Ch5 图像复原
文章目录
- [Ch5 图像复原](#Ch5 图像复原)
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- [图像退化与复原(Image Degradation and Restoration)](#图像退化与复原(Image Degradation and Restoration))
- [噪声模型(Noise Models)](#噪声模型(Noise Models))
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- [i.i.d.空间随机噪声(Generating Spatial Random Noise with a Specified Distribution)](#i.i.d.空间随机噪声(Generating Spatial Random Noise with a Specified Distribution))
- [周期噪声(Periodic Noise)](#周期噪声(Periodic Noise))
- [估计噪声参数(Estimating Noise Parameters)](#估计噪声参数(Estimating Noise Parameters))
- 在仅有噪声情况下图像复原-空域滤波
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- [均值滤波器(Mean Filters)](#均值滤波器(Mean Filters))
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- [统计排序滤波器(Order-statistics Filters)](#统计排序滤波器(Order-statistics Filters))
- [用频域滤波器消除周期噪声(Periodic Noise Reduction by Frequency Domain Filtering)](#用频域滤波器消除周期噪声(Periodic Noise Reduction by Frequency Domain Filtering))
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- [带阻滤波器(Bandreject Filters)](#带阻滤波器(Bandreject Filters))
- [带通滤波器(Bandpass Filters)](#带通滤波器(Bandpass Filters))
- [陷波滤波器(Notch filters)](#陷波滤波器(Notch filters))
- [最佳陷波滤波算法(Optimum Notch Filtering)](#最佳陷波滤波算法(Optimum Notch Filtering))
- [估计退化函数(Estimating the Degradation Function)](#估计退化函数(Estimating the Degradation Function))
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- [运动引起的图像模糊(Image Blur due to Motion)](#运动引起的图像模糊(Image Blur due to Motion))
- [直接逆滤波(Direct Inverse Filtering)](#直接逆滤波(Direct Inverse Filtering))
- [维纳滤波器(Wiener Filtering)](#维纳滤波器(Wiener Filtering))
- [约束最小二乘图像复原算法(Constrained Least Squares Filtering)](#约束最小二乘图像复原算法(Constrained Least Squares Filtering))
图像退化与复原(Image Degradation and Restoration)
图像复原目的：以某种预定义的方式改善给定图像。
Q: 图像增强 v.s. 图像复原?
A: 图像增强是一个主观的过程：自行选定不同的工具，比如低通、高通滤波，使得图像主观上看上去比较美观(因个人审美不同而不同)。
而图像复原的大部分过程是客观的。原先是什么样子、恢复原来的样子。
g ( x , y ) = H [ f ( x , y ) ] + η ( x , y ) g ( x , y ) = h ( x , y ) ∗ f ( x , y ) + η ( x , y ) G ( x , y ) = H ( u , v ) F ( u , v ) + N ( u , v ) g(x,y)=H[f(x,y)]+\eta(x,y)\\ g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)+\eta(x,y)\\ G(x,y)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v) g(x,y)=H[f(x,y)]+η(x,y)g(x,y)=h(x,y)∗f(x,y)+η(x,y)G(x,y)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)
噪声模型(Noise Models)
假设 H ( u , v ) = 1 H(u,v)=1 H(u,v)=1: g ( x , y ) = f ( x , y ) + η ( x , y ) g(x,y)=f(x,y)+\eta(x,y) g(x,y)=f(x,y)+η(x,y)
i.i.d.空间随机噪声(Generating Spatial Random Noise with a Specified Distribution)
如果 w w w是在区间 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上均匀分布的随机变量，那么可以通过求解方程 z = F z − 1 ( w ) z = F_z^{-1}(w) z=Fz−1(w)得到一个具有特定累积分布函数（CDF） F z F_z Fz的随机变量 z z z。
z = F z − 1 ( w ) z = F_z^{-1}(w) z=Fz−1(w)
例：目标是生成具有瑞利（Rayleigh）累积分布函数（CDF）的随机数 z z z。
瑞利分布的累积分布函数（CDF）为:
F z ( z ) = { 1 − e − ( z − a ) 2 / b if z ≥ a 0 if z < a F_z(z) = \begin{cases} 1 - e^{-(z - a)^2/b} & \text{if } z \geq a \\ 0 & \text{if } z < a \end{cases} Fz(z)={1−e−(z−a)2/b0if z≥aif z<a通过求解方程 1 − e − ( z − a ) 2 / b = w 1 - e^{-(z - a)^2/b} = w 1−e−(z−a)2/b=w，可以得到 z z z的值：
z = a + − b ln ( 1 − w ) z = a + \sqrt{-b \ln(1 - w)} z=a+−bln(1−w)
周期噪声(Periodic Noise)
在图像中，周期噪声是在图像获取时从电力或机电干扰中产生的。这是唯一一种空间依赖型噪声。
周期噪声信号(Periodic Noise Signal) ：
r ( x , y ) = A sin ( 2 π u 0 ( x + B x ) / M + 2 π v 0 ( y + B y ) / N ) r(x, y) = A \sin(2\pi u_0(x + B_x)/M + 2\pi v_0(y + B_y)/N) r(x,y)=Asin(2πu0(x+Bx)/M+2πv0(y+By)/N)
