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[2.1，除法散列法 /除留余数法](#2.1，除法散列法 /除留余数法)
一，哈希概念
哈希（hash)又称散列，是一种组织数据的方式。从译名看，有散乱排列的意思。本质就是通过哈希函数把关键字key和存储位置建立一个映射关系，查找时通过这个哈希函数计算出key存储的位置，实现快速查找。
说白了，++hash函数就是根据key计算出应该存储地址的位置，而哈希表是基于hash函数建立的一种查找表。++
1.1，直接定址法
当关键字的范围比较集中 时，直接定址法就是非常简单高效的方法。比如一组关键字的值在[0,99]之间，那么我们开一个100大小的数组，每个关键字的值直接就是存储位置的下标。再比如一组数据a~z的字符，我们可以开一个大小为26的数组，每个关键字的acsll值减去 a的ascll值，就是对应的存储位置下标。也就是说直接定址法是用关键字计算出一个绝对位置或相对位置。
本题链接：387. 字符串中的第一个唯一字符 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
int firstUniqChar(string s) {
int hash[26]={0};
//统计次数
for(auto& ch:s)
{
hash[ch-'a']++;
}
for(int i=0;i<s.size();i++)
{
if(hash[s[i]-'a']==1)
return i;
}
return -1;
}
};
1.2，哈希冲突
++不同的key值产生相同的地址++，即H（key1)=H（key2)。这种问题叫做哈希冲突或哈希碰撞。
1.3，负载因子
假设哈希表已经存储N个值，哈希表的大小为M，那么负载因子=N/M。负载因子越大，代表哈希冲突的概率越高，空间利用率越高；负载因子越小，代表哈希冲突的概率越低，空间利用率越低。
二，哈希函数
两个不同的key值可能 会映射到同一个位置 ，这个问题叫做哈希冲突。理想情况是找一个哈希函数避免冲突，但是实际场景中，冲突不可避免，所以我们尽可能设计出好的哈希函数，来减少哈希冲突。
哈希函数的设计可能有很多讲究，比如要考虑均匀性、确定性、高效性等等。不同的应用场景可能需要不同的哈希函数。比如，非加密的哈希函数可能更注重速度，而加密的哈希函数则需要更高的安全性，防止被逆向或者找到碰撞。
2.1，除法散列法 /除留余数法
-
除法散列法也叫除留余数法，假设哈希表的大小为M，那么通过key除以M的余数作为映射的下标。也就是哈希函数为H(key)=key%M。
-
当使用 除法散列法时，应避免M的大小为某些值，比如2的幂，10的幂 等。如果是2的x次方，那么key%2^x相当于保留key的二进制前x位。那么前x位二进制相同的key值，计算出的哈希值都是一样的，就会加剧哈希冲突。++原因：key%2^x，相当于key&(2^x-1)，其中 2^x-1的二进制表示中前x均为1，其余为均为0，所以最后按位与的结果取决于key的前x位。++ 【见下图】
-
当使用除法散列 法时，建议M取不太接近2的整数次幂的一个质数（素数）
2.2，乘法散列法
- 乘法散列法对哈希表的大小M没有要求，它的大思路第一步：用关键字key乘上A(0<A<1)，并抽取出key*A的小数部分。第二步：再用M乘以key*A的小数部分，再向下取整。
- H(key)=floor(M*((A*key)%1.0))，其中floor表示对表达式进行向下取整。0<A<1，这里最重要的时A的值该如何设定。Knuth认为设为黄金分割点比较好
2.3，全域散列法
- 如果存在一个对手，他针对我们的哈希函数，特意构造出一个发生严重冲突的数据集。比如，让所有关键字落入同一个位置，这种情况是可以存在的。只要哈希函数公开且时确定的，就可以实现次攻击。解决此方法就是给哈希函数增加随机性，攻击者就无法找出确定的导致冲突 加剧的数据。这种方法叫做全域散列。
- H[a][b](key)=((a*key+b)%P)%M。P选择一个足够大的质数，a可以任意选[1,P-1]之间的一个整数，b可以选[0,P-1]之间的任意整数，这些函数就构成了一个P*(P-1)组全域散列函数组。假设P=17，M=6，a=3，b=4，则H[3][4]（8）=((3*8+4)&17)%6=5。
- 需要注意的是，每次初始化哈希表时，随机选取全域散列函数组中的一个散列（哈希）函数使用，后序增删查改都固定使用这个散列函数。否则每次哈希都是随机选一个散列函数，那么插入是一个散列函数，查找又是另一个散列函数，就会导致查找不到插入的key值。
++总结：实践中，哈希表一般是选择除法散列法作为哈希函数。当然哈希表无论选择什么哈希函数，都无法避免哈希冲突，那么插入数据时，如何解决哈希冲突呢？主要有两种方法，开放定址法和链地址法。++
三，处理哈希冲突
3.1，开放定址法
开放定址法中，所有元素都放到哈希表里。当一个关键字key用哈希函数计算出的位置冲突了，则按照某种规则找到一个没有存储数据的位置存储。这里的规则有三种：线性探测，二次探测，双重探测。
线性探测
- 从发生冲突的位置开始，依次向后进行 线性探测，直到寻找到一个没有存储数据的位置为止，如果走到哈希表尾，则回绕到哈希表头 的位置。
- H(key)=key%M=hash0 ，其中hash0代表映射的位置，如果该位置没有数据，则将key填入 。如果hash0位置已经存在数据，也就是hash0位置冲突了，则线性探测公式为：Hc(key)=(hash0+i)%M=hashi，i=0,1,2,3...,M-1。其中hashi就是经过线性探测找到没有存储数据的位置，再将key填入。
下面演示{19,30,5,36,13,20,21,12} 等映射到M=11的表中.
