Leetcode 环形子数组的最大和

解题思路

要解决这道题，我们需要考虑两种情况：

1. 子数组的最大和不跨越数组两端（即标准的子数组最大和问题，可用Kadane算法解决）。
2. 子数组的最大和跨越数组两端 。可以通过计算 总和 - 最小子数组和 来得到跨越部分的最大和。

最后，取 情况1和情况2中的最大值 作为结果，但需要注意特殊情况，当所有元素都是负数时，情况2的结果会错误。

class Solution {
    public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) {
        int curMax = 0;
        int globalMax = Integer.MIN_VALUE;
        int curMin = 0;
        int globalMin = Integer.MAX_VALUE;
        int totalSum = 0; //这几个初始值的设置很重要
        for(int num:nums) {
        // 最大子数组和 (Kadane's 算法)
            curMax = Math.max(num, curMax + num);
            globalMax = Math.max(globalMax, curMax);

            curMin = Math.min(num, curMin + num);
            globalMin = Math.min(curMin, globalMin);

            totalSum += num;
        }
        // 如果最大子数组和小于0（即数组中全为负数），直接返回maxSum
        if(globalMax < 0) {
            return globalMax;
        }
         // 否则，返回跨越和不跨越两种情况的最大值
        return Math.max(totalSum - globalMin, globalMax);
    }
}

为什么第二种情况时，可以通过计算 总和 - 最小子数组和 来得到跨越部分的最大和？

这是一个关键的理解点！让我们一步步解释为什么**总和 - 最小子数组和** 可以表示跨越两端的最大子数组和。

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1. 环形子数组的本质

对于一个环形数组：

• 子数组可以跨越数组两端 ，比如在 [3, -2, 2, -3] 中，子数组 [3, -3] 就是跨越了两端。
• 因为数组是环形的，跨越部分的子数组 实际上是将数组中的两端去掉一个连续的中间部分。

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2. 如何描述跨越两端的子数组？

假设数组总和是 totalSum，数组中有一个连续的最小子数组和 ，我们称它为 minSubarraySum。

那么：

• 跨越两端的最大子数组和 可以看作是：
  • 总和 totalSum 减去中间的最小子数组和 minSubarraySum。

为什么？

• 因为将中间的最小子数组"剥离"掉，剩下的部分就是两端的最大和子数组。

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3. 数学直观解释

假设数组 nums 被分成三部分：

• 左端 ：从数组的起点到某个位置 i 的元素。
• 右端 ：从某个位置 j 到数组的终点的元素。
• 中间部分 ：从位置 i+1 到位置 j-1 的元素。

跨越两端的最大子数组和 就是：

\\text{左端} + \\text{右端} = \\text{总和} - \\text{中间部分}

而"中间部分"的最小和，就是数组的最小子数组和 minSubarraySum。

所以我们有：

\\text{跨越两端的最大子数组和} = \\text{总和} - \\text{最小子数组和}

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4. 特殊情况

当数组中的所有元素都为负数时：

• 最小子数组和 就等于整个数组的和 totalSum。
• 此时 totalSum - minSubarraySum = 0，但实际的最大子数组和是负数，因此我们单独返回 Kadane 算法计算的 maxSum。

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5. 示例验证

举个例子，数组 nums = [5, -3, 5]：

1. 总和 ：

   ( totalSum = 5 + (-3) + 5 = 7 )

2. 最小子数组和 ：

   最小子数组是 [-3]，所以 ( minSubarraySum = -3 )。

3. 跨越两端的最大和 ：

   totalSum - minSubarraySum = 7 - (-3) = 10

4. Kadane 算法计算的最大子数组和（不跨越） ：

   子数组 [5, -3, 5] 的和也是 10。

所以答案是 10。

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总结

通过**总和 - 最小子数组和**，我们有效地剥离出中间最小和的部分，剩下的就是跨越两端的最大和子数组。这种方法简单高效，且时间复杂度为 O(n)。

也就是说，第二种情况时，总和 - 最小子数组和中的"最小子数组和"不能包含两端的数组元素

这是因为：

1. 跨越两端的最大子数组和 是将数组的首尾部分连接起来，剥离掉中间的一段元素。
2. 如果最小子数组和包含了首尾元素，就不可能真正剥离出"中间的连续子数组"。

为什么如果数组元素全部为负数时，不需要考虑情况2？

如果数组的元素全部为负数时，情况2（跨越两端的最大子数组和） 不再适用，原因如下：

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1. 情况2的数学原理

跨越两端的最大子数组和 是通过：

\\text{总和} - \\text{最小子数组和}

来得到的，其中 最小子数组和 表示数组中和最小的连续子数组。

但当数组中的所有元素都是负数时：

• 总和 是负数（因为所有元素相加必然小于等于0）。
• 最小子数组和 就是整个数组本身的和（仍为负数）。

因此：

\\text{总和} - \\text{最小子数组和} = \\text{负数} - \\text{负数} = 0

这种情况下的结果 0 不是我们需要的最大子数组和。

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2. 真实的最大子数组和

当数组中所有元素为负数时：

• 最大子数组和一定是数组中的单个元素，即最大的负数（Kadane算法会正确返回这个值）。
• 这是因为任何包含多个元素的子数组的和都会更小（更负）。

例如：

数组 nums = [-3, -2, -1, -4]：

1. Kadane算法（情况1） ：
   • 最大子数组和是 -1。
2. 情况2（跨越两端） ：
   • 总和 = -3 + (-2) + (-1) + (-4) = -10
   • 最小子数组和 = -10（整个数组）
   • (\text{总和} - \text{最小子数组和} = -10 - (-10) = 0)

但 0 并不合理，因为数组中的最大子数组和只能是 -1。

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3. 为什么直接返回 Kadane 算法的结果？

Kadane算法（情况1）在数组中所有元素为负数时：

• 自然会选择最大的单个元素作为结果。
• 不需要考虑情况2，因为跨越两端的子数组和永远会错误地趋近于0。

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总结

当数组所有元素为负数时：

1. 情况2不适用 ，因为 总和 - 最小子数组和 会导致不合理的 0 结果。
2. Kadane算法（情况1） 会正确地找到最大的负数（即单个元素），这是符合预期的最大子数组和。

因此，在这种情况下，只需要考虑 Kadane算法 结果即可。