线性代数 - 叉积的分量形式与矩阵形式
flyfish
单位基向量与 向量的分解
1. 三维坐标系与单位基向量
图中蓝色的x轴 、红色的y轴 、绿色的z轴 构成了一个右手系三维笛卡尔坐标系（符合"右手定则"的空间定向）。
在这个坐标系中，有三个单位基向量 ：
i^\hat{i}i^（蓝色箭头）：沿x轴方向的单位向量；
j^\hat{j}j^（红色箭头）：沿y轴方向的单位向量；
k^\hat{k}k^（绿色箭头）：沿z轴方向的单位向量。
这三个基向量两两垂直（夹角为90∘90^\circ90∘）
2. 向量a⃗\vec{a}a 的分量分解
黑色箭头表示的向量a⃗\vec{a}a 可以分解为三个基向量方向上的分量 ：
axa_xax（灰色x方向箭头）：a⃗\vec{a}a 在x轴（i^\hat{i}i^方向）上的分量；
aya_yay（灰色y方向箭头）：a⃗\vec{a}a 在y轴（j^\hat{j}j^方向）上的分量；
aza_zaz（灰色z方向箭头）：a⃗\vec{a}a 在z轴（k^\hat{k}k^方向）上的分量。
从代数上，向量a⃗\vec{a}a 可以表示为这三个分量与对应基向量的线性组合，类似三维空间里一个点需要用三个数来表示：
a⃗=axi^+ayj^+azk^ \vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k} a =axi^+ayj^+azk^
叉积的分量形式
步骤1：明确基向量的叉积规则
三维空间的单位基向量 i^\hat{i}i^（x轴）、j^\hat{j}j^（y轴）、k^\hat{k}k^（z轴）仍满足以下性质：
- 自身叉乘为零：i^×i^=j^×j^=k^×k^=0\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0i^×i^=j^×j^=k^×k^=0；
- 循环正方向（右手定则）：i^×j^=k^\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}i^×j^=k^，j^×k^=i^\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}j^×k^=i^，k^×i^=j^\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}k^×i^=j^；
- 交换顺序变号：j^×i^=−k^\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}j^×i^=−k^，k^×j^=−i^\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}k^×j^=−i^，i^×k^=−j^\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}i^×k^=−j^。
步骤2：将向量 a⃗\vec{a}a 和 b⃗\vec{b}b 用基向量展开
设小写向量 a⃗\vec{a}a 沿x、y、z轴的分量为 ax,ay,aza_x, a_y, a_zax,ay,az，b⃗\vec{b}b 的分量为 bx,by,bzb_x, b_y, b_zbx,by,bz，则：
a⃗=axi^+ayj^+azk^,b⃗=bxi^+byj^+bzk^ \vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}, \quad \vec{b} = b_x\hat{i} + b_y\hat{j} + b_z\hat{k} a =axi^+ayj^+azk^,b =bxi^+byj^+bzk^
步骤3：利用叉积的分配律展开 a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}a ×b
按分配律将两个向量的基向量形式逐项叉乘（共9项）：
a⃗×b⃗=(axi^+ayj^+azk^)×(bxi^+byj^+bzk^)=axi^×bxi^+axi^×byj^+axi^×bzk^+ayj^×bxi^+ayj^×byj^+ayj^×bzk^+azk^×bxi^+azk^×byj^+azk^×bzk^. \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= (a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}) \times (b_x\hat{i} + b_y\hat{j} + b_z\hat{k}) \\ &= a_x\hat{i} \times b_x\hat{i} + a_x\hat{i} \times b_y\hat{j} + a_x\hat{i} \times b_z\hat{k} \\ &\quad + a_y\hat{j} \times b_x\hat{i} + a_y\hat{j} \times b_y\hat{j} + a_y\hat{j} \times b_z\hat{k} \\ &\quad + a_z\hat{k} \times b_x\hat{i} + a_z\hat{k} \times b_y\hat{j} + a_z\hat{k} \times b_z\hat{k}. \end{align*} a ×b =(axi^+ayj^+azk^)×(bxi^+byj^+bzk^)=axi^×bxi^+axi^×byj^+axi^×bzk^+ayj^×bxi^+ayj^×byj^+ayj^×bzk^+azk^×bxi^+azk^×byj^+azk^×bzk^.
