动态规划DP 数字三角型模型 最低通行费用(题目详解+C++代码完整实现)

最低通行费用

原题链接

AcWing 1018. 最低同行费用

题目描述

一个商人穿过一个 N×N的正方形的网格,去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进,右下角出 。每穿越中间 1个小方格,都要花费 1个单位时间。商人必须在 (2N−1)个单位时间穿越出去

而在经过中间的每个小方格时,都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用 穿越出去。

请问至少需要多少费用?

注意:不能对角穿越各个小方格(即,只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格)。

输入格式

第一行是一个整数,表示正方形的宽度 N。后面 N行,每行 N个不大于 100的正整数,为网格上每个小方格的费用。
输出格式

输出一个整数,表示至少需要的费用。

数据范围

1≤N≤100

输入样例:

复制代码
5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例:

复制代码
109

样例解释

样例中,最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。

题目分析

"商人必须在 (2N−1)个单位时间穿越出去" 意味着不能走回头路

因此,该题转化为 " 摘花生 "

不同点在于,该题 "最低通行费" 所求为最小值(min) ,而 "摘花生" 所求为最大值(max)

全局变量的初值默认为0,最小值(min)在求解过程中可能涉及到初始化问题,因为0可以是最小值,而边界情况又是不合理的,需要我们多加处理。

数据的初始化处理

第一列 (i,1):

路径不可能来自第一列的左侧,f[i][0] 初始化为INF。

第一行(1,j):

路径不可能来自第一行的上侧,f[0][j] 初始化为INF。

同时,在状态计算的过程当中,路径一定过起点(1,1),因此,f[1][1]的状态值不由f[0][1]或者f[1][0]得到,而是直接赋值为 w[1][1]。

完整代码

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
const int INF=2e9;
int n;
int w[N][N];  //费用
int f[N][N];  //状态表示
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&w[i][j]);
        }
    }
    //初始化处理
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i][0]=INF;  //第一列的左侧
        f[0][i]=INF;  //第一行的上侧
    }
    //状态计算
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==1&&j==1) f[1][1]=w[1][1];  //如果是起始点(1,1),则直接赋值w[1][1]
            else f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i][j-1])+w[i][j];  //否则通过状态计算
        }
    }
    printf("%d",f[n][n]);  //右下角终点(n,n)的f状态值即为最终答案
    return 0;
}
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