V,n,i,j;
	cin>>V>>n;
	int a[35]={};
	for(i=0;i<n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	qsort(a,n,sizeof(int),cmp);
	for(i=0;i<n;i++){
		if(V==0)break;
		if(V>=a[i])V-=a[i]; 
	}
	cout<<V<<endl; 
}

这样子有局限性，只有数组最大值放入能够使剩余空间最小才满足。

举个例子

数组最大值放入反而得不到剩余空间最小值

用动态规划和回溯均可得到最小剩余空间为0。可见这个贪心策略有局限性。