leetcode134_加油站
暴力解法
暴力解法会尝试每个加油站作为起点，模拟一圈行驶来验证是否能成功环绕一周。这种方法的时间复杂度是 O(n^2)（超时），因为它对每个可能的起点都进行了完整的模拟。以下是暴力解法的简化描述：
- 遍历所有加油站：将每一个加油站作为潜在的起点。
- 模拟行驶：从当前选择的起点开始，检查是否有足够的油量到达下一个加油站，并继续此过程直到回到起点。
- 返回结果 ：如果找到一个成功的起点，则返回该索引；如果所有起点都无法完成一圈，则返回
-1。
暴力解法的问题在于它没有利用已经获得的信息，每次都要重新计算，导致了不必要的重复工作。
cpp
class Solution {
public:
int canCompleteCircuit(vector<int>& gas, vector<int>& cost) {
int len = gas.size();
for (int index = 0; index < len; index++)
{
int i = index, sum = gas[i],end=0;
bool flag = false;
while (sum >= cost[i])
{
sum = sum - cost[i] + gas[(i + 1) % len];
end=i+1;
i = end % len;
if ((end == len && index == 0) || i == 0)
flag = true;
if (flag && i == index)
return index;
}
}
return -1;
}
};贪心算法
初始条件
设 x x x 和 y y y 是两个加油站，且 x < y x < y x<y。
- g a s [ i ] gas[i] gas[i] 表示第 i i i 个加油站的油量。
- c o s t [ i ] cost[i] cost[i] 表示从第 i i i 个加油站到下一个加油站所需的油量。
第一个不等式
∑ i = x y g a s [ i ] < ∑ i = x y c o s t [ i ] \sum_{i=x}^{y} gas[i] < \sum_{i=x}^{y} cost[i] i=x∑ygas[i]<i=x∑ycost[i]
这个不等式表明从加油站 $ x $ 到加油站 $ y $ 的总油量不足以覆盖这段路程所需的总油量，因此无法直接从 $ x $ 到达 $ y $。
第二个不等式
∑ i = x j g a s [ i ] ≥ ∑ i = x j c o s t [ i ] (对于所有 j ∈ [ x , y ) ) \sum_{i=x}^{j} gas[i] \geq \sum_{i=x}^{j} cost[i] \quad \text{(对于所有 } j \in [x, y)) i=x∑jgas[i]≥i=x∑jcost[i](对于所有 j∈[x,y))
这个不等式表明对于所有位于 $ x $ 和 $ y $ 之间的加油站 $ j $，从 $ x $ 到 $ j $ 的总油量足以覆盖这段路程所需的总油量，因此可以到达这些加油站。
考虑任意加油站 z z z
现在考虑任意一个位于 x x x 和 y y y 之间的加油站 z z z，我们需要判断从 z z z 出发是否能到达 y y y。
推导过程
-
分解和
∑ i = z y g a s [ i ] = ∑ i = x y g a s [ i ] − ∑ i = x z − 1 g a s [ i ] \sum_{i=z}^{y} gas[i] = \sum_{i=x}^{y} gas[i] - \sum_{i=x}^{z-1} gas[i] i=z∑ygas[i]=i=x∑ygas[i]−i=x∑z−1gas[i]
-
应用第一个不等式
∑ i = x y g a s [ i ] < ∑ i = x y c o s t [ i ] \sum_{i=x}^{y} gas[i] < \sum_{i=x}^{y} cost[i] i=x∑ygas[i]<i=x∑ycost[i]
因此，
∑ i = x y g a s [ i ] − ∑ i = x z − 1 g a s [ i ] < ∑ i = x y c o s t [ i ] − ∑ i = x z − 1 g a s [ i ] \sum_{i=x}^{y} gas[i] - \sum_{i=x}^{z-1} gas[i] < \sum_{i=x}^{y} cost[i] - \sum_{i=x}^{z-1} gas[i] i=x∑ygas[i]−i=x∑z−1gas[i]<i=x∑ycost[i]−i=x∑z−1gas[i]
-
应用第二个不等式
∑ i = x z − 1 g a s [ i ] ≥ ∑ i = x z − 1 c o s t [ i ] \sum_{i=x}^{z-1} gas[i] \geq \sum_{i=x}^{z-1} cost[i] i=x∑z−1gas[i]≥i=x∑z−1cost[i]
因此，
∑ i = x y c o s t [ i ] − ∑ i = x z − 1 g a s [ i ] < ∑ i = x y c o s t [ i ] − ∑ i = x z − 1 c o s t [ i ] \sum_{i=x}^{y} cost[i] - \sum_{i=x}^{z-1} gas[i] < \sum_{i=x}^{y} cost[i] - \sum_{i=x}^{z-1} cost[i] i=x∑ycost[i]−i=x∑z−1gas[i]<i=x∑ycost[i]−i=x∑z−1cost[i]
-
简化表达式
∑ i = x y c o s t [ i ] − ∑ i = x z − 1 c o s t [ i ] = ∑ i = z y c o s t [ i ] \sum_{i=x}^{y} cost[i] - \sum_{i=x}^{z-1} cost[i] = \sum_{i=z}^{y} cost[i] i=x∑ycost[i]−i=x∑z−1cost[i]=i=z∑ycost[i]
-
最终结论
∑ i = z y g a s [ i ] < ∑ i = z y c o s t [ i ] \sum_{i=z}^{y} gas[i] < \sum_{i=z}^{y} cost[i] i=z∑ygas[i]<i=z∑ycost[i]
结论
从任意一个位于 x x x 和 y y y 之间的加油站 z z z 出发，都无法到达加油站 y y y，因为从 z z z 到 y y y 的总油量不足以覆盖这段路程所需的总油量。
cpp
class Solution {
public:
int canCompleteCircuit(vector<int>& gas, vector<int>& cost) {
int totalTank = 0, currentTank = 0;
int startingStation = 0;
for (int i = 0; i < gas.size(); ++i) {
// 更新总油量和当前油量
totalTank += gas[i] - cost[i];
currentTank += gas[i] - cost[i];
// 如果当前油量为负，说明从起点到当前位置不可能到达，更新起点为下一个位置
if (currentTank < 0) {
startingStation = i + 1;
currentTank = 0; // 重置当前油量
}
}
// 如果总油量为非负数，说明可以完成一圈；否则不能完成
return totalTank >= 0 ? startingStation : -1;
}
};