【数学建模】线性规划问题及Matlab求解

问题一

题目：

求解下列线性规划问题

解答：

先将题目中求最大值转化为求最小值，则有

我们就可以得到系数列向量:

我们对问题中所给出的不等式约束进行标准化则得到了

就有不等式约束条件下的变系数矩阵和常系数矩阵分别为：

等式约束条件下的系数矩阵为

然后我们利用求解器对该线性规划问题进行求解，解决该问题的Matlab代码为：

f=[-3;1;1];
a=[1,-2,1;
    4,-1,-2];
b=[11;
    -3];
aeq=[-2,0,1];
beq=1;
lb=zeros(3,1);%表示下界是一个三行一列的数组且全为0
[x,fval]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb);
y=-fval;%将最小值转化为最大值
disp(x);%输出各个x的取值
disp(y);%输出最大值

最终答案为：

问题二

题目：

求解下列线性规划问题

解答：

由于本题中目标函数的自变量都带有绝对值号，所以我们需要再目标函数中去掉绝对值符号，让目标函数变为标准形式，在这里我们设,不难看出，其中均大于0

于是目标函数被我们改写成了：

目标函数的系数列向量就能被表示出来：

等式约束条件也被改写为：

从而得到系数矩阵和常数矩阵为：

同时由于我们引进了新的变量，且这八个未知数都为大于0的值。

然后我们利用求解器对该线性规划问题进行求解，解决该问题的Matlab代码为：

M=[1;2;3;4];
f=[M;M];
P=[1,-1,-1,1;
    1,-1,1,-3;
    1,-1,-2,3];
Aeq=[-P,P];
beq=[0;1;-1/2];
lb=zeros(8,1);
[x,y]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb);
ff=-y;
uv=x(5:end)-x(1:4);
disp(uv);
disp(ff)

最终答案为：

问题三

题目：

某厂生产三种产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。每种产品要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，他们以表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以表示，产品Ⅰ可在A、B任何一种规格设备上加工。产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在设备上加工；产品Ⅲ只能在设备上加工。已知在各种机床涉笔的单件工时、原材料费、产品销售单价、各种设备有效合时以及满负载操作时机床设备的费用如下表所示，求最优的生产计划，使该厂利润最大。

|-----------------------------------|------|------|------|--------|-------------|
| 设备 | 产品 ||| 设备有效台时 | 满负荷时的设备费用/元 |
| 设备 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | 设备有效台时 | 满负荷时的设备费用/元 |
| | 5 | 10 | | 6000 | 300 |
| | 7 | 9 | 12 | 10000 | 321 |
| | 6 | 8 | | 4000 | 250 |
| | 4 | | 11 | 7000 | 783 |
| | 7 | | | 4000 | 200 |
| 原料费/（元/件） | 0.25 | 0.35 | 0.5 | | |
| 单价/（元/件） | 1.25 | 2.00 | 2.80 | | |

解答：

根据题目所求，不妨设产品Ⅰ在设备上加工的产品件数分别为，产品Ⅱ在设备上加工的产品件数分别为,产品Ⅲ在设备上加工的产品件数分别为

根据题目我们不难得到利润的目标函数

也就是：

化为求解器的标准形式为

目标函数的系数列向量为

由于每件产品都要经过A，B两步骤，我们就可以得到关于x的三条等式约束关系：

也就是:

系数矩阵和常数矩阵为：

且每台设备的有效台时固定，我们就可以得到对应的不等式约束关系：

则有系数矩阵和常数矩阵为：

不难看出每一个x都是不小于0的，我们就可以得到解决该问题的matlab代码：

f=-[1.25-0.25-300*5/6000;
    1.25-0.25-321*7/10000;
    -250*6/4000;
    -783*4/7000;
    -200*7/4000;
    2-0.25-300*10/6000;
    2-0.25-321*9/10000;
    -250*8/4000;
    2.8-0.5-321*12/10000;
    -783*11/7000];
a=[5,0,0,0,0,10,0,0,0,0;
    0,7,0,0,0,0,9,0,12,0;
    0,0,6,0,0,0,0,8,0,0;
    0,0,0,4,0,0,0,0,0,11;
    0,0,0,0,7,0,0,0,0,0];
b=[6000;
    10000;
    4000;
    7000;
    4000];
Aeq=[1,1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0;
    0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1];
beq=[0;
    0;
    0];
lb=zeros(10,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)