- 线性探测问题，假设hash0位置连续冲突，hash0,hash1,hash2已经存储数据了，后序映射到hash0，hash1，hash2的值都会 争夺hash3位置，这种现象叫做群集/堆积。下面的二次探测可以解决这个问题。
二次探测
- 从发生冲突的位置，依次左右按二次方跳跃式探测，直到寻找到下一个没有存储数据的位置为止。如果 往右走到哈希表尾，则回绕到哈希表头的位置；如果往左走到哈希表头，则会绕道哈希表尾的位置。
- **H(key)=key%M=hash0，**hash0位置冲突了，则二次探测公式为，Hc(key)=(hash0+/-i*i)%M，i=1,2,3..,M/=hashi.
- 二次探测结果hashi可能为负数，当hashi<0时，hashi+=M。
下面演示{19,30,52,63,11,22}映射到M=11的表中
双重探测
- 第⼀个哈希函数计算出的值发生冲突，使用第二个哈希函数计算出⼀个跟key相关的偏移量值，不断往后探测，直到寻找到下一个没有存储数据的位置为止。
- H(key)=key%M=hash0，hash0位置冲突了，则双重探测公式为：Hc(key)=(hash0+i*H2(key))%M=hashi，i=1,2,3,...,M
3.2，开放定址法代码实现
开放定址法在时间中不如下面的连地址法，所以我们选择简单的线性探测实现即可。
结构：
//当前位置的状态
//存在 空 已删除
enum State
{
EXIT,
EMPTY,
DELETE
};
template <class k,class v>
struct HashData
{
pair<k, v> _kv;
State _state = EMPTY;
};
template <class k,class v>
class HashTable
{
private:
vector<Hashdata<k, v>> _tables; //哈希表
size_t n = 0; //表中存储数据的个数
};
要注意的是这⾥需要给每个存储值的位置加⼀个状态标识，否则删除⼀些值以后，会影响后⾯冲突的值的查找。如下图，我们删除30，会导致查找20失败，当我们给每个位置加⼀个状态标识{EXIST,EMPTY,DELETE}，删除30就可以不用删除值，而是把状态改为DELETE，那么查找20时遇到EMPTY才停，就可以找到20。
哈希表扩容问题
这里我们哈希表负载因子控制在0.7，当负载因子到0.7以后我们就需要扩容了 ，我们如果还是按照2倍扩 容，但是同时我们要保持哈希表大小是一个质数，第一个是质数，2倍后就不是质数了。所以我们可以按照sgi版本的哈希表使用的方法。，给了⼀个近似2倍的质数表，每次去质数表获取扩容后的大小。
inline unsigned long __stl_next_prime(unsigned long n)
{
static const int __stl_num_primes = 28;
static const unsigned long __stl_prime_list[__stl_num_primes] =
{
53, 97, 193, 389, 769,
1543, 3079, 6151, 12289, 24593,
49157, 98317, 196613, 393241, 786433,
1572869, 3145739, 6291469, 12582917, 25165843,
50331653, 100663319, 201326611, 402653189, 805306457,
1610612741, 3221225473, 4294967291
};
const unsigned long* first = __stl_prime_list;
const unsigned long* last = __stl_prime_list + __stl_num_primes;
const unsigned long* pos = lower_bound(first, last, n);
return pos == last ? *(last - 1) : *pos;
}
在需要扩容时，调用__stl_next_prime(n），在__stl_prime_list数组中查找第一个大于等于n的数组并返回。
key不能取模的问题
当key是string/Date等类型时，key不能取模，那么我们需要给HashTable增加**⼀个仿函数** ，这个仿函 数⽀持把key转换成⼀个可以取模的整形 ，如果key可以转换为整形并且不容易冲突，那么这个仿函数就用默认参数即可，如果这个Key不能转换为整形我们就需要自己实现⼀个仿函数传给这个参数，实 现这个仿函数的要求就是尽量key的每个值都参与到计算中，让不同的key转换出的整形值不同。++string做哈希表的key值很常见，我们可以考虑把string特化一下。++
template <class k>
class HashFunc
{
size_t operator()(const k& key)
{
return (size_t)key;
}
};
//特化
template<>
struct HashFunc<string>
{
++// 字符串转换成整形，可以把字符ascii码相加即可
// 但是直接相加的话，类似"abcd"和"bcad"这样的字符串计算出是相同的
// 这⾥我们使⽤BKDR哈希的思路，用上次的计算结果去乘以⼀个质数，这个质数⼀般去31, 131等效果会比较好++size_t operator()(const string& s)
{
size_t hash = 0;
for (auto ch : s)
{
hash += ch;
hash *= 131;
}
return hash;
}
};
完整代码实现
//当前位置的状态
//存在 空 已删除
enum State
{
EXIT,
EMPTY,
DELETE
};
template <class k,class v>
struct HashData
{
pair<k, v> _kv;
