行列式性质定理讲义
一、行列式的基本性质
性质 1：行列互换
对于任意一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A，其行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 满足：
∣ A ∣ = ∣ A T ∣ |A| = |A^T| ∣A∣=∣AT∣
其中， A T A^T AT 是 A A A 的转置矩阵。
性质 2：行列式乘积
对于任意两个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A 和 B B B，有：
∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ |AB| = |A| \cdot |B| ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣
性质 3：行列式与数乘
对于任意一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A 和任意标量 α \alpha α，有：
∣ α A ∣ = α n ∣ A ∣ |\alpha A| = \alpha^n |A| ∣αA∣=αn∣A∣
性质 4：行列式线性性
对于任意一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A，如果将 A A A 的某一行（或列）表示为两个向量之和，则有：
∣ A ∣ = ∣ A 1 ∣ + ∣ A 2 ∣ |A| = |A_1| + |A_2| ∣A∣=∣A1∣+∣A2∣
其中， A 1 A_1 A1 和 A 2 A_2 A2 分别是由 A A A 的该行（或列）的两个向量分量构成的方阵，而剩下的元素与A相同。
二、行列式的拉普拉斯展开
代数余子式（Algebraic Complement）是行列式理论中的一个重要概念，它与矩阵中的一个元素及其所在的行和列有关。以下是代数余子式的数学定义：
对于一个给定的 n × n n \times n n×n 方阵 A = [ a i j ] A = [a_{ij}] A=[aij]，元素 a i j a_{ij} aij 的代数余子式记为 C i j C_{ij} Cij，定义为删除了第 i i i 行和第 j j j 列的方阵（即 a i j a_{ij} aij 所在的行和列）后剩下的 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1) \times (n-1) (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式，再乘以 ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} (−1)i+j。
用数学公式表示，代数余子式 C i j C_{ij} Cij 定义为：
C i j = ( − 1 ) i + j ⋅ det ( M i j ) C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \text{det}(M_{ij}) Cij=(−1)i+j⋅det(Mij)
其中， det ( M i j ) \text{det}(M_{ij}) det(Mij) 是由删除了 A A A 中第 i i i 行和第 j j j 列后得到的 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1) \times (n-1) (n−1)×(n−1) 子矩阵 M i j M_{ij} Mij 的行列式。
具体来说，如果 A A A 是以下形式的方阵：
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} A= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann
那么 a i j a_{ij} aij 的代数余子式 C i j C_{ij} Cij 是：
C i j = ( − 1 ) i + j ⋅ ∣ a 11 ⋯ a 1 , j − 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ a 2 , j − 1 a 2 , j + 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j + 1 ⋯ a i − 1 , n a i + 1 , 1 ⋯ a i + 1 , j − 1 a i + 1 , j + 1 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , j − 1 a n , j + 1 ⋯ a n n ∣ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} Cij=(−1)i+j⋅ a11a21⋮ai−1,1ai+1,1⋮an1⋯⋯⋱⋯⋯⋱⋯a1,j−1a2,j−1⋮ai−1,j−1ai+1,j−1⋮an,j−1a1,j+1a2,j+1⋮ai−1,j+1ai+1,j+1⋮an,j+1⋯⋯⋱⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ai−1,nai+1,n⋮ann
代数余子式在行列式的计算和矩阵的理论研究中扮演着重要角色，尤其是在使用拉普拉斯展开定理计算行列式时。
定理 1：拉普拉斯展开
对于任意一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A，选择任意一行（或列），如第 i i i 行，行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 可以按照该行展开为：
∣ A ∣ = ( − 1 ) i + 1 a i 1 C i 1 + ( − 1 ) i + 2 a i 2 C i 2 + a i 3 C i 3 + ⋯ + ( − 1 ) i + n a i n C i n |A| =(-1)^{i+1}a_{i1}C_{i1} +(-1)^{i+2} a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} +\cdots + (-1)^{i+n}a_{in}C_{in} ∣A∣=(−1)i+1ai1Ci1+(−1)i+2ai2Ci2+ai3Ci3+⋯+(−1)i+nainCin
