题解：监控屏幕调整问题

问题描述

Reca 公司生产高端显示器，其中最受欢迎的型号是 AB999。屏幕尺寸为 $x \\times y$ 的比例。由于某些生产特性，屏幕参数总是整数。最终，屏幕边长比例 $x:y$ 需要适应用户的需求。

为了满足用户需求，公司需要调整屏幕尺寸，使其满足以下条件：

屏幕能够完整容纳在用户给定的宽高限制 $a \\times b$ 内；
调整后屏幕的宽高比必须等于 $x:y$ ；
调整后的屏幕尺寸尽可能接近用户提供的最大边界 $a \\times b$ 。

如果无法满足以上条件，则输出 0 0。

输入格式

输入包含一行，四个整数 $a, b, x, y$ ，分别表示：

用户提供的屏幕宽高限制： $a$ 和 $b$ ；
屏幕宽高比： $x:y$ 。

限制条件：

$1 \\leq a, b, x, y \\leq 2 \\times 10\^9$

输出格式

如果存在满足条件的调整尺寸，输出两个整数，分别表示屏幕的宽和高。如果无法满足条件，则输出 0 0。

示例

示例 1

输入：

800 600 4 3

输出：

800 600

解释：

屏幕比例为 $4:3$ ，可以直接容纳在 $800 \\times 600$ 内，输出原始尺寸。

示例 2

输入：

1920 1200 16 9

输出：

1920 1080

解释：

按照比例 $16:9$ ，调整后的屏幕最大尺寸为 $1920 \\times 1080$ ，符合限制条件。

示例 3

输入：

1 1 1 2

输出：

0 0

解释：

不可能调整出宽高比为 $1:2$ 且小于等于 $1 \\times 1$ 的屏幕。

Python代码实现

以下是问题的 Python 实现代码：

def gcd(x, y):
    """计算两个数的最大公约数"""
    return y if x == 0 else gcd(y % x, x)

def main():
    # 读取输入
    a, b, x, y = map(int, input().split())
    
    # 计算 x 和 y 的最大公约数，约分比例
    g = gcd(x, y)
    x //= g
    y //= g

    # 计算缩放比例
    u = a // x
    v = b // y
    factor = min(u, v)

    # 判断是否可行
    if factor > 0:
        print(factor * x, factor * y)
    else:
        print(0, 0)

if __name__ == "__main__":
    main()

代码详解

最大公约数函数 (gcd)：
- 使用递归方式计算两个数的最大公约数，确保比例 $x:y$ 化简为最简分数。
输入处理：
- 使用 map(int, input().split()) 读取用户提供的宽高限制 $a, b$ 以及比例 $x, y$ 。
比例化简：
- 将 $x$ 和 $y$ 分别除以它们的最大公约数 $g$ ，得到最简分数形式。
计算缩放比例：
- 计算分别可容纳的倍数：
  - $u = a // x$ 表示 $a$ 中可以容纳的宽度倍数；
  - $v = b // y$ 表示 $b$ 中可以容纳的高度倍数。
- 选择最小的倍数作为最终缩放因子 factor = min(u, v)。
结果判断与输出：
- 如果 factor > 0，输出调整后的屏幕尺寸；
- 否则，输出 0 0。

示例测试

示例 1

输入：

800 600 4 3

输出：

800 600

解释：

屏幕比例为 $4:3$ ，可以直接容纳在 $800 \\times 600$ 内，输出原始尺寸。

示例 2

输入：

1920 1200 16 9

输出：

1920 1080

解释：

按照比例 $16:9$ ，调整后的屏幕最大尺寸为 $1920 \\times 1080$ ，符合限制条件。

示例 3

输入：

1 1 1 2

输出：

0 0

解释：

不可能调整出宽高比为 $1:2$ 且小于等于 $1 \\times 1$ 的屏幕。

实际应用场景

分辨率优化：
- 在显示设备中，需要根据用户提供的边界限制计算最优的显示分辨率。
- 应用场景如投影仪、屏幕调整等。
视频裁剪：
- 在视频剪辑中，需要调整视频画面的宽高比以适配不同的显示器。
工业设计：
- 用于计算工业设备中，如何最大化利用有限空间展示屏幕内容。

总结

这道题目考察了数学中的比例与最大公约数的基本应用，同时结合实际应用场景（显示器分辨率调整），非常贴近实际问题。通过简洁的代码实现，可以在 $O(\\log(\\min(x, y)))$ 的时间复杂度内解决问题。

希望这篇文章能对你有所帮助！如果喜欢，记得点赞支持哦 😊～