对于傅里叶变换：（实际上无法推出这个，但是大概是这个形式）
R ( u , v ) = A j 2 [ exp ( j 2 π u 0 B x M ) δ ( u + u 0 , v + v 0 ) − exp ( j 2 π v 0 B y N ) δ ( u − u 0 , v − v 0 ) ] R(u, v) = \frac{A}{j2} \left[\exp\left(\frac{j2\pi u_0 B_x}{M}\right) \delta(u + u_0, v + v_0) - \exp\left(\frac{j2\pi v_0 B_y}{N}\right) \delta(u - u_0, v - v_0)\right] R(u,v)=j2A[exp(Mj2πu0Bx)δ(u+u0,v+v0)−exp(Nj2πv0By)δ(u−u0,v−v0)]
估计噪声参数(Estimating Noise Parameters)
假如没有被噪声污染，那么图中有三个灰度级，直方图中应该有三根线。但是有噪声，现在每根线向两边扩展。
图l对应椒盐噪声的直方图：可以看见一共有4条线（两边分别有两条），椒盐噪声产生黑白、黑色估计和原有的背景色重合，于是直方图中最左的线特别的长（大概的解释）。
估计噪声参数：
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周期噪声：对图像的傅里叶谱审视，可以直接发现：比如在除中心的亮点之外，还有其他的亮点。
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具有先验知识：事先知道这种图像中会存在噪声、会出现在哪个频段。
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在平坦的图像区域，噪声会暴露出来：比如说一块纯色的地板，应该灰度级是差不多的。
Q: 怎么做？
- 最简单的方法是利用图像中的采样数据来估计噪声的均值和方差。
- 通过直方图的形状来辨识最接近的概率密度函数(PDF)的匹配。
- 假如形状类似高斯，那么高斯只需要均值与方差。
统计矩与中心矩：
统计矩:
μ n = ∑ i = 0 L − 1 ( z i − m ) n p ( z i ) where m = ∑ i = 0 L − 1 z i p ( z i ) \mu_n = \sum_{i = 0}^{L - 1} (z_i - m)^n p(z_i) \quad \text{where} \quad m = \sum_{i = 0}^{L - 1} z_i p(z_i) μn=i=0∑L−1(zi−m)np(zi)wherem=i=0∑L−1zip(zi)中心距：
n 对应中心距 0 μ 0 = ∑ i = 0 L − 1 ( z i − m ) 0 p ( z i ) = 1 \mu_0 = \sum_{i = 0}^{L - 1} (z_i - m)^0 p(z_i) = 1 μ0=∑i=0L−1(zi−m)0p(zi)=1 1 μ 1 = ∑ i = 0 L − 1 ( z i − m ) p ( z i ) = ∑ i = 0 L − 1 z i p ( z i ) − m ∑ i = 0 L − 1 p ( z i ) = 0 \mu_1 = \sum_{i = 0}^{L - 1} (z_i - m) p(z_i) = \sum_{i = 0}^{L - 1} z_i p(z_i) - m \sum_{i = 0}^{L - 1} p(z_i) = 0 μ1=∑i=0L−1(zi−m)p(zi)=∑i=0L−1zip(zi)−m∑i=0L−1p(zi)=0 2 μ 2 = ∑ i = 0 L − 1 ( z i − m ) 2 p ( z i ) = Var ( z ) \mu_2 = \sum_{i = 0}^{L - 1} (z_i - m)^2 p(z_i) = \text{Var}(z) μ2=∑i=0L−1(zi−m)2p(zi)=Var(z)
在仅有噪声情况下图像复原-空域滤波
如果只有噪声, 图像退化模型可以表示为：
g ( x , y ) = f ( x , y ) + η ( x , y ) G ( u , v ) = F ( u , v ) + N ( u , v ) g(x,y)=f(x,y)+\eta(x,y)\\ G(u,v)=F(u,v)+N(u,v) g(x,y)=f(x,y)+η(x,y)G(u,v)=F(u,v)+N(u,v)
均值滤波器(Mean Filters)
均值相当于：给出一组数，经过一系列运算，得到一个新的值。这个值，比这组数中最小值大，比最大值小，那么调和均值滤波器、反调和均值滤波器就算均值滤波器。
| 滤波器 | 公式 |
|---|---|
| 算术平均滤波器 | f ^ ( x , y ) = 1 m n ∑ ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) \hat{f}(x,y) = \frac{1}{mn} \sum_{(s,t) \in S_{xy}} g(s,t) f^(x,y)=mn1∑(s,t)∈Sxyg(s,t) |
| 几何均值滤波器 | f ^ ( x , y ) = [ ∏ ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) ] 1 m n \hat{f}(x,y) = \left[ \prod_{(s,t) \in S_{xy}} g(s,t) \right]^{\frac{1}{mn}} f^(x,y)=[∏(s,t)∈Sxyg(s,t)]mn1 |
| 调和均值滤波器 | f ^ ( x , y ) = m n ∑ ( s , t ) ∈ S x y 1 g ( s , t ) \hat{f}(x,y) = \frac{mn}{\sum_{(s,t) \in S_{xy}} \frac{1}{g(s,t)}} f^(x,y)=∑(s,t)∈Sxyg(s,t)1mn |
| 反调和均值滤波器 | f ^ ( x , y ) = ∑ ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) Q + 1 ∑ ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) Q \hat{f}(x,y) = \frac{\sum_{(s,t) \in S_{xy}} g(s,t)^{Q + 1}}{\sum_{(s,t) \in S_{xy}} g(s,t)^{Q}} f^(x,y)=∑(s,t)∈Sxyg(s,t)Q∑(s,t)∈Sxyg(s,t)Q+1 |
调和均值滤波器能够很好地去除盐噪声，但不能去除椒噪声。对于高斯噪声很好。
反调和均值滤波器 非常适合消除椒盐噪声。当 Q Q Q为正值时，该滤波器消除胡椒噪声。当 Q Q Q为负值时，它消除盐噪声。它不能同时消除两种噪声。
当Q=0时：算术均值是反调和均值的一个特例。
y ^ ( x , y ) = ∑ ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) ∑ ( s , t ) ∈ S x y 1 = 1 m n ∑ ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) \hat y(x,y)= \frac{\sum_{(s,t) \in S_{xy}} g(s,t)}{\sum_{(s,t) \in S_{xy}}1}=\frac{1}{mn}\sum_{(s,t) \in S_{xy}}g(s,t) y^(x,y)=∑(s,t)∈Sxy1∑(s,t)∈Sxyg(s,t)=mn1(s,t)∈Sxy∑g(s,t)当Q=-1时：是调和均值滤波器。
