1. 泰勒多项式的定义
对于一个在 x = a x = a x=a 处可导的函数 f ( x ) f(x) f(x)，它的泰勒多项式可以表示为：
T n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n Tn(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n
其中：
- T n ( x ) T_n(x) Tn(x)：泰勒多项式，表示函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = a x = a x=a 附近的多项式近似。
- f ( a ) f(a) f(a)：函数在点 a a a 处的值。
- f ′ ( a ) , f ′ ′ ( a ) , ... , f ( n ) ( a ) f'(a), f''(a), \dots, f^{(n)}(a) f′(a),f′′(a),...,f(n)(a)：函数在 a a a 处的各阶导数。
- n ! n! n!：阶乘，表示 n n n 的阶乘。
- x − a x - a x−a： x x x 偏离点 a a a 的距离。
2. 几何解释
泰勒多项式给出了函数在 x = a x = a x=a 附近的局部逼近。其几何意义可以分解为：
- f ( a ) f(a) f(a) ：常数项，表示函数在 x = a x = a x=a 处的值。
- f ′ ( a ) ( x − a ) f'(a)(x - a) f′(a)(x−a) ：线性项，表示函数在 x = a x = a x=a 附近的变化率，即切线的斜率。
- f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 2!f′′(a)(x−a)2 ：二次项，表示函数在 x = a x = a x=a 附近的弯曲程度（曲率）。
- 更高阶项进一步描述函数更复杂的局部变化。
3. 泰勒多项式的阶数
泰勒多项式可以截断在不同的阶数上，根据需要逼近的精度，决定使用多少阶项。阶数越高，近似越精确。
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零阶泰勒多项式（常数函数）：
T 0 ( x ) = f ( a ) T_0(x) = f(a) T0(x)=f(a)
它只考虑了函数在 x = a x = a x=a 处的函数值，没有考虑任何变化。
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一阶泰勒多项式（线性逼近）：
T 1 ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) T_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a) T1(x)=f(a)+f′(a)(x−a)
它将函数在 x = a x = a x=a 处用一条切线来近似，体现了函数的变化率。
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二阶泰勒多项式（抛物线逼近）：
T 2 ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 T_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 T2(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2
它在一阶近似的基础上，增加了二阶导数，描述了函数的弯曲。
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n阶泰勒多项式：
T n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n Tn(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n
随着阶数增加，多项式会越来越精确地描述函数在 x = a x = a x=a 附近的行为。
4. 泰勒级数
当 n → ∞ n \to \infty n→∞ 时，泰勒多项式的极限称为泰勒级数：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n f(x)=n=0∑∞n!f(n)(a)(x−a)n
如果这个级数在某个区间内收敛且等于 f ( x ) f(x) f(x)，那么该级数就是函数 f ( x ) f(x) f(x) 的泰勒级数。
- 如果级数是在 a = 0 a = 0 a=0 处展开，则称为 麦克劳林级数：
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ... f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+...
5. 利用综合除法辅助理解泰勒多项式
利用综合除法证明泰勒多项式的过程，实际上是通过将多项式函数 f ( x ) f(x) f(x) 分解为 x − a x - a x−a 的幂次项，并与泰勒多项式的形式相对应。具体来说，综合除法可以帮助我们分解函数，从而逐步得到每一个阶导数及其对应的系数。
假设我们要将某个多项式 f ( x ) f(x) f(x) 按 ( x − a ) (x - a) (x−a) 展开成泰勒多项式。我们知道：
- 多项式在 x = a x = a x=a 处的值是 f ( a ) f(a) f(a)。
- 通过对 f ( x ) f(x) f(x) 进行除法操作，我们可以得到多项式被 ( x − a ) (x - a) (x−a) 除后留下的余数。
使用综合除法时，我们可以得到：
- 商是多项式的低阶项。
- 余数则可以看作是高阶余项的一部分。
如果综合除法得到的余数为零，则表示 f ( x ) f(x) f(x) 在 a a a 处是可以被 ( x − a ) (x - a) (x−a) 完全整除的，意味着多项式在该点没有更多的非零高阶项。由此，可以结合这些低阶项推导出泰勒多项式中的部分项。
假设我们要将某个多项式 f ( x ) f(x) f(x) 按 ( x − a ) (x - a) (x−a) 展开为泰勒多项式，过程如下：
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多项式的基本形式
假设我们有一个多项式函数 f ( x ) = x n + c n − 1 x n − 1 + ⋯ + c 1 x + c 0 f(x) = x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0 f(x)=xn+cn−1xn−1+⋯+c1x+c0，我们需要求它在 x = a x = a x=a 处的泰勒展开式。
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综合除法的应用
综合除法是一种快速计算多项式除以一次因式 ( x − a ) (x - a) (x−a) 的方法。通过综合除法，可以逐步计算每一阶导数的系数。
例子： f ( x ) = x 3 f(x) = x^3 f(x)=x3 在 x = a x = a x=a 处
- 列出多项式的系数：[1, 0, 0, 0]（表示 x 3 x^3 x3）。
- 使用综合除法将其除以 ( x − a ) (x - a) (x−a)：
bash1 0 0 0 |_a_ a a^2 a^3 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 a a^2 |a^3 a 2a^2 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 2a |3a^2 a 1 |3a通过此过程，我们得到的泰勒多项式为：
f ( x ) = a 3 + 3 a 2 ( x − a ) + 3 a ( x − a ) 2 + ( x − a ) 3 f(x) = a^3 + 3a^2(x - a) + 3a(x - a)^2 + (x - a)^3 f(x)=a3+3a2(x−a)+3a(x−a)2+(x−a)3
其中：
- a 3 a^3 a3 是 f ( a ) f(a) f(a) 的值。
- 3 a 2 ( x − a ) 3a^2(x - a) 3a2(x−a) 是 f ′ ( a ) ( x − a ) f'(a)(x - a) f′(a)(x−a)，即函数的导数与 ( x − a ) (x - a) (x−a) 的乘积。
- 3 a ( x − a ) 2 3a(x - a)^2 3a(x−a)2 是二阶导数的项 f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 2!f′′(a)(x−a)2。
- ( x − a ) 3 (x - a)^3 (x−a)3 对应的是三阶导数的项。
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一般情况：任意多项式的综合除法与泰勒多项式
对于任意多项式 f ( x ) = x n + c n − 1 x n − 1 + ⋯ + c 1 x + c 0 f(x) = x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \dots + c_1x + c_0 f(x)=xn+cn−1xn−1+⋯+c1x+c0，我们可以通过综合除法逐项分解为 ( x − a ) (x - a) (x−a) 的幂次项，从而得出每一阶导数的系数。
- 综合除法的商项的第一个系数对应 f ′ ( a ) f'(a) f′(a)；
- 第二个系数对应 f ′ ′ ( a ) 2 ! \frac{f''(a)}{2!} 2!f′′(a)；
- 第三个系数对应 f ( 3 ) ( a ) 3 ! \frac{f^{(3)}(a)}{3!} 3!f(3)(a)；
- 以此类推。
通过综合除法，我们可以逐步得到泰勒多项式的各阶导数系数，从而证明泰勒多项式的正确性。