C++_数据结构_详解二叉搜索树

悲伤小伞2024-12-26 8:12

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所属专栏：C++学习

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1.二叉树搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

2.若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值

3.若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值

3.它的左右子树也分别为二叉搜索树

4.二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续的map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值

2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下， 二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： O (log(2)N)
最差情况下， 二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： O (N/2)
所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为： O (N)
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，后续的二叉搜索树的变形， 平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O (logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且 有序。
2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中， 插入和删除数据一般需要挪动数据。 这就是平衡二叉搜索树的价值所在。

3.二叉搜索树的插入

1.树为空，则直接新增节点，赋值给root指针。

2.树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。

3.如果支持插入相等的值，插入值 跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）

int a[ ] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

插入为16;

插入3;

cpp 复制代码 
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS  1

#include<iostream>
using namespace std;

template<class K>
struct BSTNode
{
	K _val;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;

	BSTNode(const K& val)
		:_val(val),
		_left(nullptr),
		_right(nullptr)
	{
	}
};


template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<K>	Node;
public:
	bool insert(const K& val)	{
		//当为空树时
		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(val);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_val < val) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_val > val) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				//树中存在相同的值
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(val);
		if (parent->_val > val) {
			parent->_left = cur;
		}
		else {
			parent->_right = cur;
		}
		return true;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

4. 二叉搜索树的查找

1. 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
2. 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回

cpp 复制代码 
	bool Find(const K& val) {
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_val < val) {
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_val > val) {
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

5.二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩子均为空
2. 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
3. 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空
对应以上四种情况的解决方案：
1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
3. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子4无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

cpp 复制代码 
bool Erase(const K& val) {
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur) {
		if (cur->_val < val) {
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_val > val) {
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else {
			if (cur->_left == NULL) {
					//根结点
					// 0-1个孩⼦的情况
					// 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可
					if (parent == NULL) {
						_root = _root->_right;
					}
					else {
						//cur分别为parent的左右子树时，树连接的问题
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
					}
					delete cur;
					return true;
			}
			else if (cur->_right == NULL) {
				if (parent == NULL) {
					_root = _root->_left;
				}
				else {
					if (parent->_left == cur) {
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else {
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				delete cur;
				return true;
			}
			// 2个孩⼦的情况
			// 删除情况4，替换法删除
			// 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点(最左节点)作为替代结点去删除
			// 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情况
			// ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。
			else {
				Node* rightMinP = cur;//防止右子树是单支树//后续进行判断
				Node* rightMin = cur->_right;//右⼦树的最⼩结点
				while (rightMin->_left) {
					rightMinP = rightMin;
					rightMin = rightMin->_left;
				}
				cur->_val = rightMin->_val;
				if (rightMinP->_left == rightMin) {
					rightMinP->_left = rightMin->_right;
				}
				else
				{
					rightMinP->_right = rightMin->_right;
				}
				delete rightMin;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

6.代码实现

cpp 复制代码 
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS  1

#include<iostream>
using namespace std;

template<class K>
struct BSTNode
{
	K _val;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;

	BSTNode(const K& val)
		:_val(val),
		_left(nullptr),
		_right(nullptr)
	{
	}
};


template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<K>	Node;
public:
	//bool insert( K&& val)
	//上式为右值引用，在C++11被提出，在后续的学习中，我们会对C++11有更深的理解
	//目前认为与下式相同
	bool insert(const K& val)	{
		//当为空树时
		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(val);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_val < val) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_val > val) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				//树中存在相同的值
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(val);
		if (parent->_val > val) {
			parent->_left = cur;
		}
		else {
			parent->_right = cur;
		}
		return true;
	}

	bool Find(const K& val) {
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_val < val) {
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_val > val) {
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

	bool Erase(const K& val) {
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_val < val) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_val > val) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				if (cur->_left == NULL) {
						//根结点
						// 0-1个孩⼦的情况
						// 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可
						if (parent == NULL) {
							_root = _root->_right;
						}
						else {
							//cur分别为parent的左右子树时，树连接的问题
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						delete cur;
						return true;
				}
				else if (cur->_right == NULL) {
					if (parent == NULL) {
						_root = _root->_left;
					}
					else {
						if (parent->_left == cur) {
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else {
							parent->_right = cur->_left;
						}
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				// 2个孩⼦的情况
				// 删除情况4，替换法删除
				// 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点(最左节点)作为替代结点去删除
				// 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情况
				// ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。
				else {
					Node* rightMinP = cur;//防止右子树是单支树//后续进行判断
					Node* rightMin = cur->_right;//右⼦树的最⼩结点
					while (rightMin->_left) {
						rightMinP = rightMin;
						rightMin = rightMin->_left;
					}
					cur->_val = rightMin->_val;
					if (rightMinP->_left == rightMin) {
						rightMinP->_left = rightMin->_right;
					}
					else
					{
						rightMinP->_right = rightMin->_right;
					}
					delete rightMin;
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
	if(root == nullptr)
		{
			return;
		} 
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_val << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

7.二叉搜索树key和<key,value>的使用场景

7.1 key的使用场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

7.2 <key,value>的使用场景

每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英文对应的中文。
场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

7.3 代码实现

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

template<class K ,class V>
struct BSTNode
{
	K _key;
	V _value;
	//pair<K , V> _kv;
	BSTNode<K , V>* _left;
	BSTNode<K , V>* _right;

	BSTNode(const K& key, const V& value)
		:_key(key),
		_value(value),
		_left(nullptr),
		_right(nullptr)
	{
	}
};

template<class K , class V>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
	BSTree() = default;
	//拷贝
	BSTree(const BSTree<K, V>& t)
	{
		_root = Copy(t._root);
	}

	~BSTree()
	{
		Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}

	//赋值的现代手法
	BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t)
	{
		swap(_root, t._root);
		return *this;
	}

	bool Insert(const K& key, const V& value)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key, value);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(key, value);
		if (parent->_key < key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		return true;
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}
	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur -> _right;
						else
							parent->_right = cur -> _right;
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur -> _left;
						else
							parent->_right = cur -> _left;
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				else
				{
					Node* rightMinP = cur;
					Node* rightMin = cur->_right;
					while (rightMin->_left)
					{
						rightMinP = rightMin;
						rightMin = rightMin->_left;
					}
					cur->_key = rightMin->_key;
					if (rightMinP->_left == rightMin)
						rightMinP->_left = rightMin -> _right;
					else
						rightMinP->_right = rightMin -> _right;
					delete rightMin;
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		Destroy(root->_left);
		Destroy(root->_right);
		delete root;
	}

	Node* Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return nullptr;
		Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
		newRoot->_left = Copy(root->_left);
		newRoot->_right = Copy(root->_right);
		return newRoot;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

int main()
{
	BSTree<string, string> dict;
	//BSTree<string, string> copy = dict;
	dict.Insert("left", "左边");
	dict.Insert("right" ,"右边");
	dict.Insert("insert"  ,"插入");
	dict.Insert("string" ,"字符串");
	string str;
	while (cin >> str)
	{
		auto ret = dict.Find(str);
		if (ret)
		{
			cout << "->" << ret->_value << endl;
		}
		else
		{
			cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
		}
	}
	return 0;
}
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