f ^ ( x , y ) = ∑ ( s , t ) ∈ S x y 1 ∑ ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) = m n ∑ ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) \hat f(x,y)=\frac{\sum_{(s,t) \in S_{xy}1} }{\sum_{(s,t) \in S_{xy}}g(s,t)} =\frac{mn}{\sum_{(s,t) \in S_{xy}}g(s,t)} f^(x,y)=∑(s,t)∈Sxyg(s,t)∑(s,t)∈Sxy1=∑(s,t)∈Sxyg(s,t)mn
统计排序滤波器(Order-statistics Filters)
椒盐噪声反复使用中值滤波器，总能完全去除；同时边缘信息也会丢失。
| 滤波器 | 公式 |
|---|---|
| 中值滤波器 | f ^ ( x , y ) = median ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) \hat{f}(x,y) = \text{median}{(s,t) \in S{xy}} g(s,t) f^(x,y)=median(s,t)∈Sxyg(s,t) |
| 中点滤波器 | f ^ ( x , y ) = 1 2 [ max ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) + min ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) ] \hat{f}(x,y) = \frac{1}{2} \left[ \max_{(s,t) \in S_{xy}} g(s,t) + \min_{(s,t) \in S_{xy}} g(s,t) \right] f^(x,y)=21[max(s,t)∈Sxyg(s,t)+min(s,t)∈Sxyg(s,t)] |
| 最大滤波器 | f ^ ( x , y ) = max ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) \hat{f}(x,y) = \max_{(s,t) \in S_{xy}} g(s,t) f^(x,y)=max(s,t)∈Sxyg(s,t) |
| 最小滤波器 | f ^ ( x , y ) = min ( s , t ) ∈ S x y g ( s , t ) \hat{f}(x,y) = \min_{(s,t) \in S_{xy}} g(s,t) f^(x,y)=min(s,t)∈Sxyg(s,t) |
| alpha均值滤波器 | f ^ ( x , y ) = 1 m n − d ∑ ( s , t ) ∈ S x y g r ( s , t ) \hat{f}(x,y) = \frac{1}{mn - d} \sum_{(s,t) \in S_{xy}} g_{r}(s,t) f^(x,y)=mn−d1∑(s,t)∈Sxygr(s,t) |
用频域滤波器消除周期噪声(Periodic Noise Reduction by Frequency Domain Filtering)
关于以下三种滤波器的奇妙比喻：来自王伟强老师。
入冬时存储的土豆，在开春时会发芽。
- 带阻滤波器：连皮肉带芽一起削掉。
- 带通滤波器：与带阻合为1体。
- 陷波滤波器：只把有芽的部分去除。
带阻滤波器(Bandreject Filters)
| ideal | Gaussian | Butterworth |
|---|---|---|
| H ( u , v ) = { 1 if D ( u , v ) < D 0 − W 2 0 if D 0 − W 2 ≤ D ( u , v ) ≤ D 0 + W 2 1 if D ( u , v ) > D 0 + W 2 H(u, v) = \begin{cases} 1 & \text{if } D(u, v) < D_0 - \frac{W}{2} \\ 0 & \text{if } D_0 - \frac{W}{2} \leq D(u, v) \leq D_0 + \frac{W}{2} \\ 1 & \text{if } D(u, v) > D_0 + \frac{W}{2} \end{cases} H(u,v)=⎩ ⎨ ⎧101if D(u,v)<D0−2Wif D0−2W≤D(u,v)≤D0+2Wif D(u,v)>D0+2W | $H(u, v)=\frac{1}{1+\left[\frac{D_0}{D(u, v)}\right]^{2n}} $ | H ( u , v ) = 1 − exp [ − D 2 ( u , v ) 2 D 0 2 ] H(u, v)=1-\exp\left[-\frac{D^2(u, v)}{2D_0^2}\right] H(u,v)=1−exp[−2D02D2(u,v)] |
| 这里 D ( u , v ) D(u, v) D(u,v)通常表示频率域中的距离， D 0 D_0 D0和 W W W是常数。这种滤波器是一种理想高通滤波器，它在频率域中完全截断了低频部分，保留了高频部分。 | 这里 n n n是滤波器的阶数。Butterworth高通滤波器是一种常用的滤波器，它在频率域中的响应是平滑过渡的，没有理想滤波器那样的尖锐截断。 | Gaussian高通滤波器也是一种平滑过渡的滤波器，其形状基于高斯函数。 |
| 当频率距离 D ( u , v ) D(u, v) D(u,v)小于 D 0 − W 2 D_0 - \frac{W}{2} D0−2W或大于 D 0 + W 2 D_0+\frac{W}{2} D0+2W时，滤波器的响应为1，表示完全通过；当频率距离在 D 0 − W 2 D_0 - \frac{W}{2} D0−2W和 D 0 + W 2 D_0+\frac{W}{2} D0+2W之间时，滤波器的响应为0，表示完全截断。 | 随着 D ( u , v ) D(u, v) D(u,v)的增加，滤波器的响应从0逐渐增加到1，过渡的平滑程度由阶数 n n n决定。阶数越高，过渡越陡峭。 | 它的响应从0逐渐增加到1，过渡更加平滑，没有明显的截断点。 |
带通滤波器(Bandpass Filters)
H b p = 1 − H b r ( u , v ) H_{bp}=1-H_{br}(u,v) Hbp=1−Hbr(u,v)
带通滤波器执行与带阻滤波器相反的操作。得到噪声信号。
带通滤波器与带阻滤波器是一对儿；低通滤波器与高通滤波器是一对儿。
陷波滤波器(Notch filters)
成对出现。(a)是原图像，可以看见存在一些横纹(噪声)。然会得到(b)是(a)的傅里叶谱；通过©中的陷波滤波器的传递函数，可以去除掉噪声。(d)是图像复原后的图；(e)是提取出来的噪声。
| Ideal | Gaussian | Butterworth |
|---|---|---|