其中， C i j C_{ij} Cij 是元素 a i j a_{ij} aij 的代数余子式。
三、行列式的特殊性质
定理 2：行列式为零的充分必要条件
一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A 的行列式为零的充分必要条件是 A A A 的秩小于 n n n。
定理 3：方阵可逆的充分必要条件
一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A 可逆的充分必要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0。
定理 4：克莱姆法则
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一个使用行列式来解线性方程组的方法。克拉默法则适用于具有相同数量的方程和未知数的线性方程组，并且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则的数学表述
设有以下线性方程组：
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn
其中， x 1 , x 2 , ... , x n x_1, x_2, \ldots, x_n x1,x2,...,xn 是未知数， a i j a_{ij} aij 是系数， b 1 , b 2 , ... , b n b_1, b_2, \ldots, b_n b1,b2,...,bn 是常数项。
如果系数矩阵 A = [ a i j ] A = [a_{ij}] A=[aij] 的行列式 det ( A ) ≠ 0 \text{det}(A) \neq 0 det(A)=0，则方程组有唯一解，并且每个未知数 x i x_i xi 可以用以下公式计算：
x i = det ( A i ) det ( A ) x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)} xi=det(A)det(Ai)
其中， A i A_i Ai 是将系数矩阵 A A A 中第 i i i 列替换为常数项向量 [ b 1 , b 2 , ... , b n ] T [b_1, b_2, \ldots, b_n]^T [b1,b2,...,bn]T 后得到的矩阵。
克拉默法则的步骤
- 计算系数矩阵 A A A 的行列式 det ( A ) \text{det}(A) det(A)。
- 对于每个未知数 x i x_i xi，构造矩阵 A i A_i Ai，即将 A A A 的第 i i i 列替换为常数项向量。
- 计算矩阵 A i A_i Ai 的行列式 det ( A i ) \text{det}(A_i) det(Ai)。
- 使用公式 x i = det ( A i ) det ( A ) x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)} xi=det(A)det(Ai) 计算每个未知数 x i x_i xi。
示例
考虑以下线性方程组：
2 x + y = 5 − x + 3 y = 2 2x + y = 5 \\ -x + 3y = 2 2x+y=5−x+3y=2
我们可以使用克拉默法则来解这个方程组。
- 系数矩阵 A A A 和常数项向量 B B B：
A = [ 2 1 − 1 3 ] , B = [ 5 2 ] A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} A=[2−113],B=[52] - 计算系数矩阵的行列式 det ( A ) \text{det}(A) det(A)：
det ( A ) = 2 ⋅ 3 − ( − 1 ) ⋅ 1 = 6 + 1 = 7 \text{det}(A) = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7 det(A)=2⋅3−(−1)⋅1=6+1=7 - 构造矩阵 A 1 A_1 A1 和 A 2 A_2 A2：
A 1 = [ 5 1 2 3 ] , A 2 = [ 2 5 − 1 2 ] A_1 = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} A1=[5213],A2=[2−152] - 计算行列式 det ( A 1 ) \text{det}(A_1) det(A1) 和 det ( A 2 ) \text{det}(A_2) det(A2)：
det ( A 1 ) = 5 ⋅ 3 − 2 ⋅ 1 = 15 − 2 = 13 det ( A 2 ) = 2 ⋅ 2 − ( − 1 ) ⋅ 5 = 4 + 5 = 9 \text{det}(A_1) = 5 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 15 - 2 = 13 \\ \text{det}(A_2) = 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 5 = 4 + 5 = 9 det(A1)=5⋅3−2⋅1=15−2=13det(A2)=2⋅2−(−1)⋅5=4+5=9 - 使用克拉默法则计算 x x x 和 y y y：
x = det ( A 1 ) det ( A ) = 13 7 y = det ( A 2 ) det ( A ) = 9 7 x = \frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)} = \frac{13}{7} \\ y = \frac{\text{det}(A_2)}{\text{det}(A)} = \frac{9}{7} x=det(A)det(A1)=713y=det(A)det(A2)=79
因此，方程组的解为 x = 13 7 x = \frac{13}{7} x=713 和 y = 9 7 y = \frac{9}{7} y=79。
注意事项
克拉默法则虽然提供了一个解线性方程组的直接方法，但它并不总是最有效的方法，尤其是当方程组的未知数较多时，计算行列式会变得非常复杂。此外，如果系数矩阵的行列式为零，则克拉默法则不适用，此时方程组可能无解或有无限多解。