一. 创建连续时间的传递函数
G ( s ) = s 2 + 217 s s 2 + 384 s + 8989 G(s) = \frac{s^2+217s}{s^2+384s+8989} G(s)=s2+384s+8989s2+217s
二. 离散连续时间的传递函数G(s)
2.1 在matlab中用c2d函数双线性变换法离散G(s)，
下面是matlab脚本代码
matlab
% 创建连续时间传递函数
num = [1 217 0];
den = [1 384 8989];
sys_c = tf(num, den);
% 设置采样时间
Ts = 0.001;
% 离散化传递函数（使用 tustin 方法）
sys_d = c2d(sys_c, Ts, 'tustin');
sys_d
% 查看离散化后的传递函数
disp('离散化后的传递函数:');
disp(sys_d);2.2 matlab命令行显示结果
运行上面脚本代码后，matlab命令行显示的结果如下图，得到离散传递函数为
H ( z ) = 0.9282 z 2 − 1.6747 z + 0.7465 z 2 − 1.6709 z + 0.6785 H(z) = \frac{0.9282z^2-1.6747z+0.7465}{z^2-1.6709z+0.6785} H(z)=z2−1.6709z+0.67850.9282z2−1.6747z+0.7465
- z 的正幂形式
所有项均乘以最高次幂 z 2 z^2 z2（即将负幂形式清理为正幂形式）
常用于标准传递函数表达中，这样便于与连续系统的形式类比
H ( z ) = 0.9282 z 2 − 1.6747 z + 0.7465 z 2 − 1.6709 z + 0.6785 H(z) = \frac{0.9282z^2-1.6747z+0.7465}{z^2-1.6709z+0.6785} H(z)=z2−1.6709z+0.67850.9282z2−1.6747z+0.7465
- z 的负幂形式
所有项均除以最高次幂 z 2 z^2 z2，即 z − 1 z^{-1} z−1 表示一个采样时刻的延迟， z − 2 z^{-2} z−2 表示两个采样时刻的延迟，
常用于传递函数的数字实现分析中，与差分方程直接相关
H ( z ) = 0.9282 − 1.6747 z − 1 + 0.7465 z − 2 1 − 1.6709 z − 1 + 0.6785 z − 2 H(z) = \frac{0.9282-1.6747z^{-1}+0.7465z^{-2}}{1-1.6709z^{-1}+0.6785z^{-2}} H(z)=1−1.6709z−1+0.6785z−20.9282−1.6747z−1+0.7465z−2
三. 求出离散传递函数H(z)的差分方程
离散传递函数的标准形式
H ( z ) = Y ( z ) U ( z ) = b 0 + b 1 z − 1 + b 2 z − 2 1 + a 1 z − 1 + a 2 z − 2 H(z) = \frac{Y(z)}{U(z)}= \frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}} H(z)=U(z)Y(z)=1+a1z−1+a2z−2b0+b1z−1+b2z−2
其中：
-
Y(z) 和 𝑈(𝑧) 是输出和输入信号的 Z 变换
-
b 0 b_0 b0, b 1 b_1 b1, b 2 b_2 b2是传递函数分子（与输入信号的关系）
-
a 1 a_1 a1, a 2 a_2 a2是传递函数分母（与输出信号的关系）
3.1 求解传递函数的负幂形式得到差分方程Y(z)
- 令
Y ( z ) U ( z ) = 0.9282 − 1.6747 z − 1 + 0.7465 z − 2 1 − 1.6709 z − 1 + 0.6785 z − 2 \frac{Y(z)}{U(z)}= \frac{0.9282-1.6747z^{-1}+0.7465z^{-2}}{1-1.6709z^{-1}+0.6785z^{-2}} U(z)Y(z)=1−1.6709z−1+0.6785z−20.9282−1.6747z−1+0.7465z−2
- 去掉分母
Y ( z ) ⋅ ( 1 − 1.6709 z − 1 + 0.6785 z − 2 ) = U ( z ) ⋅ ( 0.9282 − 1.6747 z − 1 + 0.6785 z − 2 ) Y(z) \cdot (1-1.6709z^{-1}+0.6785z^{-2}) = U(z) \cdot (0.9282-1.6747z^{-1}+0.6785z^{-2}) Y(z)⋅(1−1.6709z−1+0.6785z−2)=U(z)⋅(0.9282−1.6747z−1+0.6785z−2)
- 左右两边同时展开
Y ( z ) − 1.6709 z − 1 Y ( z ) + 0.6785 z − 2 Y ( z ) = 0.9282 U ( z ) − 1.6747 z − 1 U ( z ) + 0.6785 z − 2 U ( z ) Y(z) -1.6709z^{-1}Y(z)+0.6785z^{-2}Y(z)= 0.9282U(z)-1.6747z^{-1}U(z)+0.6785z^{-2}U(z) Y(z)−1.6709z−1Y(z)+0.6785z−2Y(z)=0.9282U(z)−1.6747z−1U(z)+0.6785z−2U(z)
- 移项得到Y(z)
Y ( z ) = 0.9282 U ( z ) − 1.6747 z − 1 U ( z ) + 0.6785 z − 2 U ( z ) + 1.6709 z − 1 Y ( z ) − 0.6785 z − 2 Y ( z ) Y(z) = 0.9282U(z)-1.6747z^{-1}U(z)+0.6785z^{-2}U(z)+ 1.6709z^{-1}Y(z) -0.6785z^{-2}Y(z) Y(z)=0.9282U(z)−1.6747z−1U(z)+0.6785z−2U(z)+1.6709z−1Y(z)−0.6785z−2Y(z)
3.2 将 z − 1 z^{-1} z−1表示为时域延迟
从Z-变换的性质， z − 1 z^{-1} z−1 表示信号延迟一个采样周期（即𝑘 → 𝑘−1）因此
-
z − 1 Y ( z ) z^{-1}Y(z) z−1Y(z) 表示 y [ k − 1 ] y[k−1] y[k−1]
-
z − 2 Y ( z ) z^{-2}Y(z) z−2Y(z) 表示 y [ k − 2 ] y[k−2] y[k−2]
-
同理 z − 1 U ( z ) z^{-1}U(z) z−1U(z) 表示 u [ k − 1 ] u[k−1] u[k−1]， z − 2 U ( z ) z^{-2}U(z) z−2U(z) 表示 u [ k − 2 ] u[k−2] u[k−2]
带入差分方程Y(z) 中的得到
Y ( z ) = 0.9282 u [ k ] − 1.6747 u [ k − 1 ] + 0.6785 u [ k − 2 ] + 1.6709 y [ k − 1 ] − 0.6785 y [ k − 2 ] Y(z) = 0.9282u[k]-1.6747u[k−1]+0.6785u[k−2]+ 1.6709y[k−1]-0.6785y[k−2] Y(z)=0.9282u[k]−1.6747u[k−1]+0.6785u[k−2]+1.6709y[k−1]−0.6785y[k−2]
四. 差分方程Y(z) 的C代码实现
-
u[k] ：本次输入值
-
Y(z)：本次输出值
MCU代码中带入u[k] 时，需乘以采样周期Ts
Y ( z ) = 0.9282 u [ k ] − 1.6747 u [ k − 1 ] + 0.6785 u [ k − 2 ] + 1.6709 y [ k − 1 ] − 0.6785 y [ k − 2 ] Y(z) = 0.9282u[k]-1.6747u[k−1]+0.6785u[k−2]+ 1.6709y[k−1]-0.6785y[k−2] Y(z)=0.9282u[k]−1.6747u[k−1]+0.6785u[k−2]+1.6709y[k−1]−0.6785y[k−2]