【算法】 课程表

难度:中等

题目

你这个学期必须选修 numCourses 门课程,记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出,其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ,表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。

  • 例如,先修课程对 [0, 1] 表示:想要学习课程 0 ,你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习?如果可以,返回 true ;否则,返回 false 。

示例:

示例1:

输入:numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]

输出:true

解释:总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例2:

输入:numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]

输出:false

解释:总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要先完成课程 0 ;并且学习课程 0 之前,你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

提示:

  • 1 <= numCourses <= 2000
  • 0 <= prerequisites.length <= 5000
  • prerequisites[i].length == 2
  • 0 <= ai, bi < numCourses
  • prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

解题思路:

解决这道题,我们可以使用拓扑排序的方法。拓扑排序是对有向无环图(DAG)的顶点的一种排序,它使得对于每一条有向边 u->v,顶点 u 都会在顶点 v 之前出现在排序结果中。在这个问题中,课程可以看作顶点,先修关系构成有向边,我们需要检查这个图是否存在环,如果不存在环,则可以完成所有课程的学习。

  1. 构建邻接表 :首先,根据prerequisites构建一个邻接表,表示每门课程的先修课程有哪些。
  2. 拓扑排序:遍历所有课程,对于每门课程,检查它是否有未完成的先修课程。如果没有,则将其加入结果序列(也就是可以学习这门课了),并将它指向的所有课程的入度减一(表示其依赖减少了一个)。重复此过程直到所有课程都被处理或者无法继续推进(即存在环)。
  3. 检查环:使用一个队列来跟踪当前没有先修课程的课程(即入度为0的课程),如果最终能将所有课程加入结果序列,则说明没有环,可以完成所有课程;反之,如果有课程无法加入结果序列(即队列为空但还有课程未学习),则说明存在环,无法完成所有课程。

JavaScript 实现:

ini 复制代码
function canFinish(numCourses, prerequisites) {
    // 构建邻接表
    const adjList = new Array(numCourses).fill(null).map(() => []);
    for (const [course, prereq] of prerequisites) {
        adjList[prereq].push(course);
    }

    // 计算每门课程的入度
    const indegree = new Array(numCourses).fill(0);
    prerequisites.forEach(([course]) => indegree[course]++);

    // 使用队列进行拓扑排序
    const queue = [];
    for (let i = 0; i < numCourses; i++) {
        if (indegree[i] === 0) {
            queue.push(i);
        }
    }

    // 遍历课程
    while (queue.length > 0) {
        const course = queue.shift();
        numCourses--; // 可以前进一步学习的课程数减一

        // 减少其后续课程的入度
        adjList[course].forEach(nextCourse => {
            indegree[nextCourse]--;
            if (indegree[nextCourse] === 0) {
                queue.push(nextCourse);
            }
        });
    }

    // 如果numCourses为0,说明所有课程都可以完成
    return numCourses === 0;
}

// 示例
// const numCourses = 2;
// const prerequisites = [[1,0]];
// console.log(canFinish(numCourses, prerequisites)); // 输出: true

我的理解是先找到突破点,就是如果有的课程(例如课程A)不依赖其他课程,那么课程A就是突破点,其他依赖于课程A的课程就有希望完成。

所以要构建邻接表

因为要找到每门课程(例如课程A)被哪些门课程所依赖,这门课程完成了,那么依赖这门课程的课程就有希望完成。会得到这样的数据结构 [ A: [B,C,D] ]

scss 复制代码
    // 构建邻接表
    const adjList = new Array(numCourses).fill(null).map(() => []);
    for (const [course, prereq] of prerequisites) {
        adjList[prereq].push(course);
    }

所以需要计算每门课程的入度(我的理解:入度就是依赖度):

ini 复制代码
   // 计算每门课程的入度
   const indegree = new Array(numCourses).fill(0);
   prerequisites.forEach(([course]) => indegree[course]++);

设置每门课程初始化的入度都是0(我的理解:入度就是依赖度),然后计算有哪些课程有依赖度,然后进行++处理;

为什么要进行拓扑排序呢?是因为我们需要拿到依赖度为0的那些课程(也就是突破点)

ini 复制代码
   // 使用队列进行拓扑排序
    const queue = [];
    for (let i = 0; i < numCourses; i++) {
        if (indegree[i] === 0) {
            queue.push(i);
        }
    }

然后遍历那些依赖度为0(突破点)的课程

ini 复制代码
   // 遍历课程
    while (queue.length > 0) {
        const course = queue.shift();
        numCourses--; // 可以前进一步学习的课程数减一

        // 减少其后续课程的入度
        adjList[course].forEach(nextCourse => {
            indegree[nextCourse]--;
            if (indegree[nextCourse] === 0) {
                queue.push(nextCourse);
            }
        });
    }
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