树是数据结构中一种重要的非线性结构，广泛应用于计算机科学的各个领域，例如文件系统、数据库索引、编译器等。理解树的各种性质，如结点数、度、高度等，对于解决实际问题至关重要。
本文将会探讨树的基本概念，以及给出几个王道考研例题和常见公式，不对树的数据结构做出过多原理解释
1. 树的基本概念
- 结点 (Node)： 树中的每个元素称为结点。结点包含数据和指向子结点的指针。
- 边 (Edge)： 连接两个结点的线称为边。
- 根结点 (Root)： 树的顶端结点，没有父结点。
- 父结点 (Parent)： 若一个结点包含指向另一个结点的指针，则称前者为后者的父结点。
- 子结点 (Child)： 若一个结点被另一个结点指向，则称前者为后者的子结点。
- 兄弟结点 (Sibling)： 拥有同一个父结点的结点互称为兄弟结点。
- 叶结点 (Leaf)： 没有子结点的结点称为叶结点。
- 度 (Degree)： 一个结点的子结点个数称为该结点的度。
- 树的度 (Degree of a Tree)： 树中所有结点的度的最大值称为树的度。
- 路径 (Path)： 从一个结点到另一个结点所经过的结点序列称为路径。
- 路径长度 (Path Length)： 路径上边的数量。
- 层 (Level)： 根结点为第 1 层，其子结点为第 2 层，以此类推。
- 高度 (Height)： 从根结点到最远叶子结点的最长路径上的结点数（或边的数量加 1）。
- 深度 (Depth)： 从根结点到该结点的路径长度加 1。
2. 树的重要性质和公式
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结点数与度数的关系： 设 n n n 为树的结点总数， n i n_i ni 表示度为 i i i 的结点个数，则有：
n = ∑ i = 0 m n i n = \sum_{i=0}^{m} n_i n=i=0∑mni
其中 m m m 是树的度。同时，根据每个结点（除根结点外）都恰好有一个父结点，可以得到：
n = ∑ i = 0 m i ⋅ n i + 1 n = \sum_{i=0}^{m} i \cdot n_i + 1 n=i=0∑mi⋅ni+1
这个公式非常重要，在很多题目中都会用到。
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第 i i i 层最多结点数： 度为 m m m 的树中，第 i i i 层上至多有 m i − 1 m^{i-1} mi−1 个结点 ( i ≥ 1 i \ge 1 i≥1)。这个性质可以通过数学归纳法证明。
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高度为 h h h 的 m m m 叉树最多结点数： 高度为 h h h 的 m m m 叉树至多有 m h − 1 m − 1 \frac{m^h - 1}{m - 1} m−1mh−1 个结点。当每一层的结点数都达到最大值时，总结点数达到最大。这个公式可以通过等比数列求和公式推导得出：
1 + m + m 2 + ⋯ + m h − 1 = m h − 1 m − 1 1 + m + m^2 + \cdots + m^{h-1} = \frac{m^h - 1}{m - 1} 1+m+m2+⋯+mh−1=m−1mh−1
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n n n 个结点的 m m m 叉树最小高度： 度为 m m m、具有 n n n 个结点的树的最小高度 h h h 为 ⌈ log m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \lceil \log_m(n(m-1) + 1) \rceil ⌈logm(n(m−1)+1)⌉，其中 ⌈ x ⌉ \lceil x \rceil ⌈x⌉ 表示向上取整。为了使高度最小，应尽可能使每一层的结点数都达到最大值，即形成完全 m m m 叉树。
推导过程如下：假设前 h − 1 h-1 h−1 层都是满的，则前 h − 1 h-1 h−1 层的结点数为 m h − 1 − 1 m − 1 \frac{m^{h-1} - 1}{m - 1} m−1mh−1−1。加上第 h h h 层的结点，总结点数 n n n 满足：