State _state = EMPTY;
};
template <class k>
class HashFunc
{
size_t operator()(const k& key)
{
return (size_t)key;
}
};
//特化
template<>
struct HashFunc<string>
{
// 字符串转换成整形，可以把字符ascii码相加即可
// 但是直接相加的话，类似"abcd"和"bcad"这样的字符串计算出是相同的
// 这⾥我们使⽤BKDR哈希的思路，⽤上次的计算结果去乘以⼀个质数，这个质数⼀般去31, 131等效果会比较好
size_t operator()(const string& s)
{
size_t hash = 0;
for (auto ch : s)
{
hash += ch;
hash *= 131;
}
return hash;
}
};
template<class k, class v, class Hash = HashFunc<k>>
class HashTable
{
public:
HashTable()
:_tables(__stl_next_prime(0))
, _n(0)
{}
inline unsigned long __stl_next_prime(unsigned long n)
{
static const int __stl_num_primes = 28;
static const unsigned long __stl_prime_list[__stl_num_primes] =
{
53, 97, 193, 389, 769,
1543, 3079, 6151, 12289, 24593,
49157, 98317, 196613, 393241, 786433,
1572869, 3145739, 6291469, 12582917, 25165843,
50331653, 100663319, 201326611, 402653189, 805306457,
1610612741, 3221225473, 4294967291
};
const unsigned long* first = __stl_prime_list;
const unsigned long* last = __stl_prime_list + __stl_num_primes;
const unsigned long* pos = lower_bound(first, last, n);
return pos == last ? *(last - 1) : *pos;
}
bool insert(const pair<k, v>& kv)
{
Hash hash;
//负载因子>=0.7 扩容
if (_n * 10 / _tables.size() >= 7)
{
//创建一个新表
HashTable<k, v, Hash> newht;
//扩容
newht._tables.resize(__stl_next_prime(_tables.size() + 1));
//旧表数据映射到新表
for (auto& data : _tables)
{
if (data._state == EXIST)
newht.insert(data._kv);
}
//_tables=newht._tables;
_tables.swap(newht._tables);
}
size_t hash0 = hash(kv.first) % _tables.size();
size_t hashi = hash0;
int i = 1;
while (_tables[hashi]._state == EXIST)
{
//线性探测
hashi = (hash0 + i) % _tables.size();//防止越界
i++;
}
_tables[hashi]._kv = kv;
_tables[hashi]._state = EXIST;
_n++;
return true;
}
HashData<k, v>* find(const k& key)
{
Hash hash;
size_t hash0 = hash(key) % _tables.size();
size_t hashi = hash0;
int i = 1;
while (_tables[hashi]._state != EMPTY)
{
if (_tables[hashi]._kv.first == key && _tables[hashi]._state == EXIST)
{
return &_tables[hashi];
}
//线性探测
hashi = (hash0 + i) % _tables.size();//防止越界
i++;
}
return nullptr;
}
bool erase(const k& key)
{
HashData<k, v>* ret = find(key);
if (ret)
{
ret->_state = DELETE;
return true;
}
else
{
return false;
}
}
private:
vector<HashData<k, v>> _tables;
size_t _n;
};
3.3，链地址法
开放定址法中所有的元素都放到哈希表里，链地址法中所有的数据不再直接存储在哈希表中。哈希表 中存储一个指针，++没有数据映射这个位置时，这个指针为空++ ，++有多个数据映射到这个位置时，我们把这些冲突的数据链接成⼀个链表，挂在哈希表这个位置下面，链地址法也叫做拉链法或者哈希桶。++
下面演示{19,30,5,36,13,20,21,12,24,96} 等这一组值映射到M=11的表中
哈希表扩容问题
开放定址法负载因子必须小于1，链地址法的负载因子就没有限制了，可以大于1。负载因子越大，哈 希冲突的概率越高，空间利用率越高；负载因子越小，哈希冲突的概率越低，空间利用率越低；STL中的unordered_map和unordered_set最大复杂因子进本控制在1，大于1就开始扩容。