| H ( u , v ) = { 0 if D 1 ( u , v ) ≤ D 0 or D 2 ( u , v ) ≤ D 0 1 else H(u, v) = \begin{cases} 0 & \text{if } D_1(u, v) \leq D_0 \text{ or } D_2(u, v) \leq D_0 \\ 1 & \text{else} \end{cases} H(u,v)={01if D1(u,v)≤D0 or D2(u,v)≤D0else | H ( u , v ) = 1 − exp [ − 1 2 ( D 1 ( u , v ) D 2 ( u , v ) D 0 2 ) ] H(u, v)=1 - \exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{D_1(u, v)D_2(u, v)}{D_0^2}\right)\right] H(u,v)=1−exp[−21(D02D1(u,v)D2(u,v))] | H ( u , v ) = 1 1 + [ D 0 2 D 1 ( u , v ) D 2 ( u , v ) ] n H(u, v)=\frac{1}{1 + \left[\frac{D_0^2}{D_1(u, v)D_2(u, v)}\right]^n} H(u,v)=1+[D1(u,v)D2(u,v)D02]n1 |
| D 1 ( u , v ) D_1(u, v) D1(u,v)和 D 2 ( u , v ) D_2(u, v) D2(u,v)是两个距离度量， D 0 D_0 D0是一个阈值。 | 它的过渡比Butterworth滤波器更平滑。 | n n n是滤波器的阶数。 |
| 当 D 1 ( u , v ) D_1(u, v) D1(u,v)和 D 2 ( u , v ) D_2(u, v) D2(u,v)都大于 D 0 D_0 D0时，滤波器的传递函数值为1，表示完全通过；否则，传递函数值为0，表示完全截止。 | 这种滤波器基于高斯函数，传递函数的值从0逐渐增加到1。 | 随着 D 1 ( u , v ) D_1(u, v) D1(u,v)和 D 2 ( u , v ) D_2(u, v) D2(u,v)的增加，传递函数的值从0逐渐增加到1。阶数 n n n越高，过渡越陡峭。 |
公式中还定义了 D 1 ( u , v ) D_1(u, v) D1(u,v)和 D 2 ( u , v ) D_2(u, v) D2(u,v)的具体形式：
D 1 ( u , v ) = [ ( u − M 2 − u 0 ) 2 + ( v − N 2 − v 0 ) 2 ] 1 2 D 2 ( u , v ) = [ ( u − M 2 + u 0 ) 2 + ( v − N 2 + v 0 ) 2 ] 1 2 D_1(u, v)=\left[\left(u - \frac{M}{2} - u_0\right)^2+\left(v - \frac{N}{2} - v_0\right)^2\right]^{\frac 1 2}\\D_2(u, v)=\left[\left(u - \frac{M}{2}+u_0\right)^2+\left(v - \frac{N}{2}+v_0\right)^2\right]^{\frac 1 2} D1(u,v)=[(u−2M−u0)2+(v−2N−v0)2]21D2(u,v)=[(u−2M+u0)2+(v−2N+v0)2]21
这里 M M M和 N N N是图像的尺寸， u 0 u_0 u0和 v 0 v_0 v0是滤波器的中心坐标。 这些高通滤波器在图像处理中常用于增强图像的高频细节，例如边缘和纹理。
不同的滤波器适用于不同的应用场景，第一种滤波器是理想高通滤波器，具有最尖锐的截止，但会导致振铃效应；Butterworth和Gaussian高通滤波器则提供了更平滑的过渡，减少了振铃效应。
最佳陷波滤波算法(Optimum Notch Filtering)
当存在多个干扰分量时，之前提到的方法并不总是可行的，因为在滤波过程中会去除过多的图像信息。这里讨论的方法是最优的，因为它使恢复估计值 f ^ ( x , y ) \hat{f}(x,y) f^(x,y)的局部方差最小化。
首先，通过以下方式获得噪声的初始估计：
N ( u , v ) = F N ( u , v ) G ( u , v ) η ( x , y ) = J − 1 ( F N ( u , v ) G ( u , v ) ) N(u,v) = F_N(u,v)G(u,v)\\ \eta(x,y) = \mathfrak{J}^{-1}(F_N(u,v)G(u,v)) N(u,v)=FN(u,v)G(u,v)η(x,y)=J−1(FN(u,v)G(u,v))
其中 F N ( u , v ) F_N(u,v) FN(u,v)被构建为仅通过与干扰模式相关的分量。
令：
f ^ ( x , y ) = g ( x , y ) − w ( x , y ) η ( x , y ) \hat{f}(x,y) = g(x,y) - w(x,y)\eta(x,y) f^(x,y)=g(x,y)−w(x,y)η(x,y)
η ( x , y ) \eta(x,y) η(x,y)估计已知，我们将确定调制函数 w ( x , y ) w(x,y) w(x,y) ，以使 f ^ ( x , y ) \hat{f}(x,y) f^(x,y)的局部方差最小化。
目标：局部很好的平滑性，相邻的像素之间比较相似。
min σ 2 ( x , y ) = 1 ( 2 a + 1 ) ( 2 b + 1 ) ∑ s = − a a ∑ t = − b b [ f ^ ( x + s , y + t ) − f ˉ ] 2 f ˉ = 1 ( 2 a + 1 ) ( 2 b + 1 ) ∑ s = − a a ∑ t = − b b f ^ ( x + s , y + t ) \min \sigma^2(x,y) = \frac{1}{(2a + 1)(2b + 1)} \sum_{s=-a}^{a} \sum_{t=-b}^{b} [\hat{f}(x + s, y + t) - \bar{f}]^2\\ \bar{f} = \frac{1}{(2a + 1)(2b + 1)} \sum_{s=-a}^{a} \sum_{t=-b}^{b} \hat{f}(x + s, y + t) minσ2(x,y)=(2a+1)(2b+1)1s=−a∑at=−b∑b[f^(x+s,y+t)−fˉ]2fˉ=(2a+1)(2b+1)1s=−a∑at=−b∑bf^(x+s,y+t)
对上式展开：
σ 2 ( x , y ) = 1 ( 2 a + 1 ) ( 2 b + 1 ) ∑ s = − a a ∑ t = − b b [ [ g ( x + s , y + t ) − w ( x + s , y + t ) ⋅ η ( x + s , y + t ) ] − [ g ( x , y ) ‾ − w ( x , y ) η ( x , y ) ‾ ] ] 2 \sigma^2 (x,y)= \frac{1}{(2a + 1)(2b + 1)} \sum_{s=-a}^{a} \sum_{t=-b}^{b} \\ \left[ [g(x + s, y + t) - w(x + s, y + t) \cdot \eta(x + s, y + t)] - [\overline{g(x,y)} - \overline{w(x,y)\eta(x,y)}] \right]^2 σ2(x,y)=(2a+1)(2b+1)1s=−a∑at=−b∑b[[g(x+s,y+t)−w(x+s,y+t)⋅η(x+s,y+t)]−[g(x,y)−w(x,y)η(x,y)]]2
这个式子中只有 w ( x + s , y + t ) w(x+s,y+t) w(x+s,y+t)是变量，变量一共有 ( 2 a + 1 ) ( 2 b + 1 ) w ( x + s , y + t ) (2a+1)(2b+1)w(x+s,y+t) (2a+1)(2b+1)w(x+s,y+t)个变量。可以看到每一个 ( x , y ) (x,y) (x,y)位置都能建立这样的目标函数、有这么多的变量去求解，实在是难以计算。因此进行简化：将原来的M*N个位置的多目标优化问题，转化为了M*N个i.i.d,优化问题。
