【计算机视觉】边缘检测

图像的边缘简单来说就是图像中灰度不连续的地方。

1.图像梯度

图像梯度是指图像像素灰度值在某个方向上的变化；图像梯度是图像的一阶导数，实际计算时可以使用差分来近似。

1.1 什么是图像梯度？

图像梯度是一种数学工具，用于描述图像中像素值变化的速度和方向。换句话说，它反映了图像亮度值在空间上的变化率，因此是边缘检测 、特征提取 和图像分析中常用的重要概念。

1.1.1 图像梯度的定义

给定一幅二维灰度图像 I ( x , y ) I(x, y) I(x,y)，它的梯度是一个向量，定义如下：

∇ I = ( ∂ I ∂ x , ∂ I ∂ y ) \nabla I = \left( \frac{\partial I}{\partial x}, \frac{\partial I}{\partial y} \right) ∇I=(∂x∂I,∂y∂I)

( ∂ I ∂ x ) ( \frac{\partial I}{\partial x} ) (∂x∂I)：图像在 x x x-方向上的变化率（水平梯度）。
( ∂ I ∂ y ) ( \frac{\partial I}{\partial y} ) (∂y∂I)：图像在 y y y-方向上的变化率（垂直梯度）。

梯度的大小和方向定义如下：

梯度大小（Gradient Magnitude）：
∣ ∇ I ∣ = ( ∂ I ∂ x ) 2 + ( ∂ I ∂ y ) 2 |\nabla I| = \sqrt{\left( \frac{\partial I}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial I}{\partial y} \right)^2} ∣∇I∣=(∂x∂I)2+(∂y∂I)2
梯度方向（Gradient Direction）：
θ = arctan ⁡ ( ∂ I ∂ y ∂ I ∂ x ) \theta = \arctan\left(\frac{\frac{\partial I}{\partial y}}{\frac{\partial I}{\partial x}}\right) θ=arctan(∂x∂I∂y∂I)

1.1.2 如何计算图像梯度

在离散图像中，梯度的计算通常使用滤波器（卷积核）近似求导数。以下是常见方法：

1. 基本差分（Finite Difference）

利用相邻像素值的差分近似求导数：

( ∂ I ∂ x ≈ I ( x + 1 , y ) − I ( x , y ) ) ( \frac{\partial I}{\partial x} \approx I(x+1, y) - I(x, y) ) (∂x∂I≈I(x+1,y)−I(x,y))
( ∂ I ∂ y ≈ I ( x , y + 1 ) − I ( x , y ) ) ( \frac{\partial I}{\partial y} \approx I(x, y+1) - I(x, y) ) (∂y∂I≈I(x,y+1)−I(x,y))

2. Sobel算子

Sobel算子是一种常用的离散梯度滤波器，使用以下卷积核：

水平梯度核（ G x G_x Gx）：
[ − 1 0 1 − 2 0 2 − 1 0 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} −1−2−1000121
垂直梯度核（ G y G_y Gy）：
[ − 1 − 2 − 1 0 0 0 1 2 1 ] \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} −101−202−101

使用 Sobel 算子计算出的梯度既平滑了噪声，又能准确提取边缘。

3. Scharr算子

Scharr算子是 Sobel 算子的改进版，能更好地处理图像细节。它的权值分布更均匀，适合高精度梯度计算。

4. 拉普拉斯算子

拉普拉斯算子计算的是二阶导数，用于检测图像的变化区域，而不是简单的一阶变化。

1.2 梯度的计算示例

python 复制代码

import cv2 as cv
import numpy as np

# 加载图像
img = cv.imread('example.jpg', cv.IMREAD_GRAYSCALE)

# 计算水平和垂直梯度
grad_x = cv.Sobel(img, cv.CV_64F, 1, 0, ksize=3)  # 水平梯度
grad_y = cv.Sobel(img, cv.CV_64F, 0, 1, ksize=3)  # 垂直梯度

# 计算梯度大小
magnitude = cv.magnitude(grad_x, grad_y)

# 显示结果
cv.imshow('Original', img)
cv.imshow('Gradient X', cv.convertScaleAbs(grad_x))
cv.imshow('Gradient Y', cv.convertScaleAbs(grad_y))
cv.imshow('Gradient Magnitude', cv.convertScaleAbs(magnitude))
cv.waitKey(0)
cv.destroyAllWindows()

1.3 梯度的应用

边缘检测：
- 梯度强度大的地方往往是图像边缘，结合阈值可以提取轮廓（如 Canny 边缘检测）。
特征提取：
- 梯度方向是许多特征描述符（如 SIFT、HOG）的基础。
图像增强：
- 利用梯度信息可以增强图像的边缘或细节。
运动检测：
- 梯度变化在时间序列中的对比可以用来检测运动或变化区域。