m h − 1 − 1 m − 1 < n ≤ m h − 1 m − 1 \frac{m^{h-1} - 1}{m - 1} < n \le \frac{m^h - 1}{m - 1} m−1mh−1−1<n≤m−1mh−1
化简不等式，可得最小高度 h h h。
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n n n 个结点的 m m m 叉树最大高度： 度为 m m m、具有 n n n 个结点的树的最大高度 h h h 为 n − m + 1 n - m + 1 n−m+1。为了使高度最大，应尽可能使除少数结点外，其他结点都只有一个子结点，形成"链状"结构。
3. 例题实战
例题 04： 对于一棵具有 n n n 个结点、度为 4 的树来说，()。
A. 树的高度至多是 n − 3 n-3 n−3
B. 树的高度至多是 n − 4 n-4 n−4
C. 第 i i i 层上至多有 4 ( i − 1 ) 4(i-1) 4(i−1) 个结点
D. 至少在某一层上正好有 4 个结点
解析： 根据性质 5，度为 4 的树，其最大高度为 n − 4 + 1 = n − 3 n - 4 + 1 = n - 3 n−4+1=n−3，故 A 正确。C 选项根据性质 2，第 i i i 层最多有 4 i − 1 4^{i-1} 4i−1 个结点，而不是 4 ( i − 1 ) 4(i-1) 4(i−1) 个。D 不一定成立，例如只有根结点和四个子结点的树，只有一层有 4 个结点。
答案： A
例题 05： 度为 4、高度为 h h h 的树，()。
A. 至少有 h + 3 h+3 h+3 个结点
B. 至多有 4 h − 1 4h-1 4h−1 个结点
C. 至少有 4 h 4h 4h 个结点
D. 至多有 h + 4 h + 4 h+4 个结点
解析： 根据性质 5 的逆推，高度为 h h h、度为 m m m 的树至少有 h + m − 1 h + m - 1 h+m−1 个结点，所以度为 4、高度为 h h h 的树至少有 h + 4 − 1 = h + 3 h + 4 - 1 = h + 3 h+4−1=h+3 个结点，故 A 正确。
答案： A
例题 06： 假定一棵度为 3 的树中，结点数为 50，则其最小高度为 ()。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
解析： 根据性质 4，最小高度 h = ⌈ log 3 ( 50 ( 3 − 1 ) + 1 ) ⌉ = ⌈ log 3 ( 101 ) ⌉ h = \lceil \log_3(50(3-1) + 1) \rceil = \lceil \log_3(101) \rceil h=⌈log3(50(3−1)+1)⌉=⌈log3(101)⌉。因为 3 4 = 81 3^4 = 81 34=81， 3 5 = 243 3^5 = 243 35=243，所以 log 3 ( 101 ) \log_3(101) log3(101) 介于 4 和 5 之间，向上取整为 5。
答案： C
例题 07： 若森林 F F F 有 15 条边、25 个结点，则 F F F 包含树的个数是（ ）。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
解答：
森林的性质：对于一片森林，树的个数 t = n − e t=n−e t=n−e，其中 n n n 是结点数， e e e 是边数。
代入数据：
t = 25 − 15 = 10 t=25−15=10 t=25−15=10
因此，森林 FF 包含 10 棵树。
答案： C
例题8： 设呀一颗 m m m 叉树中有 N 1 N_1 N1 个度数为 1 1 1 的节点， N 2 N_2 N2 个度数为 2 2 2 的节点 . . . ... ... N m N_m Nm 个度数为 m m m 的节点，则该树中共有( )个叶子节点
A. ∑ i = 1 m ( i − 1 ) N i \sum_{i=1}^m(i-1) N_i ∑i=1m(i−1)Ni
B. ∑ i = 1 m N i \sum_{i=1}^m N_i ∑i=1mNi
C. ∑ i = 2 m ( i − 1 ) N i \sum_{i=2}^m(i-1) N_i ∑i=2m(i−1)Ni
D. ∑ i = 2 m ( i − 1 ) N i + 1 \sum_{i=2}^m(i-1) N_i+1 ∑i=2m(i−1)Ni+1
**答案：**D
解答：
在一颗 m m m 叉树中，除了叶节点之外，每个节点都有一个父节点，因此我们可以利用下面两个等式：