令 w ( x + s , y + t ) = w ( x , y ) w(x + s, y + t) = w(x,y) w(x+s,y+t)=w(x,y), (将 ( 2 a + 1 ) ( 2 b + 1 ) (2a+1)(2b+1) (2a+1)(2b+1)个变元简化为 1 1 1 )我们有单变元函数：
σ 2 ( x , y ) = 1 ( 2 a + 1 ) ( 2 b + 1 ) ∑ s = − a a ∑ t = − b b ( [ g ( x + s , y + t ) − w ( x , y ) ⋅ η ( x + s , y + t ) ] − [ g ( x , y ) ‾ − w ( x , y ) η ( x , y ) ‾ ] ) 2 \sigma^2(x,y) = \frac{1}{(2a + 1)(2b + 1)} \sum_{s=-a}^{a} \sum_{t=-b}^{b}\\ \left( [g(x + s, y + t) - w(x,y) \cdot \eta(x + s, y + t)] - [\overline{g(x,y)} - \overline{w(x,y)\eta(x,y)}] \right)^2 σ2(x,y)=(2a+1)(2b+1)1s=−a∑at=−b∑b([g(x+s,y+t)−w(x,y)⋅η(x+s,y+t)]−[g(x,y)−w(x,y)η(x,y)])2
为了最小化 σ 2 \sigma^2 σ2，我们求解：
∂ σ 2 ∂ w ( x , y ) = 0 w ( x , y ) = g ( x , y ) η ( x , y ) ‾ − g ˉ ( x , y ) η ˉ ( x , y ) η 2 ‾ ( x , y ) − η ˉ 2 ( x , y ) \begin{align}\frac{\partial \sigma^2}{\partial w(x,y)}& = 0\\ w(x,y) &= \frac{\overline{g(x,y)\eta(x,y)} - \bar{g}(x,y)\bar{\eta}(x,y)}{\overline{\eta^2}(x,y) - \bar{\eta}^2(x,y)} \end{align} ∂w(x,y)∂σ2w(x,y)=0=η2(x,y)−ηˉ2(x,y)g(x,y)η(x,y)−gˉ(x,y)ηˉ(x,y)
η 2 ‾ ( x , y ) \overline{\eta^2}(x,y) η2(x,y)是平方的均值， η ˉ 2 ( x , y ) \bar{\eta}^2(x,y) ηˉ2(x,y)是均值的平方。
这样我们就能求解出每个位置的weight: w ( x , y ) w(x,y) w(x,y)，需要求M*N次。
估计退化函数(Estimating the Degradation Function)
该节分为以下两个部分进行讨论：
- 假设没有噪声的情况： η ( x , y ) = 0 , g ( x , y ) = h ( x , y ) ∗ f ( x , y ) \eta(x,y)=0,g(x,y)=h(x,y)*f(x,y) η(x,y)=0,g(x,y)=h(x,y)∗f(x,y)
- 假设存在噪声的情况，如何处理？
进行图像复原，第一步要做的，就是找到 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v). 有以下三种方法：
| 图像观察估计 | 实验估计 | 模型估计 |
|---|---|---|
| H s ( u , v ) = G s ( u , v ) F ^ s ( u , v ) H_s(u,v) = \frac{G_s(u,v)}{\hat{F}_s(u,v)} Hs(u,v)=F^s(u,v)Gs(u,v) | H ( u , v ) = G ( u , v ) A H(u,v) = \frac{G(u,v)}{A} H(u,v)=AG(u,v) | H ( u , v ) = exp [ − k ( u 2 + v 2 ) ] 5 / 6 H(u,v) = \exp\left[-k\left(u^2 + v^2\right)\right]^{5/6} H(u,v)=exp[−k(u2+v2)]5/6 |
| 设 G s ( u , v ) G_s(u,v) Gs(u,v)表示观测到的子图像， F ^ s ( u , v ) \hat{F}_s(u,v) F^s(u,v)表示原始子图像的估计值，并且假设由于我们选择了强信号区域，噪声可以忽略不计，然后可以从 H s ( u , v ) H_s(u,v) Hs(u,v)推导出完整函数 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v) . | Hufnagel等人在1964年基于大气湍流的物理特性提出的退化模型. k → 0 k\rightarrow 0 k→0,此时没有大气湍流，相应的 H ( u , v ) = 1 H(u,v)=1 H(u,v)=1，只有噪声影响了。 | |
| 【一叶知秋】完全不知道图像是怎么获得的、只知道这副污染的图像. | 我知道图像是被何设备何场景下拍摄、且我手里有这个设备、我再对特定的对象(平坦)在同样的条件下拍摄。用这个特殊对象来估计污染图像. | 从高空拍摄地面，会受到气流的影响。 |
运动引起的图像模糊(Image Blur due to Motion)
现在，假设一幅图像由于均匀线性运动而变得模糊。
g ( x , y ) = ∫ 0 T f ( x − x 0 ( t ) , y − y 0 ( t ) ) d t g(x,y) = \int_{0}^{T} f\left(x - x_0(t),y - y_0(t)\right) dt g(x,y)=∫0Tf(x−x0(t),y−y0(t))dt
T T T是快门时间。然后，它的傅里叶变换是:
G ( u , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) exp [ − j 2 π ( u x + v y ) ] d x d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ [ ∫ 0 T f ( x − x 0 ( t ) , y − y 0 ( t ) ) d t ] exp [ − j 2 π ( u x + v y ) ] d x d y = ∫ 0 T [ ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x − x 0 ( t ) , y − y 0 ( t ) ) exp [ − j 2 π ( u x + v y ) ] d x d y ] d t = ∫ 0 T F ( u , v ) exp [ − j 2 π ( u x 0 ( t ) + v y 0 ( t ) ) ] d t = F ( u , v ) ∫ 0 T exp [ − j 2 π ( u x 0 ( t ) + v y 0 ( t ) ) ] H ( u , v ) = ∫ 0 T exp [ − j 2 π ( u x 0 ( t ) + v y 0 ( t ) ) ] d t d t \begin{align*} G(u,v) &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) \exp\left[-j2\pi(ux + vy)\right] dxdy\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \left[\int_{0}^{T} f\left(x - x_0(t),y - y_0(t)\right) dt\right] \exp\left[-j2\pi(ux + vy)\right] dxdy\\ &= \int_{0}^{T} \left[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f\left(x - x_0(t),y - y_0(t)\right) \exp\left[-j2\pi(ux + vy)\right] dxdy\right] dt\\ &= \int_{0}^{T} F(u,v) \exp\left[-j2\pi(ux_0(t) + vy_0(t))\right] dt\\ &= F(u,v) \int_{0}^{T} \exp\left[-j2\pi(ux_0(t) + vy_0(t))\right]\\\\ H(u,v)& = \int_{0}^{T} \exp\left[-j2\pi(ux_0(t) + vy_0(t))\right] dt dt\end{align*} G(u,v)H(u,v)=∫−∞∞∫−∞∞g(x,y)exp[−j2π(ux+vy)]dxdy=∫−∞∞∫−∞∞[∫0Tf(x−x0(t),y−y0(t))dt]exp[−j2π(ux+vy)]dxdy=∫0T[∫−∞∞∫−∞∞f(x−x0(t),y−y0(t))exp[−j2π(ux+vy)]dxdy]dt=∫0TF(u,v)exp[−j2π(ux0(t)+vy0(t))]dt=F(u,v)∫0Texp[−j2π(ux0(t)+vy0(t))]=∫0Texp[−j2π(ux0(t)+vy0(t))]dtdt
如果 x 0 ( t ) = a t / T x_0(t) = at/T x0(t)=at/T， y 0 ( t ) = 0 y_0(t) = 0 y0(t)=0（垂直方向上没有发生运动，只是在水平方向上抖动了以下），那么：
H ( u , v ) = ∫ 0 T exp ( − j 2 π u a t / T ) d t = T π u a sin ( π u a ) exp ( − j π u a ) H(u,v) = \int_{0}^{T} \exp\left(-j2\pi uat/T\right) dt = \frac{T}{\pi ua} \sin(\pi ua) \exp\left(-j\pi ua\right) H(u,v)=∫0Texp(−j2πuat/T)dt=πuaTsin(πua)exp(−jπua)
如果 y 0 ( t ) = b t / T y_0(t) = bt/T y0(t)=bt/T而不是0(水平、垂直方向上都发生了运动)，那么：
H ( u , v ) = T π ( u a + v b ) sin ( π ( u a + v b ) ) exp ( − j π ( u a + v b ) ) H(u,v) = \frac{T}{\pi(ua + vb)} \sin(\pi(ua + vb)) \exp\left(-j\pi(ua + vb)\right) H(u,v)=π(ua+vb)Tsin(π(ua+vb))exp(−jπ(ua+vb))
直接逆滤波(Direct Inverse Filtering)
对于被退化函数 H H H退化的图像，最简单的恢复方法是直接逆滤波:
F ^ ( u , v ) = G ( u , v ) H ( u , v ) \hat{F}(u,v) = \frac{G(u,v)}{H(u,v)} F^(u,v)=H(u,v)G(u,v)
可以看到，这个式子中假设 N ( u , v ) = 0 N(u,v)=0 N(u,v)=0，且我们需要已知 G ( u , v ) , H ( u , v ) G(u,v),H(u,v) G(u,v),H(u,v).
那要是 N ( u , v ) ≠ 0 N(u,v)\neq0 N(u,v)=0，我们可以得到:
F ^ ( u , v ) = F ( u , v ) + N ( u , v ) H ( u , v ) \hat{F}(u,v) = F(u,v) + \frac{N(u,v)}{H(u,v)} F^(u,v)=F(u,v)+H(u,v)N(u,v)
如果退化函数 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)在某一个频率点有零值或非常小的值(一般都是离原点比较远的地方存在)，那么 N ( u , v ) / H ( u , v ) N(u,v)/H(u,v) N(u,v)/H(u,v)的比值会很大、可能会压制 F ( u , v ) F(u,v) F(u,v)的估计，造成 F ( u , v ) F(u,v) F(u,v)的估计存在较大误差。
一种解决方法是利用原点附近退化函数的值来进行逆滤波的计算。比如设置一个半径： u 2 + v 2 ≤ R 2 u^2+v^2\le R^2 u2+v2≤R2，足够小的时候来计算 F ^ ( u , v ) \hat F(u,v) F^(u,v); u 2 + v 2 > R 2 u^2+v^2> R^2 u2+v2>R2的地方，做低通滤波。
| (a) | (b) | © | (d) |
|---|---|---|---|
| 这是使用完整滤波器（full filter）进行恢复的结果。 | 这是将滤波器函数 H H H在半径为 40 以外进行截断后进行恢复的结果。 | 这是将滤波器函数 H H H在半径为 70 以外进行截断后进行恢复的结果。 | 这是将滤波器函数 H H H在半径为 85 以外进行截断（cut off outside a radius of 85）后进行恢复的结果。 |
| 图像看起来较为模糊，细节不够清晰。 | good | better | 依托。 |
可以推断出来噪声的频率大于70.（85把噪声包含进去，此时就是 N ( u , v ) / H ( u , v ) N(u,v)/H(u,v) N(u,v)/H(u,v)的比值会很大、可能会压制 F ( u , v ) F(u,v) F(u,v)的估计，造成 F ( u , v ) F(u,v) F(u,v)的估计存在较大误差。得到了依托）
维纳滤波器(Wiener Filtering)
理论上最优的一种图像复原方法。
维纳滤波器寻求使统计误差函数最小化的估计值 f ^ \hat f f^
e 2 = E { ( f − f ^ ) 2 } e^2 = E\{(f - \hat{f})^2\} e2=E{(f−f^)2}
E E E是期望算子， f f f是未退化图像。
此表达式在频域中的解为:
F ^ ( u , v ) = [ 1 H ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 ∣ H ( u , v ) ∣ 2 + S n ( u , v ) / S f ( u , v ) ] G ( u , v ) \hat{F}(u, v) = \left[\frac{1}{H(u, v)} \frac{|H(u, v)|^2}{|H(u, v)|^2 + S_n(u, v)/S_f(u, v)}\right] G(u, v) F^(u,v)=[H(u,v)1∣H(u,v)∣2+Sn(u,v)/Sf(u,v)∣H(u,v)∣2]G(u,v)
其中 :
