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前言
按照傅里叶发展的历史，本应该先介绍傅里叶级数，但是由于DTFT更通用，且DTFT是属于核心理论，而DFS是DTFT的一种特列，所以该系列文章中先介绍DTFT，也就是离散时间傅里叶变换。
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一、DTFT的解释
1.DTFT公式
看一下DTFT和CFT也就是连续傅里叶变换的对比：
- DTFT
X ( ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} X(ω)=n=−∞∑∞x[n]e−jωn - CFT
F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt
对比CFT，我们可以看到DTFT和CFT的差别在于，一个自变量是 n n n，一个自变量是 t t t，一个是非连续一个是连续。所以二者对比：
- 连续信号：在CFT中，频率是连续变量，频谱 F ( ω ) F(\omega) F(ω)对应的是一个实数角频率 ω \omega ω，直接描述频率分量。
- 离散信号： 在 DTFT （ 包括DFT） 中，由于信号是离散的，频谱的周期性引入了单位圆上的频率表示。对于 X ( ω ) X(\omega) X(ω)写作 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)，所以DTFT写作为：
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} X(ejω)=n=−∞∑∞x[n]e−jωn
2.DTFT右边释义
对于DTFT右边 ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} n=−∞∑∞x[n]e−jωn我们来一步步分析这个公式的作用。
1） 复指数 e − j ω n e^{-j\omega n} e−jωn
上一篇文章中，我们用欧拉公式将极坐标表示为复指数形式：
e j θ = cos ( θ ) + j sin ( θ ) e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta) ejθ=cos(θ)+jsin(θ)
由此可以得到
e − j ω n = > cos ( j ω n ) − j s i n ( ω n ) e^{-j\omega n}=>\cos(j\omega n)-jsin(\omega n) e−jωn=>cos(jωn)−jsin(ωn)
- 实部： cos ( j ω n ) \cos(j\omega n) cos(jωn)是以频率 ω \omega ω的余弦震荡
- 虚部： s i n ( ω n ) sin(\omega n) sin(ωn)是以频率 ω \omega ω的正弦震荡
它表示的含义是随着 n n n的增长，以频率 ω \omega ω在一个单位圆上以顺时针方式进行周期震荡，如下图:
- n n n代表时间 t t t在 [ 0 , 5 ] [0,5] [0,5]区间上的变换
- Z Z Z的指向是极坐标
- I m Im Im是虚部比变化
- R e Re Re是实部变化
2）序列与复指数相乘 x [ n ] ∗ e − j ω n x[n]*e^{-j\omega n} x[n]∗e−jωn
复指数序列
在上一篇文章中，我们说 z = r ∗ e i θ z=r*e^{i\theta} z=r∗eiθ表示了极坐标的旋转， r r r代表了模长，而 x [ n ] ∗ e − j ω n x[n]*e^{-j\omega n} x[n]∗e−jωn中 x [ n ] x[n] x[n]可以是实数和虚数，所以对于 x [ n ] ∗ e − j ω n x[n]*e^{-j\omega n} x[n]∗e−jωn值得注意的是，应该理解为对于 x [ n ] x[n] x[n]进行旋转 − ω n -\omega n −ωn角度，而不是理解为模长。
而对于整个 x [ n ] x[n] x[n]的旋转，我们得到的是对于以某一个频率 ω \omega ω旋转了 − ω n -\omega n −ωn角度的新的序列，这就叫做复指数序列 。其中对于 e − j ω n e^{-j\omega n} e−jωn我们看作是对于复指数序列的基函数。
复数的共轭
对于一个复数 z = a + b i z=a+bi z=a+bi，它的共轭复数为 z ‾ = a − b i \overline{z}=a-bi z=a−bi
- 复数共轭的几何意义是以实轴为对称轴反射。
- 共轭复数在许多计算中很重要，例如求复数的模: ∣ z ∣ = z ∗ z ‾ |z|=\sqrt{z*\overline{z}} ∣z∣=z∗z ，展开来为：
( a + b i ) ∗ a ( − b i ) = a 2 − a b i + a b i − b 2 ∗ i 2 , ( i 2 = − 1 ) = > a 2 + b 2 (a+bi)*a(-bi)=a^2-abi+abi-b^2*i^2,\quad (i^2=-1)=>a^2+b^2 (a+bi)∗a(−bi)=a2−abi+abi−b2∗i2,(i2=−1)=>a2+b2
复数空间的内积使用了共轭来确保以下性质：
- 共轭对称性