得到的结果是：

但该规划应为整数规划，我们调整代码得到：

f=-[1.25-0.25-300*5/6000;
    1.25-0.25-321*7/10000;
    -250*6/4000;
    -783*4/7000;
    -200*7/4000;
    2-0.25-300*10/6000;
    2-0.25-321*9/10000;
    -250*8/4000;
    2.8-0.5-321*12/10000;
    -783*11/7000];
a=[5,0,0,0,0,10,0,0,0,0;
    0,7,0,0,0,0,9,0,12,0;
    0,0,6,0,0,0,0,8,0,0;
    0,0,0,4,0,0,0,0,0,11;
    0,0,0,0,7,0,0,0,0,0];
b=[6000;
    10000;
    4000;
    7000;
    4000];
Aeq=[1,1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0;
    0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1];
beq=[0;
    0;
    0];
lb=zeros(10,1);
intcon=(1:10);
[x,y]=intlinprog(f,intcon,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)

最终的结果是：

问题四

题目 ：

一架货机有三个货舱：前舱、中仓和后舱。三个货舱所能装载的货物的最大质量和体积有限制如下表所示。并且为了飞机的平衡，三个货舱装在的货物质量必须与其最大的容许量成比例。

|----------------------------------------|------|------|------|
| | 前舱 | 中仓 | 后舱 |
| 质量限制/t | 10 | 16 | 8 |
| 体积限制/ | 6800 | 8700 | 5300 |

现有四类货物用该货机进行装运，货物的规格以及装运后获得的利润如下表所示

|-----|------|------------------------------------------|---------|
| | 质量/t | 空间/（/t） | 利润（元/t） |
| 货物1 | 18 | 480 | 3100 |
| 货物2 | 15 | 650 | 3800 |
| 货物3 | 23 | 580 | 3500 |
| 货物4 | 12 | 390 | 2850 |

假设：

（1）每种货物都可以无限细分；

（2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；

（3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并可以保证不留空隙；

应如何装运，才能使伙计的飞行利润最大？

解答：

首先我们分别假设货物1到货物4装载在前舱、中仓、后舱的重量分别为

根据表格我们得到了本问题的目标函数

化为标准形式就是

系数列向量为：

根据货舱的质量限制和体积限制我们可以得到三类不等式约束

质量的不等式约束：

体积的不等式约束：

三种货物的质量总量的不等式约束：

综合一起我们得到了全部变量的不等式约束

系数矩阵及常数矩阵为：

由于三个货舱装在的货物质量必须与其最大的容许量成比例，我们可以得到一个等式条件

也就是满足下列两个等式条件：

对应的常系数矩阵为：

不难看出每一个都是不小于0的值。

这样我们就可以得到利用求解器求解该线性规划的matlab代码 ：

f1=[3100;
    3100;
    3100];
f2=[3800;
    3800;
    3800];
f3=[3500;
    3500;
    3500];
f4=[2850;
    2850;
    2850];
f=-[f1;
    f2;
    f3;
    f4];
a=[1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0;
    0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0;
    0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1;
    480,0,0,650,0,0,580,0,0,390,0,0;
    0,480,0,0,650,0,0,580,0,0,390,0;
    0,0,480,0,0,650,0,0,580,0,0,390;
    1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
    0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0;
    0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1];
b=[10;
    16;
    8;
    6800;
    8700;
    5300;
    18;
    15;
    23;
    12];
a1=[8,-5,0];
a2=[0,1,-2];
Aeq=[a1,a1,a1,a1;
    a2,a2,a2,a2];
beq=[0;
    0];
lb=zeros(12,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
x1=sum(x(1:3));
x2=sum(x(4:6));
x3=sum(x(7:9));
x4=sum(x(10:12));
x1=roundn(x1,-4);
x2=roundn(x2,-4);
x3=roundn(x3,-4);
x4=roundn(x4,-4);
ff=roundn(ff,-4);
disp(x1)
disp(x2)
disp(x3)
disp(x4)
disp(ff)