2.Canny边缘检测

Canny边缘检测是一种经典的多步骤边缘检测算法，由 John F. Canny 在 1986 年提出。它以鲁棒性、高准确性和抗噪性著称，广泛用于图像处理和计算机视觉任务中。

2.1 算法步骤

Canny 边缘检测分为以下几个步骤：

1. 噪声抑制（平滑处理）

目标：减少噪声对边缘检测的影响。
方法：对图像进行高斯模糊。

高斯模糊会平滑图像中的细节和噪声，同时保留大的结构边缘。

公式（高斯滤波器）：
G ( x , y ) = 1 2 π σ 2 e − x 2 + y 2 2 σ 2 G(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}} G(x,y)=2πσ21e−2σ2x2+y2

其中， σ \sigma σ 决定平滑程度（模糊核的标准差）。

2. 计算图像梯度

目标：找出图像中的边缘，即像素值变化剧烈的区域。
方法：使用 Sobel 算子计算水平梯度 ( G x G_x Gx) 和垂直梯度 ( G y G_y Gy)，然后计算梯度的大小和方向。

梯度大小（强度）计算公式：
∣ G ∣ = G x 2 + G y 2 |G| = \sqrt{G_x^2 + G_y^2} ∣G∣=Gx2+Gy2

梯度方向计算公式：
θ = arctan ⁡ ( G y G x ) \theta = \arctan\left(\frac{G_y}{G_x}\right) θ=arctan(GxGy)
- 梯度强度大的地方可能是边缘。
- 梯度方向用于后续的非极大值抑制。

3. 非极大值抑制（Non-Maximum Suppression）

目标：精确定位边缘，去除非边缘的噪声响应。
方法：
- 在梯度方向上检查当前像素值是否为局部极大值。
- 如果不是局部极大值，则将该像素设为 0（非边缘）。
操作：
- 将梯度方向分为四个主方向（0°、45°、90°、135°）。
- 比较当前像素与梯度方向上相邻两个像素的大小。

4. 双阈值边缘检测

目标：区分强边缘、弱边缘和非边缘。
方法：
- 设置两个阈值：高阈值 ( T h i g h T_{high} Thigh) 和低阈值 ( T l o w T_{low} Tlow)。
- 对梯度强度进行分类：
  - 强边缘 ：梯度强度 > T h i g h > T_{high} >Thigh。
  - 弱边缘 ： T l o w < 梯度强度 ≤ T h i g h T_{low} < \text{梯度强度} \leq T_{high} Tlow<梯度强度≤Thigh。
  - 非边缘 ：梯度强度 l e q T l o w leq T_{low} leqTlow。

5. 边缘连接（Hysteresis Thresholding）

目标：确定最终的边缘。
方法：
- 强边缘直接保留。
- 弱边缘若与强边缘相连，则保留为边缘；否则丢弃。

2.2 Canny 边缘检测的代码实现

python 复制代码

import cv2 as cv
import numpy as np

# 加载图像（灰度模式）
img = cv.imread('example.jpg', cv.IMREAD_GRAYSCALE)

# Canny 边缘检测
edges = cv.Canny(img, threshold1=50, threshold2=150)

# 显示结果
cv.imshow('Original Image', img)
cv.imshow('Canny Edges', edges)
cv.waitKey(0)
cv.destroyAllWindows()

2.3 Canny 函数参数详解

python 复制代码

cv.Canny(image, threshold1, threshold2, apertureSize=3, L2gradient=False)

image：输入图像，必须为灰度图像。
threshold1：低阈值，用于区分弱边缘和非边缘。
threshold2：高阈值，用于区分强边缘和弱边缘。
apertureSize：Sobel 算子的核大小（默认为 3）。常用值：3、5、7。
L2gradient ：布尔值，是否使用更精确的梯度计算（默认为 False）。
- 如果为 True，则使用 L2 范数（ G x 2 + G y 2 \sqrt{G_x^2 + G_y^2} Gx2+Gy2 ）。
- 如果为 False，则使用 L1 范数（ ∣ G x ∣ + ∣ G y ∣ |G_x| + |G_y| ∣Gx∣+∣Gy∣）。

2.4 Canny 边缘检测的优点

鲁棒性：可以很好地抵抗噪声，适用于复杂场景。
多步骤处理：包括平滑、梯度计算和非极大值抑制，结果更加精确。
边缘连接：通过双阈值和滞后连接有效去除了孤立的边缘点。

2.5 Canny 边缘检测的缺点

参数敏感：双阈值的选择对结果影响很大，需要手动调整。
计算成本高：多步骤处理增加了算法复杂度，不适合实时性要求高的应用。

2.6 应用场景

边缘检测：
- 图像分割前的边缘提取。
特征提取：
- 用于形状识别或物体检测。
运动检测：
- 对帧差图像进行边缘检测，以识别移动物体的轮廓。