< f , g > = < g , f > ‾ <f,g>=\overline{<g,f>} <f,g>=<g,f> - 非负性
< f , f > ≥ 0 <f,f> \geq 0 <f,f>≥0
正交
正交：在数学中，正交（orthogonality）通常用于描述两个向量或函数之间的一种关系，表示它们彼此垂直或互不相关。
- 向量正交：在欧几里得空间中，两个向量 u , v u,v u,v 如果它们的内积为 0，则称它们是正交的，即： u ∗ v = 0 u*v=0 u∗v=0
- 函数正交：两个函数 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上内积为0，表示为函数正交，即： < f , g > = ∫ a b f ( x ) g ( x ) ∗ d x = 0 <f,g>=\int_a^bf(x)g(x)^*dx =0 <f,g>=∫abf(x)g(x)∗dx=0
正交意味着在平面上，角度为90°，例如 ( 1 , i ) , ( 1 , − i ) (1,i),(1,-i) (1,i),(1,−i)：
正交集
正交集是由一组两两正交的向量或函数组成的集合。在这种集合中，任意两个不同的元素的内积为 0。而对于复指数序列的基函数 e − j ω n e^{-j\omega n} e−jωn则有：
< e − j ω l n , e − j ω m n > = ∑ n = 0 N − 1 e − j ω l n ∗ ( e − j ω m n ) ∗ ( e − j ω m n ) ∗ = e j ω m n , 由于复共轭 < e − j ω l n , e − j ω m n > = ∑ n = 0 N − 1 e − j ω l n ∗ e j ω m n = > ∑ n = 0 N − 1 e j ( ω m − ω l ) n <e^{-j\omega_l n}, e^{-j\omega_m n}>=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\omega_l n}* (e^{-j\omega_m n})^*\\ (e^{-j\omega_m n})^*=e^{j\omega_m n},\quad 由于复共轭 \\ <e^{-j\omega_l n}, e^{-j\omega_m n}>=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\omega_l n}*e^{j\omega_m n} =>\\ \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\omega_m-\omega_l)n} <e−jωln,e−jωmn>=n=0∑N−1e−jωln∗(e−jωmn)∗(e−jωmn)∗=ejωmn,由于复共轭<e−jωln,e−jωmn>=n=0∑N−1e−jωln∗ejωmn=>n=0∑N−1ej(ωm−ωl)n
当 ω m ≠ ω l \omega_m\neq \omega_l ωm=ωl时， e j ( ω m − ω l ) n e^{j(\omega_m-\omega_l)n} ej(ωm−ωl)n表示的是一个周期性复数，几何上表示在复平面上绕原点画圆，如同上文中对于 e − j ω n e^{-j\omega n} e−jωn解释的图像，所以对于累加和 ∑ n = 0 N − 1 e j ( ω m − ω l ) n \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\omega_m-\omega_l)n} ∑n=0N−1ej(ωm−ωl)n为0。
也就是说对于任意复指数序列的基函数，当 ω m ≠ ω l \omega_m\neq \omega_l ωm=ωl时，两者之间相互不影响，这也正是DTFT使用复指数来进行运算的原因！
3）复指数序列求和
DTFT右边对于复指数序列为什么要进行求和，即 ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} ∑n=−∞∞x[n]e−jωn？
上面我们说了对于任意复指数序列的基函数，当 ω m ≠ ω l \omega_m\neq \omega_l ωm=ωl时，两者之间相互不影响。所以对于 x [ n ] ∗ e − j ω n x[n]*e^{-j\omega n} x[n]∗e−jωn中，对于某一个 ω k \omega_k ωk， x [ n ] ∗ e − j ω k n x[n]*e^{-j\omega_k n} x[n]∗e−jωkn中，将不会包含其他频率的影响。
在欧几里得空间中，投影的定义是： 投影 = < v ∗ u > u 投影=<v*u>u 投影=<v∗u>u，其中
- v v v 是要投影的向量
- u u u是基向量
- ⟨ v , u ⟩ ⟨v,u⟩ ⟨v,u⟩ 是内积，量化了 v v v 与 u u u的相似程度
而对于复指数序列投影，则有：