步骤4：利用基向量规则化简每一项
对9项分别应用步骤1的规则，消去零项并整理符号：
- axbxi^×i^=0a_xb_x\hat{i} \times \hat{i} = 0axbxi^×i^=0（自身叉乘为零）；
- axbyi^×j^=axby⋅k^a_xb_y\hat{i} \times \hat{j} = a_xb_y \cdot \hat{k}axbyi^×j^=axby⋅k^（循环正方向）；
- axbzi^×k^=axbz⋅(−j^)a_xb_z\hat{i} \times \hat{k} = a_xb_z \cdot (-\hat{j})axbzi^×k^=axbz⋅(−j^)（交换顺序变号）；
- aybxj^×i^=aybx⋅(−k^)a_yb_x\hat{j} \times \hat{i} = a_yb_x \cdot (-\hat{k})aybxj^×i^=aybx⋅(−k^)（交换顺序变号）；
- aybyj^×j^=0a_yb_y\hat{j} \times \hat{j} = 0aybyj^×j^=0（自身叉乘为零）；
- aybzj^×k^=aybz⋅i^a_yb_z\hat{j} \times \hat{k} = a_yb_z \cdot \hat{i}aybzj^×k^=aybz⋅i^（循环正方向）；
- azbxk^×i^=azbx⋅j^a_zb_x\hat{k} \times \hat{i} = a_zb_x \cdot \hat{j}azbxk^×i^=azbx⋅j^（循环正方向）；
- azbyk^×j^=azby⋅(−i^)a_zb_y\hat{k} \times \hat{j} = a_zb_y \cdot (-\hat{i})azbyk^×j^=azby⋅(−i^)（交换顺序变号）；
- azbzk^×k^=0a_zb_z\hat{k} \times \hat{k} = 0azbzk^×k^=0（自身叉乘为零）。
步骤5：合并同类基向量的项
按 i^\hat{i}i^（x轴）、j^\hat{j}j^（y轴）、k^\hat{k}k^（z轴）分类，合并同一方向的非零项：
- i^\hat{i}i^ 方向：项6 + 项8 = aybzi^−azbyi^=(aybz−azby)i^a_yb_z\hat{i} - a_zb_y\hat{i} = (a_yb_z - a_zb_y)\hat{i}aybzi^−azbyi^=(aybz−azby)i^；
- j^\hat{j}j^ 方向：项3 + 项7 = −axbzj^+azbxj^=(azbx−axbz)j^-a_xb_z\hat{j} + a_zb_x\hat{j} = (a_zb_x - a_xb_z)\hat{j}−axbzj^+azbxj^=(azbx−axbz)j^；
- k^\hat{k}k^ 方向：项2 + 项4 = axbyk^−aybxk^=(axby−aybx)k^a_xb_y\hat{k} - a_yb_x\hat{k} = (a_xb_y - a_yb_x)\hat{k}axbyk^−aybxk^=(axby−aybx)k^。
最终结果
a⃗×b⃗=(aybz−azby)i^+(azbx−axbz)j^+(axby−aybx)k^ \vec{a} \times \vec{b} = \boxed{(a_yb_z - a_zb_y)\hat{i} + (a_zb_x - a_xb_z)\hat{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\hat{k}} a ×b =(aybz−azby)i^+(azbx−axbz)j^+(axby−aybx)k^
叉积的矩阵形式（三阶行列式）
叉积 a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}a ×b 最标准的矩阵表示的是 以基向量为第一行、a⃗\vec{a}a 分量为第二行、b⃗\vec{b}b 分量为第三行的三阶行列式 ，矩阵结构与图中坐标系（i^\hat{i}i^-x轴、j^\hat{j}j^-y轴、k^\hat{k}k^-z轴）完全对应：
a⃗×b⃗=∣i^j^k^axayazbxbybz∣ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} a ×b = i^axbxj^aybyk^azbz
矩阵中各元素的含义：
第一行：i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}i^,j^,k^（x、y、z轴的单位基向量，蓝色、红色、绿色箭头）；
第二行：ax,ay,aza_x, a_y, a_zax,ay,az（向量 a⃗\vec{a}a 沿x、y、z轴的分量）；
第三行：bx,by,bzb_x, b_y, b_zbx,by,bz（向量 b⃗\vec{b}b 沿x、y、z轴的分量）。
矩阵（行列式）展开与分量形式的关联
这个三阶行列式按 第一行（基向量行）展开 ，就得到之前叉积分量形式，衔接矩阵运算与代数表达式：
∣i^j^k^axayazbxbybz∣=i^⋅∣ayazbybz∣−j^⋅∣axazbxbz∣+k^⋅∣axaybxby∣ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \hat{i} \cdot \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} - \hat{j} \cdot \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} + \hat{k} \cdot \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} i^axbxj^aybyk^azbz =i^⋅ aybyazbz −j^⋅ axbxazbz +k^⋅ axbxayby
再计算每个二阶行列式（主对角线减副对角线）：
∣ayazbybz∣=aybz−azby\begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} = a_y b_z - a_z b_y aybyazbz =aybz−azby（i^\hat{i}i^ 方向分量）；
∣axazbxbz∣=axbz−azbx\begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} = a_x b_z - a_z b_x axbxazbz =axbz−azbx（乘以负号后为 j^\hat{j}j^ 方向分量）；
∣axaybxby∣=axby−aybx\begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} = a_x b_y - a_y b_x axbxayby =axby−aybx（k^\hat{k}k^ 方向分量）。
最终结果和之前一致，矩阵形式是叉积的"紧凑表达"，展开后就是具体分量：
a⃗×b⃗=(aybz−azby)i^+(azbx−axbz)j^+(axby−aybx)k^ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\hat{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} a ×b =(aybz−azby)i^+(azbx−axbz)j^+(axby−aybx)k^