| H ( u , v ) H(u, v) H(u,v) | ∣ H ( u , v ) ∣ 2 = H ∗ ( u , v ) H ( u , v ) |H(u, v)|^2 = H^*(u, v)H(u, v) ∣H(u,v)∣2=H∗(u,v)H(u,v) | H ∗ ( u , v ) H^*(u, v) H∗(u,v) | S n ( u , v ) = ∣ N ( u , v ) ∣ 2 S_n(u, v) = |N(u, v)|^2 Sn(u,v)=∣N(u,v)∣2 | S f ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ 2 S_f(u, v) = |F(u, v)|^2 Sf(u,v)=∣F(u,v)∣2 |
| --------- | -------------------------------- | ------------------- | ------------------------- | ------------------------- |
| 退化函数 | --- | 是 H ( u , v ) H(u, v) H(u,v)的复共轭 | 是噪声的功率谱 | 未退化图像的功率谱 |
实际上很难在现实中求解：主要是因为 S n ( u , v ) / S f ( u , v ) S_n(u, v)/S_f(u, v) Sn(u,v)/Sf(u,v)、很难求噪声的功率谱以及未退化图像的功率谱。通常使用近似来应用： S n ( u , v ) / S f ( u , v ) = K S_n(u, v)/S_f(u, v)=K Sn(u,v)/Sf(u,v)=K
F ^ ( u , v ) = [ 1 H ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 ∣ H ( u , v ) ∣ 2 + K ] G ( u , v ) \hat{F}(u, v) = \left[\frac{1}{H(u, v)} \frac{|H(u, v)|^2}{|H(u, v)|^2 + K}\right] G(u, v) F^(u,v)=[H(u,v)1∣H(u,v)∣2+K∣H(u,v)∣2]G(u,v)
| (a)(d)(g)原始图像 | (b)(e)(h)逆滤波 | ©(f)(i)维纳滤波 |
|---|---|---|
| 原始的 8 位图像，受到了运动模糊和加性噪声的影响。 | 图像的模糊有所减少，但噪声被放大了。 | 与逆滤波相比，维纳滤波在减少模糊的同时，较好地抑制了噪声。 |
| 噪声方差降低了一个数量级。 | --- | --- |
| 噪声方差降低了五个数量级。 | --- | 通过降低噪声方差，维纳滤波能够有效地去除噪声并减少模糊。 |
约束最小二乘图像复原算法(Constrained Least Squares Filtering)
了解退化函数 H H H的问题 - 在本章讨论的所有方法中，都存在需要了解退化函数 H H H的问题。
维纳算法不好的是：得事先知道噪声功率谱和未退化图像谱，但这个很难知道。
接下来介绍约束最小二乘滤波方法，这个方法只需要知道噪声的均值和方差。
如果我们用矩阵来模拟退化过程，有：
g ( x , y ) = h ( x , y ) ∗ f ( x , y ) + η ( x , y ) g = H f + η g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)+\eta(x,y) \\ g={H}{f}+{\eta} g(x,y)=h(x,y)∗f(x,y)+η(x,y)g=Hf+η
将其转化成矩阵形式，相当于是做 v e c ( ) vec() vec()操作拉伸。比如原先的 f ( x , y ) : M × N f(x,y): M\times N f(x,y):M×N，现在的 f f f是 M N × 1 MN\times 1 MN×1.
该方法的核心是 H H H对噪声的敏感性问题。一种缓解该问题的方法是基于平滑度的度量进行恢复。
拉普拉斯（图像的二阶导数: ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 \nabla^2 f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2} ∇2f=∂x2∂2f+∂y2∂2f）似乎是一个很好的选择。
一阶导反映变化快慢、二阶导反映了平滑程度。
需要最小化的代价函数 C C C为 :
min C = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 [ ∇ 2 f ( x , y ) ] 2 s . t . ∥ g − H f ^ ∥ = ∥ η ∥ \min C=\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}[\nabla^2 f(x,y)]^2\\ s.t.\ \|\mathbf{g}-\mathbf{H}\hat{\mathbf{f}}\|=\|\mathbf{\eta}\| minC=x=0∑M−1y=0∑N−1[∇2f(x,y)]2s.t. ∥g−Hf^∥=∥η∥
已知： g , H , η g,H,\eta g,H,η。该问题在频域的解为 :
F ^ ( u , v ) = [ H ∗ ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 + γ ∣ P ( u , v ) ∣ 2 ] G ( u , v ) \hat{F}(u,v)=\left[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2+\gamma|P(u,v)|^2}\right]G(u,v) F^(u,v)=[∣H(u,v)∣2+γ∣P(u,v)∣2H∗(u,v)]G(u,v)
其中 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是拉普拉斯算子在空域中的一个形式(傅里叶变换)。
P ( x , y ) = ( 0 − 1 0 − 1 4 − 1 0 − 1 0 ) P(x,y)=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} P(x,y)= 0−10−14−10−10
令 r = g − H f ^ r=g-{H}\hat{f} r=g−Hf^，且 φ ( γ ) = r T r = ∥ r ∥ 2 \varphi(\gamma)={r}^T{r}=\|{r}\|^2 φ(γ)=rTr=∥r∥2。
可以证明 φ ( γ ) \varphi(\gamma) φ(γ)是 γ \gamma γ的单调递增函数。因此，我们可以调整 γ \gamma γ，使得 :
∥ r ∥ 2 = ∥ η ∥ 2 ± α \|{r}\|^2=\|\mathbf{\eta}\|^2\pm\alpha ∥r∥2=∥η∥2±α
当 α \alpha α足够小，那么 ∥ r ∥ 2 ∼ ∥ η ∥ 2 \|r\|^2\sim\|\eta\|^2 ∥r∥2∼∥η∥2. 回看频域的解： F ^ ( u , v ) = [ H ∗ ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 + γ ∣ P ( u , v ) ∣ 2 ] G ( u , v ) \hat{F}(u,v)=\left[\frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2+\gamma|P(u,v)|^2}\right]G(u,v) F^(u,v)=[∣H(u,v)∣2+γ∣P(u,v)∣2H∗(u,v)]G(u,v).
