统计子矩阵
2024-12-5 蓝桥杯每日一题 统计子矩阵 前缀和 双指针
题目大意
给定一个 N × M N×M N×M的矩阵 A, 请你统计有多少个子矩阵 (最小$ 1×1$, 最大 N × M N×M N×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K ?
解题思路
- 乍一看这个题与矩阵有关,而且又让求子矩阵的总和,那么很自然的就会想到二维前缀和,然后通过四重循环的枚举找出所有符合条件的子矩阵。
- 再一看数据范围,四重循环包爆的,那么想怎么缩小这个循环次数呢?
既然枚举子矩阵的两个顶点行不通,那么枚举子矩阵的两条边行不行?- **先看宽怎么枚举?**可以想到通过求出每一列的前缀和,然后通过双重循环枚举即可,这个枚举的长度就是宽,又由于是前缀和可以通过O(1) 来求出这之间的总和;
- **然后再看长度怎么枚举?**首先确定这个长度的枚举是在宽度已经确定的条件下枚举的,也就是说在枚举的时候,长和宽只有一个值在变;那么可以通过双指针的方式枚举长度范围,右指针每次向前加1,然后左指针根据矩阵的大小来改变;那么数量的计算就是左右指针之间的差值。
对于蓝桥杯来说暴力拿分还是挺重要的
70分
cpp
// 二维前缀和
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 510;
typedef long long ll;
int n,m,kk,a[N][N],b[N][N];
int main()
{
cin>>n>>m>>kk;
for(int i = 1;i <= n;i++)
for(int j = 1;j <= m;j++)
cin>>a[i][j];
for(int i = 1;i <= n;i++) {
for(int j = 1;j <= m;j++) {
b[i][j] = b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1] + a[i][j];
}
}
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++) {
for(int j = 1;j <= m;j++) {
for(int k = i;k <= n;k++) {
for(int h = j;h <= m;h ++) {
if(b[k][h] - b[k][j-1] - b[i-1][h] + b[i-1][j-1] <= kk) {
res ++;
} else {
break;
}
}
}
}
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
Accepted
cpp
// 列前缀和 + 双指针
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 510;
typedef long long ll;
int n,m,kk,a[N][N],b[N][N];
int main()
{
cin>>n>>m>>kk;
for(int i = 1;i <= n;i++)
for(int j = 1;j <= m;j++) {
cin>>a[i][j];
b[i][j] = b[i-1][j] + a[i][j]; // 处理 列 前缀和
}
ll res = 0; // 要开long long
for(int i = 1;i <= n;i++) {
for(int j = i;j <= n;j++) { // 前两层循环 枚举矩阵的宽
for(int l = 1,r = 1,sum = 0;r <= m;r++) { // 通过双指针枚举矩阵的长
sum += b[j][r] - b[i-1][r]; // 先斩后奏 先加里面后面再判断
while(sum > kk) {
sum -= b[j][l] - b[i-1][l]; // 从前面缩短矩阵的长
l++;
}
res += r-l+1; // 因为这时候矩阵的宽是确定的,那么只需要判断有多少种长度是满足的即可
}
}
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
备注
想要一起备赛的小伙伴可以私信加我的联系方式!