洛谷 P3205 [HNOI2010] 合唱队

思路

先设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 为区间 [ i , j ] [i, j] [i,j] 的队形方案数。

考虑如何转移：对于区间 [ i , j ] [i, j] [i,j] 来说，最后一个入队的要么是 i i i，要么是 j j j。

所以分类讨论：

1. 当 j j j 为最后一个入队的时， i i i 与 j − 1 j - 1 j−1 都可能是倒数第二个入队的。要满足的条件分别是 h [ i ] < h [ j ] h[i] < h[j] h[i]<h[j] 和 h [ j − 1 ] < h [ i ] h[j - 1] < h[i] h[j−1]<h[i]。
2. 当 i i i 为最后一个入队的时， j j j 与 i + 1 i + 1 i+1 都可能是倒数第二个入队的。要满足的条件分别是 h [ i ] < h [ j ] h[i] < h[j] h[i]<h[j] 和 h [ i ] < h [ i + 1 ] h[i] < h[i + 1] h[i]<h[i+1]。

发现上一个状态有两种，即：在上一个状态中，最后一个进来的数（也就是当前状态的倒数第二个进来的数）是在【队尾/队头】。

因此我们要丰富一下状态定义：设 d p [ i ] [ j ] [ 0 ] dp[i][j][0] dp[i][j][0] 表示最后一个进来的数在【队头】的方案数， d p [ i ] [ j ] [ 1 ] dp[i][j][1] dp[i][j][1] 表示最后一个进来的数在【队尾】的方案数。最后答案就是 d p [ 1 ] [ n ] [ 0 ] + d p [ 1 ] [ n ] [ 1 ] dp[1][n][0] + dp[1][n][1] dp[1][n][0]+dp[1][n][1]。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1e3 + 7;
const int mod  = 19650827;

int n, a[maxn];
int dp[maxn][maxn][2];
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	    scanf("%d", a + i), 
		dp[i][i][0] = 1;

	for (int len = 2; len <= n; ++len) {
		for (int i = 1; i + len - 1 <= n; ++i) {
			int j = i + len - 1;
			
			if (a[i] < a[j]) dp[i][j][1] = (dp[i][j][1] + dp[i][j - 1][0]) % mod;
			if (a[j - 1] < a[j]) dp[i][j][1] = (dp[i][j][1] + dp[i][j - 1][1]) % mod;
		    
		    if (a[i] < a[j]) dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + dp[i + 1][j][1]) % mod;
			if (a[i] < a[i + 1]) dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + dp[i + 1][j][0]) % mod;
		}
	}
	printf("%d\n", (dp[1][n][0] + dp[1][n][1]) % mod);
	return 0;
}