< x [ n ] , e − j ω n > = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ∗ e − j ω n ‾ e − j ω n ‾ = e j ω n 共轭性 < x [ n ] , e − j ω n > = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n <x[n],e^{-j\omega n}>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]*\overline{e^{-j\omega n}} \\ \overline{e^{-j\omega n}} =e^{j\omega n} 共轭性\\ <x[n],e^{-j\omega n}> =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} <x[n],e−jωn>=n=−∞∑∞x[n]∗e−jωne−jωn=ejωn共轭性<x[n],e−jωn>=n=−∞∑∞x[n]e−jωn
其实就是DTFT函数，它的目的就是为了不同频率之间的影响。即如果 < x [ n ] , e − j ω k n > = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω k n = 0 <x[n],e^{-j\omega_k n}> =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega_k n}=0 <x[n],e−jωkn>=n=−∞∑∞x[n]e−jωkn=0，那么序列 x [ n ] x[n] x[n]对于频率 ω k \omega_k ωk没有影响。
3.DTFT左边边释义
1）实部与虚部
上文中解释了DTFT函数的由来，即 ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} ∑n=−∞∞x[n]e−jωn可以看作是对信号进行"投影"，找出信号与每个频率基函数的匹配程度。那么如果
< x [ n ] , e − j ω k n > = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω k n ≠ 0 <x[n],e^{-j\omega_k n}> =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega_k n}\neq 0 <x[n],e−jωkn>=n=−∞∑∞x[n]e−jωkn=0这个值我们表示为 X ( ω k ) X(\omega_k) X(ωk)有什么含义？或者说有什么作用？
我们知道对于欧拉公式：
e j θ = cos ( θ ) + j sin ( θ ) e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta) ejθ=cos(θ)+jsin(θ)
它的实部表示了相位（两波之间的时间或空间偏移），虚部表示了幅度，那么对于DTFT公式：
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} X(ejω)=n=−∞∑∞x[n]e−jωn
其中复指数通过欧拉公式得到
e − j ω n = cos ( ω n ) − j sin ( ω n ) e^{-j\omega n}=\cos(\omega n)-j\sin(\omega n) e−jωn=cos(ωn)−jsin(ωn)
因此DTFT可以拆解为：
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ( cos ( ω n ) − j sin ( ω n ) ) X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] cos ( ω n ) ⏟ R e ( X ( e j ω ) ) − ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] j sin ( ω n ) ⏟ I e ( X ( e j ω ) ) X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](\cos(\omega n)-j\sin(\omega n)) \\ X(e^{j\omega})=\underbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cos(\omega n)}{Re(X(e^{j\omega}))}-\underbrace{\sum{n=-\infty}^{\infty}x[n]j\sin(\omega n)}_{Ie(X(e^{j\omega}))} X(ejω)=n=−∞∑∞x[n](cos(ωn)−jsin(ωn))X(ejω)=Re(X(ejω)) n=−∞∑∞x[n]cos(ωn)−Ie(X(ejω)) n=−∞∑∞x[n]jsin(ωn)
- R e ( X ( e j ω ) Re(X(e^{j\omega}) Re(X(ejω)是实部
- I m ( X ( e j ω ) Im(X(e^{j\omega}) Im(X(ejω)是虚部
2）幅度与相位
- 幅度：幅度是频谱中每个频率分量的强度或大小，实部和虚部的模长，可以得出该频率分量的幅度。使用 ∣ X ( e j ω ) ∣ |X(e^{j\omega})| ∣X(ejω)∣表示信号在频率 ω \omega ω处的能量强度或振幅
