673.最长递增子序列

思路：动态规划

dp[i]表示nums $i$ 时最长递增子序列的长度

初始状态dp $0$ =0；用一个j去遍历以nums $i$ 之前所有子序列的起点

cnt[i]记录对应dp下最长子序列的个数

状态转移方程：

（1）如果nums[j] >= nums[i] ，非递增不考虑

（2）如果nums[j] < nums[i]，此时是递增，那么到 i 最长的子序列= 到 j 最长的子序列 + nums $i$ ，dp[i] = dp[j] + 1

对于cnt和maxL的维护

（1）dp[i] > dp[j] + 1时，maxL不变

（2）dp[i] = dp[j] + 1时，maxL相等，且出现长度相同的不同最长子序列，此时cnt需要改变

（3）dp[i] < dp[j] + 1，maxL需要更新变为dp[j] + 1，cnt要重置到新的cnt[j]

cnt $j$ 的含义为以j做结尾的最长递增子序列个数，

如果cnt[j]=2,再加一个新的nums[i]加入递增子序列,那么cnt[i]的个数是cnt[j]+1，即3

那么在情况（2）中对cnt的维护：遍历j时，有不同的j结尾的子序列新增nums[i]后最大长度相同，那么需要现有的cnt[i]+cnt[j]（实际上相当于所有能和nuns[i]组成最长递增子序列的cnt[j]的和，起一个累加效果）

最后再设置一个maxL置，不断比较每一个dp $i$ ，

（1）maxL<dp[i]，更新maxL=dp[i]并重新计数，res=cnt[i]

（2）maxL==dp[i]，cnt需要累加，res=res+cnt[i];

（2）maxL>dp[i]，无意义

代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        //初始化为1，至少单个字符可以当作子序列
        vector<int>dp(n,1);
        vector<int>cnt(n,1);
        int counter=1;
        int maxL=1;
        int res=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
           for(int j=0;j<i;j++){
              //递增
              if(nums[i]>nums[j]){
                  //对cnt进行计算
                  if(dp[i]<dp[j]+1){ //最大值变化
                      dp[i]=dp[j]+1;
                      //重置cnt,到j结尾的最大子序列也可能有多个，所以不是重置到1
                      cnt[i]=cnt[j];

                  }else if(dp[i]==dp[j]+1){//最大值相同的多一个
                      //cnt+1
                      cnt[i]=cnt[i]+cnt[j];
                  }
              }
           }
            if(dp[i]>maxL){
                maxL=dp[i];
                res=cnt[i];
            }else if(dp[i]==maxL){
                res=res+cnt[i];
            }
        }
        return res;
    }
};