链地址法代码实现
//链地址法
//哈希桶
template<class k, class v>
struct HashNode
{
pair<k, v> _kv;
HashNode<k, v>* _next;
HashNode(const pair<k, v>& kv)
:_kv(kv)
, _next(nullptr)
{}
};
template<class k, class v>
class Hash_bucket
{
public:
typedef HashNode<k, v> Node;
Hash_bucket()
:_tables(__stl_next_prime(0))
, _n(0)
{}
~Hash_bucket()
{
for (int i = 0; i < _tables.size(); i++)
{
Node* cur = _tables[i];
while (cur)
{
Node* next = cur->_next;
delete cur;
cur = next;
}
_tables[i] = nullptr;
}
}
inline unsigned long __stl_next_prime(unsigned long n)
{
static const int __stl_num_primes = 28;
static const unsigned long __stl_prime_list[__stl_num_primes] =
{
53, 97, 193, 389, 769,
1543, 3079, 6151, 12289, 24593,
49157, 98317, 196613, 393241, 786433,
1572869, 3145739, 6291469, 12582917, 25165843,
50331653, 100663319, 201326611, 402653189, 805306457,
1610612741, 3221225473, 4294967291
};
const unsigned long* first = __stl_prime_list;
const unsigned long* last = __stl_prime_list + __stl_num_primes;
const unsigned long* pos = lower_bound(first, last, n);
return pos == last ? *(last - 1) : *pos;
}
bool insert(const pair<k, v>& kv)
{
//防止键值冗余
if (find(kv.first))
return false;
//负载因子>=1时，扩容
if (_n / _tables.size() >= 1)
{
//创建新表
vector<Node*> newtables(__stl_next_prime(_tables.size() + 1));
for (int i = 0; i < _tables.size(); i++)
{
Node* cur = _tables[i];
//直接将旧表中的节点插入到新表中 所映射的位置
while (cur)
{
Node* next = cur->_next;
//直接插入到新表
size_t hashi = cur->_kv.first % newtables.size();
cur->_next = newtables[hashi];
newtables[hashi] = cur;
cur = next;
}
}
_tables.swap(newtables);
}
size_t hashi = kv.first % _tables.size();
Node* newnode = new Node(kv);
//头插到新表
newnode->_next = _tables[hashi];
_tables[hashi] = newnode;
++_n;
return true;
}
Node* find(const k& key)
{
size_t hashi = key % _tables.size();
Node* cur = _tables[hashi];
while (cur)
{
if (cur->_kv.first == key)
return cur;
cur = cur->_next;
}
return nullptr;
}
bool erase(const k& key)
{
size_t hashi = key % _tables.size();
Node* cur = _tables[hashi];
Node* prev = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first == key)
{
if (prev == nullptr)
{
_tables[hashi] = cur->_next;
}
else
{
prev->_next = cur->_next;
}
delete cur;
--_n;
return true;
}
else
{
prev = cur;
cur = cur->_next;
}
}
return false;
}
private:
vector<Node*> _tables;
size_t _n;
};
小结：
哈希表这种数据结构，是利用哈希函数来快速定位数据的位置，然后存储到数组中的相应位置。
这样在查找的时候，时间复杂度可以接近O(1)，非常高效。不过如果多个键被哈希到同一个位置，就会发生冲突，这时候需要解决冲突的方法，比如链地址法或者开放寻址法。
++那哈希表的实现原理大概是怎样的呢？当插入一个键值对时，首先用哈希函数计算键的哈希值，然后根据哈希值找到对应的数组下标，如果该位置已经有元素了，就用链表或者其他方式处理冲突，然后存储进去。查找的时候同样计算哈希值，找到位置后，如果该位置有多个元素，需要遍历链表进行查找。好的哈希函数应该尽量均匀分布，减少冲突，这样哈希表的效率才会高。++