P1005 [NOIP 2007 提高组] 矩阵取数游戏 题解
题意
给定一个 n × m n\times m n×m 的矩阵，可以进行 m m m 次取数，每次只能取走每一行的第一个数或最后一个数。设第 i i i 次取出的数是 b 1 b_1 b1， b 2 b_2 b2， ⋯ \cdots ⋯， b n b_n bn，则第 i i i 次取数的得分是 ∑ j = 1 n b j × 2 i \sum_{j=1}^{n}b_j\times 2^i ∑j=1nbj×2i。问取完 m m m 次后的每次取数得分之和最大是多少？
思路
开始看着题目，可能感觉没有什么头绪。但不难发现，其实行与行之间不会相互影响，所以可以将每一行在输入时单独处理，这样可以把 a a a 数组压成一维。同时，每行取数之后总是剩余一个区间，所以令人很自然的联想到区间 dp。
设 d p i , j dp_{i,j} dpi,j 表示剩下 [ i , j ] [i,j] [i,j] 这个区间时的最大得分。
接下来开始推方程。
i , j \] \[i,j\] \[i,j\] 区间只能从 \[ i − 1 , j \] \[i-1,j\] \[i−1,j\] 或 \[ i , j + 1 \] \[i,j+1\] \[i,j+1\] 区间转移而来。同时，可以得到在转移到 \[ i , j \] \[i,j\] \[i,j\] 区间时是第 m − j + i − 1 m-j+i-1 m−j+i−1 次。
设在第 k k k 行转移，便能得到转移方程：
d p i , j = max ( d p i − 1 , j + a k , i − 1 × 2 m − j + i − 1 , d p i , j + 1 + a k , j + 1 × 2 m − j + i − 1 ) dp_{i,j}=\\max(dp_{i-1,j}+a_{k,i-1}\\times 2\^{m-j+i-1},dp_{i,j+1}+a_{k,j+1}\\times 2\^{m-j+i-1}) dpi,j=max(dpi−1,j+ak,i−1×2m−j+i−1,dpi,j+1+ak,j+1×2m−j+i−1)
此时只需要把 2 1 2\^1 21 到 2 m 2\^m 2m 都用快速幂预处理出来便可将转移的复杂度压缩到 O ( 1 ) O(1) O(1)。（用位运算的话似乎会 wa 后四个点）
由 dp 数组的定义可知长度为一的区间不会被计算，所以最终答案为：
∑ i = 1 n max 1 ≤ j ≤ m ( d p j , j + a i , j × 2 m ) \\sum_{i=1}\^{n}\\max\\limits_{1\\le j\\le m}(dp_{j,j}+a_{i,j}\\times 2\^m) i=1∑n1≤j≤mmax(dpj,j+ai,j×2m)
注意到此题的转移过程是从大区间到小区间的，所以我们的枚举顺序要改一下。即 i i i 从小到大， j j j 从大到小。
时间复杂度： O ( n m 2 ) O(nm\^2) O(nm2)。
### 代码
数据范围会爆 `long long`，可以写高精，但我这里用了 `__int128`。
代码如下：
```cpp
#include