∣ X ( e j ω ) ∣ = R e ( X ( e j ω ) 2 + I m ( X ( e j ω ) 2 |X(e^{j\omega})|=\sqrt{Re(X(e^{j\omega})^2+Im(X(e^{j\omega})^2} ∣X(ejω)∣=Re(X(ejω)2+Im(X(ejω)2 - 相位：相位是频谱中每个频率分量相对于其他频率分量的相位偏移，通过实部和虚部的比值，可以计算相位。使用 arg ( X ( e j ω ) ) 或 ∠ ( X ( e j ω ) ) \arg(X(e^{j\omega}))或\angle(X(e^{j\omega})) arg(X(ejω))或∠(X(ejω))表示：
∠ ( X ( e j ω ) ) = tan − 1 I m ( X ( e j ω ) R e ( X ( e j ω ) \angle(X(e^{j\omega}))=\tan^{-1}\frac{Im(X(e^{j\omega})}{Re(X(e^{j\omega})} ∠(X(ejω))=tan−1Re(X(ejω)Im(X(ejω)
二、IDTFT
1.逆离散时间的傅里叶变换
上文中我们使用的傅里叶变换将序列从时域转成了频域，那么从频域恢复到时域我们成为逆傅里叶变换，逆离散时间的傅里叶变换表示为IDTFT。
它的公式为：
x [ n ] = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω n d ω x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega x[n]=2π1∫−ππX(ejω)ejωndω
2.IDTFT验证
我们将 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)代入到公式中：
x [ n ] = 1 2 π ∫ − π π ( ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] e − j ω k ) e j ω n d ω x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\big(\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]e^{-j\omega k}\big)e^{j\omega n}d\omega x[n]=2π1∫−ππ(k=−∞∑∞x[k]e−jωk)ejωndω
根据之前文章积分和求和的特性
x [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] ( 1 2 π ∫ − π π e − j ω ( n − k ) d w ) x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\big(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw\big) x[n]=k=−∞∑∞x[k](2π1∫−ππe−jω(n−k)dw)
先看积分项
1 2 π ∫ − π π e − j ω ( n − k ) d w \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw 2π1∫−ππe−jω(n−k)dw
- 当 k = n k=n k=n时：
1 2 π ∫ − π π e − j ω ( n − k ) d w = 1 2 π ∫ − π π 1 d w = 1 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dw=1 2π1∫−ππe−jω(n−k)dw=2π1∫−ππ1dw=1 - 当 k ≠ n k\neq n k=n时，上文中说过，因为 e j ( ω m − ω l ) n e^{j(\omega_m-\omega_l)n} ej(ωm−ωl)n表示的是一个周期性复数，其积分结果为零：
1 2 π ∫ − π π e − j ω ( n − k ) d w = 1 2 π ∗ 0 = 0 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw=\frac{1}{2\pi}*0=0 2π1∫−ππe−jω(n−k)dw=2π1∗0=0
因此
1 2 π ∫ − π π e − j ω ( n − k ) d w = { 1 , n = k 0 , n ≠ k \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-j\omega (n-k)}dw=\begin{cases}1,\quad n=k \\ 0,\quad n\neq k\end{cases} 2π1∫−ππe−jω(n−k)dw={1,n=k0,n=k
我们用单位脉冲 δ \delta δ表示0，1，所以可以得到
x [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] δ [ n − k ] x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k] x[n]=k=−∞∑∞x[k]δ[n−k]
有没有看起来很熟悉，这不就是冲激分解，使用单位冲激序列表示的加权和
总结
本篇文章中，我们对于DTFT做了深入的了解，附带着介绍了一些使用的数学知识，同时得到了IDTFT的公式。受到篇幅限制，本章只对DTFT公式进行了展示，并没有深入了解DTFT存在的条件和性质，那么在下一篇文章中会进行进一步介绍DTFT相关性质和条件。
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