已知的条件有： H ( u , v ) , P ( u , v ) , G ( u , v ) H(u,v),P(u,v),G(u,v) H(u,v),P(u,v),G(u,v),那么当 γ \gamma γ确定时： γ ⇒ F ^ ⇒ f ^ ⇒ g − H f ^ = r \gamma\Rightarrow\hat F\Rightarrow \hat f\Rightarrow g-H\hat f=r γ⇒F^⇒f^⇒g−Hf^=r
然后根据 ∥ r ∥ 2 = ∥ η ∥ 2 ± α \|{r}\|^2=\|\mathbf{\eta}\|^2\pm\alpha ∥r∥2=∥η∥2±α确定 ∥ r ∥ 2 \|r\|^2 ∥r∥2是否落入区间，不在区间的话，可以不断地调整 γ \gamma γ,使 ∥ r ∥ 2 < ∥ η ∥ 2 ± α \|{r}\|^2<\|\mathbf{\eta}\|^2\pm\alpha ∥r∥2<∥η∥2±α落入邻域。此时，所估计的 f ^ \hat f f^是问题的解。
Q: 前面假设噪声已知，那实际中如何计算 ∥ η ∥ 2 \|{\eta}\|^2 ∥η∥2？
∥ η ∥ 2 = M N [ σ η 2 + m η 2 ] { σ η 2 = 1 M N ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 [ η ( x , y ) − m η ] 2 m η = 1 M N ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 η ( x , y ) \|\mathbf{\eta}\|^2 = MN[\sigma_{\eta}^2+m_{\eta}^2] \\\begin{cases}\sigma_{\eta}^2=\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}[\eta(x,y)-m_{\eta}]^2 \\ m_{\eta}=\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}\eta(x,y) \end{cases} ∥η∥2=MN[ση2+mη2]{ση2=MN1∑x=0M−1∑y=0N−1[η(x,y)−mη]2mη=MN1∑x=0M−1∑y=0N−1η(x,y)
η 2 , m η 2 \eta^2, m_{\eta}^2 η2,mη2是噪声的方差和期望。
σ η 2 = 1 M N ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 [ η ( x , y ) − m η ] 2 = 1 M N ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 [ η 2 ( x , y ) − 2 m η η ( x , y ) + m η 2 ] = 1 M N ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 η 2 ( x , y ) − 2 m η 1 M N ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 η ( x , y ) + m η 2 = 1 M N ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 η 2 ( x , y ) − 2 m η 2 + m η 2 = 1 M N ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 η 2 ( x , y ) − m η 2 ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 η 2 ( x , y ) = M N [ σ η 2 + m η 2 ] ∥ η ∥ 2 = M N [ σ η 2 + m η 2 ] \begin{align*} \sigma_{\eta}^2&=\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}[\eta(x,y)-m_{\eta}]^2\\ &=\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}[\eta^2(x,y)-2m_{\eta}\eta(x,y)+m_{\eta}^2]\\ &=\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}\eta^2(x,y)-2m_{\eta}\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}\eta(x,y)+m_{\eta}^2\\ &=\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}\eta^2(x,y)-2m_{\eta}^2+m_{\eta}^2\\ &=\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}\eta^2(x,y)-m_{\eta}^2 \\ \sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}\eta^2(x,y)&=MN[\sigma_{\eta}^2 + m_{\eta}^2]\\ \|\mathbf{\eta}\|^2 &= MN[\sigma_{\eta}^2+m_{\eta}^2] \end{align*} ση2x=0∑M−1y=0∑N−1η2(x,y)∥η∥2=MN1x=0∑M−1y=0∑N−1[η(x,y)−mη]2=MN1x=0∑M−1y=0∑N−1[η2(x,y)−2mηη(x,y)+mη2]=MN1x=0∑M−1y=0∑N−1η2(x,y)−2mηMN1x=0∑M−1y=0∑N−1η(x,y)+mη2=MN1x=0∑M−1y=0∑N−1η2(x,y)−2mη2+mη2=MN1x=0∑M−1y=0∑N−1η2(x,y)−mη2=MN[ση2+mη2]=MN[ση2+mη2]
下图都展示了经过约束最小二乘滤波处理后的图像。可以看到效果比维纳滤波好一点。
)+m_{\eta}^2\ &=\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}\eta^2(x,y)-2m_{\eta}^2+m_{\eta}^2\ &=\frac{1}{MN}\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}\eta^2(x,y)-m_{\eta}^2 \
\sum_{x = 0}^{M-1}\sum_{y = 0}^{N-1}\eta^2(x,y)&=MN[\sigma_{\eta}^2 + m_{\eta}^2]\
|\mathbf{\eta}|^2 &= MN[\sigma_{\eta}^2+m_{\eta}^2]
\end{align*}
下图都展示了经过约束最小二乘滤波处理后的图像。可以看到效果比维纳滤波好一点。
[外链图片转存中...(img-UnOHPG8p-1735022584536)]