值得指出的是下列代码的作用是对x1四舍五入到指定的四位小数

x1=roundn(x1,-4);

最后得到的结果是：

问题五

题目：

某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：

项目A，从第一年到第四年每年年初都需要投资，并于次年末回收本利115%；

项目B，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；

项目C，第二年年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；

项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。

该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使得到第五年末拥有的资金的本利总额最大？

解答：

只有该项目组每年都把资金全部投入出去，最后得到的本利总额才能最大。

假设第一年年初给项目A和项目C分别投资元,我们就可以得到：

则第二年可以分配的资金为元，

假设第二年年初给项目A、项目C和项目D分别投资元，我们就可以得到：

则第三年可以分配的资金为元

假设第三年年初给项目A、项目B和项目D分别投资元，我们就可以得到：

则第四年可以分配的资金为元

假设第四年年初给项目A和项目D分别投资元，我们就可以得到：

第五年可以分配的资金为

假设第五年初给项目D投资元，我们可以得到：

我们可以得到最后的本利总额也就是目标函数为:

化为求解器中的标准形式为：

系数列向量为

根据上述的分析过程我们可以得到不等式约束为:

对应的系数矩阵和常数矩阵为:

相应的等式约束条件为：

得到相应的常系数矩阵和常数矩阵为：

根据上述过程我们就能得到解决该问题的matlab代码：

f=-[0;
    0;
    0
    1.4;
    0;
    0;
    1.25;
    0;
    1.15;
    0;
    1.06];
a=[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0];
b=[30000;
    40000];
Aeq=[1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
    0,-1.06,1,1,1,0,0,0,0,0,0;
    -1.15,0,0,0,-1.06,1,1,1,0,0,0;
    0,0,-1.15,0,0,0,0,-1.06,1,1,0;
    0,0,0,0,0,-1.15,0,0,0,-1.06,1];
beq=[100000;
    0;
    0;
    0;
    0];
lb=zeros(11,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)

最终的答案为：

问题六

题目：

食品厂用三种原料生产两种糖果，糖果的成分要求和销售价见下表

|------|------------------------------------------|------------------------------------------|-----------------------------------------|-----------|
| | 原料A | 原料B | 原料C | 价格/(元/kg) |
| 高级奶糖 | | | | 24 |
| 水果糖 | | | | 15 |

各种原料的可供量和成本见下表：

|----|--------|-----------|
| 原料 | 可供量/kg | 成本/(元/kg) |
| A | 500 | 20 |
| B | 750 | 12 |
| C | 625 | 8 |

该厂根据订单至少需要生产600kg高级奶糖、800kg水果糖，为求最大利润，试建立线性规划模型并求解。

解答：

不妨假设高级奶糖和水果奶糖所含有原料A、B、C的质量分别为

根据题目我们可以得到所求的目标函数

对上该式进行化简我们可以得到

化为标准形式则为

系数列向量为：

根据题目我们一共发现了下述的三类不等式约束关系：

根据原料的可供量我们可以得到以下的不等式约束关系:

根据两种糖中原料占比的关系我们可以得到以下的不等式约束关系:

根据订单量的要求我们得到以下的不等式约束关系:

对以上三类的不等式约束进行化简并合并，我们可以得到所有的不等式约束关系：

对应的变系数矩阵和常数矩阵为：

不难看出三种原料在两种糖中的使用量均不为0

根据上述分析我们可以的到计算该线性规划模型的matlab代码

f=-[4;
    12;
    16;
    -5;
    3;
    7];
a=[1,0,0,1,0,0;
    0,1,0,0,1,0;
    0,0,1,0,0,1;
    -1,1,1,0,0,0;
    1,-3,1,0,0,0;
    -1,-1,9,0,0,0;
    0,0,0,3,-2,-2;
    0,0,0,-2,3,-2;
    0,0,0,3,3,-17;
    -1,-1,-1,0,0,0;
    0,0,0,-1,-1,-1];
b=[500;
    750;
    625;
    0;
    0;
    0;
    0;
    0;
    0;
    -600;
    -800];
lb=zeros(6,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,[],[],lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)

最后得到的答案是：