Acwing-基础算法课笔记之基础算法（差分）
一、一维差分
1、差分的概念
对于一个给定的序列a，它的差分序列b定义为：
b [ 1 ] = a [ 1 ] b[1]=a[1] b[1]=a[1]， b [ i ] = a [ i ] − a [ i − 1 ] b[i]=a[i]-a[i-1] b[i]=a[i]−a[i−1]， ( 2 ⩽ i ⩽ n ) (2\leqslant i\leqslant n) (2⩽i⩽n)
b是a的差分序列，a是b的前缀和序列，差分与前缀和是一对互逆运算 。
a [ 1 ] = b [ 1 ] a[1]=b[1] a[1]=b[1]，
a [ 2 ] = b [ 2 ] + a [ 1 ] = b [ 2 ] + b [ 1 ] a[2]=b[2]+a[1]=b[2]+b[1] a[2]=b[2]+a[1]=b[2]+b[1]，
a [ 3 ] = b [ 3 ] + a [ 2 ] = b [ 3 ] + b [ 2 ] + b [ 1 ] a[3]=b[3]+a[2]=b[3]+b[2]+b[1] a[3]=b[3]+a[2]=b[3]+b[2]+b[1]，证毕
2、差分思想
把序列a的区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]加d，等价于其差分序列b的点 b [ l ] b[l] b[l]加d，点 b [ r + 1 ] b[r+1] b[r+1]减d，其他位置不变。即把原序列的"区间操作 "转化为差分序列的"两点操作 "。多次区间操作完成后，再利用前缀和还原。时间复杂度从 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)降为 O ( n ) O(n) O(n)
二、二维差分
操作流程
| （x1,y1） | * | * | * | * | |||
| * | * | * | * | * | |||
| * | * | * | * | * | |||
| * | * | * | * | （x2,y2） | |||
① b [ x 1 , y 1 ] + = c b[x1,y1]+=c b[x1,y1]+=c：坐标 ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1)右下区域的所有数加 c c c；
② b [ x 2 + 1 , y 1 ] − = c b[x2+1,y1]-=c b[x2+1,y1]−=c：坐标 ( x 2 + 1 , y 1 ) (x2+1,y1) (x2+1,y1)右下区域的所有数减 c c c；
③ b [ x 1 , y 2 + 1 ] − = c b[x1,y2+1]-=c b[x1,y2+1]−=c：坐标 ( x 1 , y 2 + 1 ) (x1,y2+1) (x1,y2+1)右下区域的所有数减 c c c；
④ b [ x 2 , y 2 ] + = c b[x2,y2]+=c b[x2,y2]+=c：坐标 ( x 2 , y 2 ) (x2,y2) (x2,y2)右下区域的所有数多减了 c c c，所以要全部加 c c c。