算法训练营day37 动态规划⑤ 完全背包 518. 零钱兑换 II、 377. 组合总和 Ⅳ、70. 爬楼梯 （进阶）

动态规划的第五篇博客！今天讲完全背包，排列组合的理解！

对于上一篇博客的494题，我之前的理解存在误区，更正的理解在本篇博客518题后续的对于递推公式理解的补充

完全背包

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

在下面的讲解中，我拿下面数据举例子：背包最大重量为4，物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

• 确定dp数组以及下标的含义

因为有两个维度需要分别表示：物品 和 背包容量

dpij 表示从下标为0-i的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

• 确定递推公式

求取 dp14 有两种情况：

1. 放物品1
2. 还是不放物品1

如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp04 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。

而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： dp11， 而不是 dp01

所以 放物品1 的情况 = dp11 + 物品1 的价值，推导方向如图：

以上过程，抽象化如下：

1. 不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dpi - 1j。

2. 放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weighti，dpij - weight\[i] 为背包容量为j - weighti且不放物品i的最大价值，那么dpij - weight\[i] + valuei （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递推公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

• dp数组如何初始化

首先从dpij的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dpi0，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

dp0j，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp0j 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时，dp0j 如果能放下weight0的话，就一直装，每一种物品有无限个。

• 确定遍历顺序

都可以，先遍历物品再遍历背包更好理解一些

• 举例推导dp数组

略

def knapsack(n, bag_weight, weight, value):
    # n 行 (物品种类)
    # bag_weight (行李总重量)
    # weight (单个物品重量)
    # value (单个物品价值)
    
    dp = [[0] * (bag_weight + 1) for _ in range(n)]
    # 行宽列宽要注意

    # 初始化 很巧妙的方法, 通过其他的位置来赋值
    for j in range(weight[0], bag_weight + 1):
        dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]

    # 动态规划
    for i in range(1, n):
        for j in range(bag_weight + 1):
            if j < weight[i]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])

    return dp[n - 1][bag_weight]

# 输入
n, bag_weight = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(n):
    w, v = map(int, input().split())
    weight.append(w)
    value.append(v)

# 输出结果
print(knapsack(n, bag_weight, weight, value))

完全背包的一维理解

遍历物品 在外层 循环，遍历背包 容量在内层循环，状态如图：

遍历背包 容量在外层 循环，遍历物品 在内层循环，状态如图：

对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！

但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。

下列代码实现使用先遍历背包的方式，在上图中体现为纵向实现，和之前的01背包的1维数组的实现存在差别！

def complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value):
    dp = [0] * (bag_weight + 1)

    for j in range(bag_weight + 1):  # 遍历背包容量
        for i in range(len(weight)):  # 遍历物品
            if j >= weight[i]:
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

    return dp[bag_weight]

# 输入
N, bag_weight = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(N):
    w, v = map(int, input().split())
    weight.append(w)
    value.append(v)

# 输出结果
print(complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value))

518. 零钱兑换 II

我感觉这个类似于组合问题了，类似这种题目：给出一个总数，一些物品，问能否凑成这个总数。这是典型的背包问题！

但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

• 确定dp数组以及下标的含义

定义二维dp数值 dpij：使用 下标为0, i的coinsi能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dpij种组合方法。

• 确定递推公式（后续补充）

所以本题递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]

两点理解1.对于目标和求组合逻辑的理解2.对于完全背包的理解

• dp数组如何初始化

那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，dpi0 都初始化为1

• 确定遍历顺序

二维DP数组的完全背包的两个for循环先后顺序是无所谓的（组合问题）。先遍历背包，还是先遍历物品都是可以的。

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0]*(amount + 1)
        dp[0] = 1
        # 遍历物品
        for i in range(len(coins)):
            # 遍历背包
            for j in range(coins[i], amount + 1):
                dp[j] += dp[j - coins[i]]
            # 回归dp数组的本身含义
        return dp[amount]

对于上题递推公式的补充

494. 目标和 - 力扣（LeetCode）全1背景↓：

• 容量为2 的背包，如果不放 物品2 有几种方法呢？

就是3上面的1

• 容量为2 的背包， 如果放 物品2 有几种方法呢？

就是3上面一行，-numi的数值，因为会加物品2

抽象出来就是：

• 不放物品i：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dpi - 1j中方法。

• 放物品i： 即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dpi - 1j - 物品i容量 种方法。

本题中，物品i的容量是numsi，价值也是numsi。

递推公式：dpij = dpi - 1j + dpi - 1j - nums\[i];

377. 组合总和 Ⅳ

本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！（如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。

• 确定dp数组以及下标的含义

dpi: 凑成目标正整数为i的排列个数为dpi

• 确定递推公式

递推公式一般都是dpi += dpi - nums\[j];

• dp数组如何初始化

因为递推公式dpi += dpi - nums\[j]的缘故，dp0要初始化为1，这样递归其他dpi的时候才会有数值基础。

• 确定遍历顺序

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp4的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        dp = [0] * (target + 1)
        dp[0] = 1
        for i in range(1, target + 1):  # 遍历背包
            for j in range(len(nums)):  # 遍历物品
                if i - nums[j] >= 0:
                    dp[i] += dp[i - nums[j]]
        return dp[target]

70. 爬楼梯 （进阶）

这其实是一个完全背包问题。1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

• 确定dp数组以及下标的含义

dpi：爬到有i个台阶的楼顶，有dpi种方法。

• 确定递推公式

求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dpi += dpi - nums\[j];本题呢，dpi有几种来源，dpi - 1，dpi - 2，dpi - 3 等等，即：dpi - j

那么递推公式为：dpi += dpi - j

• dp数组如何初始化

既然递归公式是 dpi += dpi - j，那么dp0 一定为1，dp0是递归中一切数值的基础所在，如果dp0是0的话，其他数值都是0了。

• 确定遍历顺序

这是背包里求排列问题，即：**1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！**所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

def climbing_stairs(n,m):
    dp = [0]*(n+1) # 背包总容量
    dp[0] = 1 
    # 排列题，注意循环顺序，背包在外物品在内
    for j in range(1,n+1):
        for i in range(1,m+1):
            if j>=i:
                dp[j] += dp[j-i] # 这里i就是重量而非index
    return dp[n]

if __name__ == '__main__':
    n,m = list(map(int,input().split(' ')))
    print(climbing_stairs(n,m))