【蓝桥杯每日一题】统计子矩阵

统计子矩阵

2024-12-5 蓝桥杯每日一题统计子矩阵前缀和双指针

题目大意

给定一个 N × M N×M N×M的矩阵 A, 请你统计有多少个子矩阵 (最小 $1\times1$ , 最大 N × M N×M N×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K ?

解题思路

乍一看这个题与矩阵有关，而且又让求子矩阵的总和，那么很自然的就会想到二维前缀和，然后通过四重循环的枚举找出所有符合条件的子矩阵。

再一看数据范围，四重循环包爆的，那么想怎么缩小这个循环次数呢？
既然枚举子矩阵的两个顶点行不通，那么枚举子矩阵的两条边行不行？

**先看宽怎么枚举？**可以想到通过求出每一列的前缀和，然后通过双重循环枚举即可，这个枚举的长度就是宽，又由于是前缀和可以通过O(1) 来求出这之间的总和；

**然后再看长度怎么枚举？**首先确定这个长度的枚举是在宽度已经确定的条件下枚举的，也就是说在枚举的时候，长和宽只有一个值在变；那么可以通过双指针的方式枚举长度范围，右指针每次向前加1，然后左指针根据矩阵的大小来改变；那么数量的计算就是左右指针之间的差值。
对于蓝桥杯来说暴力拿分还是挺重要的

70分

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// 二维前缀和

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 510;
typedef long long ll;
int n,m,kk,a[N][N],b[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m>>kk;
    for(int i = 1;i <= n;i++) 
        for(int j = 1;j <= m;j++) 
            cin>>a[i][j];

    for(int i = 1;i <= n;i++) {
        for(int j = 1;j <= m;j++) {
            b[i][j] = b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1] + a[i][j];
        } 
    }   

    int res = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++) {
        for(int j = 1;j <= m;j++) {
            for(int k = i;k <= n;k++) {
                for(int h = j;h <= m;h ++) {
                    if(b[k][h] - b[k][j-1] - b[i-1][h] + b[i-1][j-1] <= kk) {
                        res ++;
                    } else {
                        break;
                    }
                }
                
            }
        }
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

Accepted

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// 列前缀和 ＋ 双指针

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 510;
typedef long long ll;
int n,m,kk,a[N][N],b[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m>>kk;
    for(int i = 1;i <= n;i++) 
        for(int j = 1;j <= m;j++) {
            cin>>a[i][j];
            b[i][j] = b[i-1][j] + a[i][j];  // 处理 列 前缀和
        }

    ll res = 0; // 要开long long
    for(int i = 1;i <= n;i++) {
        for(int j = i;j <= n;j++) { // 前两层循环 枚举矩阵的宽
            for(int l = 1,r = 1,sum = 0;r <= m;r++) {   // 通过双指针枚举矩阵的长
                sum += b[j][r] - b[i-1][r];     // 先斩后奏  先加里面后面再判断
                while(sum > kk) {
                    sum -= b[j][l] - b[i-1][l];    // 从前面缩短矩阵的长
                    l++;
                }
                res += r-l+1;           // 因为这时候矩阵的宽是确定的，那么只需要判断有多少种长度是满足的即可
            }
        }
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

备注

想要一起备赛的小伙伴可以私信加我的联系方式！