LeetCode 第367题：有效的完全平方数

题目描述

给定一个正整数 num，判断它是否是一个完全平方数。即是否存在一个整数 x，使得 x 2 = num x^2 = \text{num} x2=num。

解法思路

我们可以采用以下几种常见的方法来判断是否为完全平方数：

1. 二分查找法 ：通过二分查找找到一个整数 x，使得 x 2 = num x^2 = \text{num} x2=num，若找到了就返回 true。
2. 牛顿法：通过迭代方式逼近平方根。
3. 数学方法：不断减去奇数，直到剩下的数为零。

在这篇文章中，我们将使用 二分查找法 来实现解决方案，因为它具有较好的时间复杂度和简洁性。

二分查找法

由于 x 2 x^2 x2 是一个单调递增的函数，我们可以通过二分查找来找到 x，使得 x 2 = num x^2 = \text{num} x2=num。如果在查找过程中我们发现 x 2 = num x^2 = \text{num} x2=num，那么 num 就是完全平方数。如果没有找到，则 num 不是完全平方数。

C语言代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

/**
 * 判断一个数是否是完全平方数
 * @param num: 要判断的整数
 * @return: 如果 num 是完全平方数，则返回 true，否则返回 false
 */
bool isPerfectSquare(int num) {
    // 特殊情况：0 和 1 是完全平方数
    if (num == 0 || num == 1) {
        return true;
    }

    // 设置二分查找的左右边界
    int left = 1, right = num / 2;
    
    // 使用二分查找
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int mid_square = mid * mid;

        // 判断 mid 的平方是否等于 num
        if (mid_square == num) {
            return true;  // 如果找到了完全平方数，返回 true
        } 
        // 如果 mid 的平方小于 num，说明平方根在右半部分
        else if (mid_square < num) {
            left = mid + 1;
        } 
        // 如果 mid 的平方大于 num，说明平方根在左半部分
        else {
            right = mid - 1;
        }
    }

    // 如果没有找到完全平方数，返回 false
    return false;
}

int main() {
    // 测试用例
    int test_cases[] = {16, 14, 25, 30, 1, 0, 144};
    int num_tests = sizeof(test_cases) / sizeof(test_cases[0]);

    for (int i = 0; i < num_tests; i++) {
        int num = test_cases[i];
        if (isPerfectSquare(num)) {
            printf("%d is a perfect square.\n", num);
        } else {
            printf("%d is not a perfect square.\n", num);
        }
    }

    return 0;
}

逐行解释代码

isPerfectSquare 函数

bool isPerfectSquare(int num) {
    // 特殊情况：0 和 1 是完全平方数
    if (num == 0 || num == 1) {
        return true;
    }

• 这部分代码处理了特殊情况：0 和 1 都是完全平方数。因此如果 num 是 0 或 1，直接返回 true。

    // 设置二分查找的左右边界
    int left = 1, right = num / 2;

• 设置二分查找的边界：
  • 左边界 left = 1，因为 0 和 1 已经被单独处理过。
  • 右边界 right = num / 2，因为 num 的平方根最大值是 num / 2。例如，对于 num = 16，平方根最大值是 4。

    // 使用二分查找
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int mid_square = mid * mid;

• 进入二分查找循环，在每次循环中计算中间值 mid，并计算其平方 mid_square = mid * mid。
  • 使用 left + (right - left) / 2 来计算中间值，可以避免直接计算 (left + right) / 2 可能导致的溢出。

        // 判断 mid 的平方是否等于 num
        if (mid_square == num) {
            return true;  // 如果找到了完全平方数，返回 true
        } 

• 如果中间值 mid 的平方等于 num，那么 num 是完全平方数，直接返回 true。

        // 如果 mid 的平方小于 num，说明平方根在右半部分
        else if (mid_square < num) {
            left = mid + 1;
        } 
        // 如果 mid 的平方大于 num，说明平方根在左半部分
        else {
            right = mid - 1;
        }
    }

• 如果 mid_square 小于 num，说明平方根应该在右半部分，因此将 left 移动到 mid + 1。
• 如果 mid_square 大于 num，说明平方根应该在左半部分，因此将 right 移动到 mid - 1。

    // 如果没有找到完全平方数，返回 false
    return false;
}

• 如果在二分查找中没有找到平方根，则返回 false，说明 num 不是完全平方数。

main 函数

int main() {
    // 测试用例
    int test_cases[] = {16, 14, 25, 30, 1, 0, 144};
    int num_tests = sizeof(test_cases) / sizeof(test_cases[0]);

    for (int i = 0; i < num_tests; i++) {
        int num = test_cases[i];
        if (isPerfectSquare(num)) {
            printf("%d is a perfect square.\n", num);
        } else {
            printf("%d is not a perfect square.\n", num);
        }
    }

    return 0;
}

• 在 main 函数中，我们创建了多个测试用例，包括完美的平方数和非完美的平方数。
• 通过 isPerfectSquare 函数判断每个测试用例，并输出相应的结果。

复杂度分析

• 时间复杂度 ：二分查找的时间复杂度是 O(log n)，其中 n 是 num 的大小。每次我们将搜索范围缩小一半，直到找到目标。

• 空间复杂度 ：O(1)，仅使用了常数空间来保存 left, right, 和 mid 等变量。

输出示例

16 is a perfect square.
14 is not a perfect square.
25 is a perfect square.
30 is not a perfect square.
1 is a perfect square.
0 is a perfect square.
144 is a perfect square.

总结

通过二分查找法，我们能够高效地判断一个数是否是完全平方数。该方法时间复杂度为 O(log n)，适用于较大的整数输入。希望本篇文章能够帮助你掌握这道题目的解决方案！如果你有任何问题或改进意见，欢迎在评论区留言。