LeetCode | 从树到图：深度剖析数据结构与算法的核心精髓

在 LeetCode 的算法题中，树与图是两类不可或缺的重要数据结构。无论是探索二叉树的深度，还是解决复杂的最短路径问题，树与图的应用无处不在。它们不仅是计算机科学的基石，也是提升算法能力的关键。

1.理论

1.1.树与图的基础概念

1.1.1.树 (Tree)

是一种特殊的图，是无环、连通的图，常见类型有二叉树、二叉搜索树 (BST)、完全二叉树等。

特点：节点之间有父子关系；每个节点最多只有一个父节点，根节点没有父节点；边的数量 = 节点数量 - 1。

1.1.2.图 (Graph)

图是由节点 (Vertices) 和边 (Edges) 组成的结构，可以是有向图或无向图，带权图或无权图。

特点：可包含环 (Cycle)；节点可以没有父子关系；常用的表示方法有邻接矩阵 和邻接表。

1.2.常见问题分类

1.2.1.树的经典问题

二叉树遍历

前序遍历 (Preorder): 根 - 左 - 右
中序遍历 (Inorder): 左 - 根 - 右
后序遍历 (Postorder): 左 - 右 - 根
层序遍历 (Level Order Traversal): 一层一层从上到下遍历。

树的构建

根据前序和中序遍历序列构建二叉树。
根据中序和后序遍历序列构建二叉树。

树的属性

最大深度、最小深度。
是否平衡二叉树。
二叉搜索树的验证。

树的修改与路径

最近公共祖先 (LCA)。
求根到叶子的路径和。
二叉树的直径问题。

1.2.2.图的经典问题

图的遍历：深度优先搜索 (DFS)和广度优先搜索 (BFS)

最短路径问题

Dijkstra 算法：单源最短路径，适用于带权图。
Bellman-Ford 算法：适用于带权图，允许负权边。
Floyd-Warshall 算法：多源最短路径。

连通性问题

判断连通分量的个数。
判断图是否是二分图。

拓扑排序

Kahn 算法。
基于 DFS 的拓扑排序。

最小生成树 (MST)

Prim 算法：基于贪心。
Kruskal 算法：基于边的排序和并查集。

网络流问题：最大流：Edmonds-Karp 算法，Ford-Fulkerson 算法。

1.3.关键算法模板

1.3.1.DFS 模板

python 复制代码

def dfs(node, visited):
    if node in visited:
        return
    visited.add(node)
    for neighbor in graph[node]:
        dfs(neighbor, visited)

1.3.2.BFS 模板

python 复制代码

from collections import deque

def bfs(start):
    queue = deque([start])
    visited = set()
    visited.add(start)

    while queue:
        node = queue.popleft()
        for neighbor in graph[node]:
            if neighbor not in visited:
                visited.add(neighbor)
                queue.append(neighbor)

1.3.3.二叉树递归遍历模板

python 复制代码

def inorder_traversal(root):
    if not root:
        return []
    return inorder_traversal(root.left) + [root.val] + inorder_traversal(root.right)

2.真题

2.1.树相关

2.1.1.简单(Easy)

【Leetcode 94】二叉树的中序遍历

给定二叉树的，返回其节点值的中序遍历。

如果以空间复杂度优先：Morris 遍历 是最优解，空间复杂度仅为 O(1)。

如果以易读性优先：递归解法更清晰简单，适合初学者。

如果需要平衡效率和易读性：迭代解法是最常用的方法。

递归解法

python 复制代码

# 中序遍历的顺序是：左子树 → 根节点 → 右子树。

def inorderTraversal(root):

    def dfs(node):

        if not node:

            return []   #如果当前节点是 None（即递归到达叶子节点的子节点），返回空列表

        return dfs(node.left)+[node.val]+dfs(node.right) #拼接结果

    return dfs(root) 

#时间复杂度：O(n);空间复杂度：O(n)（递归调用栈）

【Leetcode 104】二叉树的最大深度

2.1.2.中等(Medium)

【Leetcode 94】二叉树的中序遍历

2.2.图相关

2.2.2.中等(Medium)

【Leetcode 200】岛屿的数量

【Leetcode236】课程表

【Leetcode236】网络延迟时间

参考文献

【1】 Trees vs. Graphs - Open4Tech