面试经典题目：LeetCode134_加油站

leetcode134_加油站

- 暴力解法
- 贪心算法
- - 初始条件
  - 第一个不等式
  - 第二个不等式
  - [考虑任意加油站 z z z](#考虑任意加油站 z z z)
  - 推导过程
  - 结论

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暴力解法

暴力解法会尝试每个加油站作为起点，模拟一圈行驶来验证是否能成功环绕一周。这种方法的时间复杂度是 O(n^2)（超时），因为它对每个可能的起点都进行了完整的模拟。以下是暴力解法的简化描述：

遍历所有加油站：将每一个加油站作为潜在的起点。
模拟行驶：从当前选择的起点开始，检查是否有足够的油量到达下一个加油站，并继续此过程直到回到起点。
返回结果 ：如果找到一个成功的起点，则返回该索引；如果所有起点都无法完成一圈，则返回 -1。

暴力解法的问题在于它没有利用已经获得的信息，每次都要重新计算，导致了不必要的重复工作。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int canCompleteCircuit(vector<int>& gas, vector<int>& cost) {
        int len = gas.size();
        for (int index = 0; index < len; index++)
        {
            int i = index, sum = gas[i],end=0;
            bool flag = false;
            while (sum >= cost[i])
            {
                sum = sum - cost[i] + gas[(i + 1) % len];
                end=i+1;
                i = end % len;
                if ((end == len && index == 0) || i == 0)
                    flag = true;
                if (flag && i == index)
                    return index;
            }
        }
        return -1;
    }
};

贪心算法

初始条件

设 x x x 和 y y y 是两个加油站，且 x < y x < y x<y。

g a s $i$ gas $i$ gas $i$ 表示第 i i i 个加油站的油量。
c o s t $i$ cost $i$ cost $i$ 表示从第 i i i 个加油站到下一个加油站所需的油量。

第一个不等式

∑ i = x y g a s $i$ < ∑ i = x y c o s t $i$ \sum_{i=x}^{y} gas $i$ < \sum_{i=x}^{y} cost $i$ i=x∑ygas $i$ <i=x∑ycost $i$

这个不等式表明从加油站 $x$ 到加油站 $y$ 的总油量不足以覆盖这段路程所需的总油量，因此无法直接从 $x$ 到达 $y$ 。

第二个不等式

∑ i = x j g a s $i$ ≥ ∑ i = x j c o s t $i$ (对于所有 j ∈ $x , y ) ) \\sum_{i=x}\^{j} gas\[i$ \geq \sum_{i=x}^{j} cost $i$ \quad \text{(对于所有 } j \in $x, y)) i=x∑jgas\[i$ ≥i=x∑jcost $i$ (对于所有 j∈[x,y))

这个不等式表明对于所有位于 $x$ 和 $y$ 之间的加油站 $j$ ，从 $x$ 到 $j$ 的总油量足以覆盖这段路程所需的总油量，因此可以到达这些加油站。

考虑任意加油站 z z z

现在考虑任意一个位于 x x x 和 y y y 之间的加油站 z z z，我们需要判断从 z z z 出发是否能到达 y y y。

推导过程

分解和

∑ i = z y g a s $i$ = ∑ i = x y g a s $i$ − ∑ i = x z − 1 g a s $i$ \sum_{i=z}^{y} gas $i$ = \sum_{i=x}^{y} gas $i$ - \sum_{i=x}^{z-1} gas $i$ i=z∑ygas $i$ =i=x∑ygas $i$ −i=x∑z−1gas $i$
应用第一个不等式

∑ i = x y g a s $i$ < ∑ i = x y c o s t $i$ \sum_{i=x}^{y} gas $i$ < \sum_{i=x}^{y} cost $i$ i=x∑ygas $i$ <i=x∑ycost $i$

因此，

∑ i = x y g a s $i$ − ∑ i = x z − 1 g a s $i$ < ∑ i = x y c o s t $i$ − ∑ i = x z − 1 g a s $i$ \sum_{i=x}^{y} gas $i$ - \sum_{i=x}^{z-1} gas $i$ < \sum_{i=x}^{y} cost $i$ - \sum_{i=x}^{z-1} gas $i$ i=x∑ygas $i$ −i=x∑z−1gas $i$ <i=x∑ycost $i$ −i=x∑z−1gas $i$
应用第二个不等式

∑ i = x z − 1 g a s $i$ ≥ ∑ i = x z − 1 c o s t $i$ \sum_{i=x}^{z-1} gas $i$ \geq \sum_{i=x}^{z-1} cost $i$ i=x∑z−1gas $i$ ≥i=x∑z−1cost $i$

因此，

∑ i = x y c o s t $i$ − ∑ i = x z − 1 g a s $i$ < ∑ i = x y c o s t $i$ − ∑ i = x z − 1 c o s t $i$ \sum_{i=x}^{y} cost $i$ - \sum_{i=x}^{z-1} gas $i$ < \sum_{i=x}^{y} cost $i$ - \sum_{i=x}^{z-1} cost $i$ i=x∑ycost $i$ −i=x∑z−1gas $i$ <i=x∑ycost $i$ −i=x∑z−1cost $i$
简化表达式

∑ i = x y c o s t $i$ − ∑ i = x z − 1 c o s t $i$ = ∑ i = z y c o s t $i$ \sum_{i=x}^{y} cost $i$ - \sum_{i=x}^{z-1} cost $i$ = \sum_{i=z}^{y} cost $i$ i=x∑ycost $i$ −i=x∑z−1cost $i$ =i=z∑ycost $i$
最终结论

∑ i = z y g a s $i$ < ∑ i = z y c o s t $i$ \sum_{i=z}^{y} gas $i$ < \sum_{i=z}^{y} cost $i$ i=z∑ygas $i$ <i=z∑ycost $i$

结论

从任意一个位于 x x x 和 y y y 之间的加油站 z z z 出发，都无法到达加油站 y y y，因为从 z z z 到 y y y 的总油量不足以覆盖这段路程所需的总油量。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int canCompleteCircuit(vector<int>& gas, vector<int>& cost) {
        int totalTank = 0, currentTank = 0;
        int startingStation = 0;

        for (int i = 0; i < gas.size(); ++i) {
            // 更新总油量和当前油量
            totalTank += gas[i] - cost[i];
            currentTank += gas[i] - cost[i];

            // 如果当前油量为负，说明从起点到当前位置不可能到达，更新起点为下一个位置
            if (currentTank < 0) {
                startingStation = i + 1;
                currentTank = 0; // 重置当前油量
            }
        }

        // 如果总油量为非负数，说明可以完成一圈；否则不能完成
        return totalTank >= 0 ? startingStation : -1;
    }
};