- 总节点数 = 叶子节点 + 非叶子节点
- 总节点数 = 总度数 + 1 -> 总度数 = 总节点数 - 1
所以，我们假设总节点数为 N N N，叶子节点数为 N 0 N_0 N0，则
- 总结点数 N = N 0 + N 1 + N 2 + . . . + N m N = N_0 + N_1 + N_2 + ... + Nm N=N0+N1+N2+...+Nm
- 总度数 = 1 ∗ N 1 + 2 ∗ N 2 + . . . + m ∗ N M 1 * N_1 + 2 * N_2 + ... + m * N_M 1∗N1+2∗N2+...+m∗NM
联立等式
N 0 + N 1 + N 2 + . . . + N m − 1 = 1 ∗ N 1 + 2 ∗ N 2 + 3 ∗ N 3 + . . . + m ∗ N M N_0 + N_1 + N_2 + ... + Nm - 1 = 1 * N_1 + 2 * N_2 + 3 * N_3 + ... + m * N_M N0+N1+N2+...+Nm−1=1∗N1+2∗N2+3∗N3+...+m∗NM
可解的
N 0 = 1 ∗ N 2 + . . . + ( m − 1 ) ∗ N m + 1 N_0 = 1 * N_2 + ... + (m - 1) * N_m + 1 N0=1∗N2+...+(m−1)∗Nm+1
N 0 = ∑ m = 2 m ( m − 1 ) N m + 1 N_0 = \sum_{m=2}^m(m - 1)N_m + 1 N0=∑m=2m(m−1)Nm+1
例题9： 【2010 统考真题】在一棵度为 4 的树 T T T 中，若有 20 个度为 4 的结点， 10 个度为 3 的结点， 1 个度为 2 的结点， 10 个度为 1 的结点，则树 T T T 的叶结点个数是（ ）。
A． 41
B． 82
C． 113
D． 122
答案： B
解答：
这个问题是问题 08 的一个具体应用。已知了每个度数的结点数量，我们可以直接套用问题 08 中推导出的公式。
根据问题 08 的公式：
N 0 = ∑ i = 2 m ( i − 1 ) N i + 1 N_0=\sum_{i=2}^m(i-1) N_i+1 N0=i=2∑m(i−1)Ni+1
在问题 09 中， m = 4 , N 1 = 10 , N 2 = 1 , N 3 = 10 , N 4 = 20 m=4, ~ N_1=10, N_2=1, N_3=10, N_4=20 m=4, N1=10,N2=1,N3=10,N4=20 。将这些直代入公式：
N 0 = ( 2 − 1 ) ∗ N 2 + ( 3 − 1 ) ∗ N 3 + ( 4 − 1 ) ∗ N 4 + 1 N 0 = ( 1 ) ∗ 1 + ( 2 ) ∗ 10 + ( 3 ) ∗ 20 + 1 N 0 = 1 + 20 + 60 + 1 N 0 = 82 \begin{aligned} & N_0=(2-1) * N_2+(3-1) * N_3+(4-1) * N_4+1 \\ & N_0=(1) * 1+(2) * 10+(3) * 20+1 \\ & N_0=1+20+60+1 \\ & N_0=82 \end{aligned} N0=(2−1)∗N2+(3−1)∗N3+(4−1)∗N4+1N0=(1)∗1+(2)∗10+(3)∗20+1N0=1+20+60+1N0=82
6. 关键点总结
- 结点数与度数的关系： n = ∑ i = 0 m i ⋅ n i + 1 n = \sum_{i=0}^{m} i \cdot n_i + 1 n=∑i=0mi⋅ni+1
- 第 i i i 层最多结点数： m i − 1 m^{i-1} mi−1
- 高度为 h h h 的 m m m 叉树最多结点数： m h − 1 m − 1 \frac{m^h - 1}{m - 1} m−1mh−1
- n n n 个结点的 m m m 叉树最小高度： ⌈ log m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \lceil \log_m(n(m-1) + 1) \rceil ⌈logm(n(m−1)+1)⌉
- n n n 个结点的 m m m 叉树最大高度： n − m + 1 n - m + 1 n−m+1
- 对于一片森林，树的个数 t = n − e t=n−e t=n−e，其中 n n n 是结点数， e e e 是边数