【机器学习】监督学习-决策树-CART（Classification and Regression Tree，分类与回归树）详尽版

IT古董2025-02-14 21:57

CART（Classification and Regression Trees）法

CART（分类与回归树）是一种决策树算法，由 Breiman 等人在 1984 年提出。它用于构建分类树（Classification Tree）或回归树（Regression Tree），以解决分类和回归问题。

1. CART 方法概述

CART 方法的核心思想是通过**递归二分（Binary Recursive Partitioning）**将数据集划分成两个子集，最终构建一棵树。其目标是：

  • 分类任务（Classification Tree）：将数据划分成多个类别，并最大化类别的纯度（如基尼指数最小化）。
  • 回归任务（Regression Tree）：最小化均方误差（MSE），使得每个叶子节点的预测值与真实值尽可能接近。

2. CART 分类树

(1) 目标

给定数据集：

其中 xix_ixi​ 是特征向量，​ 是类别标签。CART 分类树的目标是找到一个分裂方式，使得每个叶子节点尽可能纯（即尽可能属于同一类别）。

(2) 纯度衡量

CART 使用**基尼指数（Gini Index）**来衡量节点的不纯度：

其中：

  • 是类别 k 在数据集 D 中的概率。
  • 基尼指数越小，数据越纯。

如果在某个特征 的某个阈值 s 处分裂数据集 D：

则分裂后的基尼指数为：

目标是找到最小化 ​ 的特征 ​ 和阈值 s。

(3) 生成分类树

  1. 计算所有可能分裂点的基尼指数，选择最优分裂点。
  2. 递归进行分裂，直到满足停止条件（如树的最大深度、样本数等）。
  3. 叶子节点的类别由该节点中样本的多数决定。

3. CART 回归树

(1) 目标

对于回归问题，CART 采用**均方误差（MSE）**来衡量误差：

其中 yˉ\bar{y}yˉ​ 是数据集 D 中所有样本的均值。

如果对数据进行分裂：

则分裂后的均方误差为：

目标是找到使 ​ 最小的分裂方式。

(2) 生成回归树

  1. 计算所有可能分裂点的 MSE，选择最优分裂点。
  2. 递归分裂，直到满足停止条件（如叶子节点的样本数小于某个阈值）。
  3. 叶子节点的输出是该节点样本的均值。

4. 剪枝（Pruning）

CART 生成的树容易过拟合，因此需要剪枝。常见的剪枝方法包括：

  • 预剪枝（Pre-pruning）：在树生长过程中设定阈值，如最大深度、最小样本数等，提前停止生长。
  • 后剪枝（Post-pruning）：先生成完整的树，再用交叉验证进行剪枝，移除对测试误差贡献不大的节点。

CART 采用代价复杂度剪枝（Cost Complexity Pruning, CCP），定义损失函数：

其中：

  • R(T) 是训练误差（如基尼指数或 MSE）。
  • ∣T∣ 是树的叶子节点个数。
  • α 是正则化参数，控制复杂度。

选择最优 α 使得交叉验证误差最小。

5. CART 与其他决策树的对比

方法 目标函数 分裂标准 处理类别型变量 剪枝
ID3 信息增益 信息增益最大化 不支持 无剪枝
C4.5 信息增益比 信息增益比最大化 支持 预剪枝
CART Gini指数（分类）/ MSE（回归） 最小化基尼指数或 MSE 需要编码 后剪枝
  • ID3 采用信息增益，但偏向于多值特征。
  • C4.5 采用信息增益比，可以处理连续变量和缺失值。
  • CART 采用基尼指数/MSE，并支持后剪枝，适用于分类和回归。

6. 实例

(1) CART 分类树

假设我们有如下 4 个样本，每个样本有两个特征 ​ 和一个类别标签 ：

样本编号 特征 特征 类别
1 2.7 4.5 0
2 3.4 1.8 1
3 1.3 3.7 0
4 5.1 2.1 1

目标：构建 CART 分类树，找到最优特征及分裂点。

步骤 1：计算数据集的基尼指数

CART 采用 基尼指数（Gini Index） 作为分类的纯度衡量指标，其计算公式为：

其中：

  • 是类别 k 在数据集中的比例。
  • Gini(D) 越小，数据越纯。

我们计算初始数据集的基尼指数：

  • 类别 0（Y=0） 的样本：2 个（样本 1, 3）。
  • 类别 1（Y=1） 的样本：2 个（样本 2, 4）。
步骤 2：尝试不同的分裂点

CART 采用 二分法，在所有特征的可能切分点中选择使基尼指数最小的那个。

(1) 选取 作为分裂特征

候选分裂点（取相邻样本的均值）：

对每个分裂点计算基尼指数：

① 分裂点

分裂后：

  • 左子集： → 样本 {3}，类别 {0}
  • 右子集： → 样本 {1, 2, 4}，类别 {0,1,1}

计算基尼指数：


加权基尼指数：

② 分裂点

分裂后：

  • 左子集： → 样本 {1, 3}，类别 {0, 0}
  • 右子集： → 样本 {2, 4}，类别 {1, 1}

计算基尼指数：



③ 分裂点

分裂后：

  • 左子集： → 样本 {1, 2, 3}，类别 {0, 1, 0}
  • 右子集： → 样本 {4}，类别 {1}

计算基尼指数：



最优分裂点：，基尼指数最低（0.0）。

步骤 3：递归构建子树

按照 进行分裂，得到：

  • 左子树（）：样本 {1, 3}，类别全为 0。
  • 右子树（）：样本 {2, 4}，类别全为 1。

由于子树的类别已纯净，停止分裂。

代码实现
从0开始完整实现
python 复制代码 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
import networkx as nx


class Node:
    def __init__(self, feature=None, threshold=None, left=None, right=None, value=None):
        self.feature = feature  # 选择的特征
        self.threshold = threshold  # 分裂点
        self.left = left  # 左子树
        self.right = right  # 右子树
        self.value = value  # 叶子节点的类别


class CARTClassifier:
    def __init__(self, max_depth=2):
        self.max_depth = max_depth
        self.root = None

    def gini(self, y):
        """计算 Gini 系数"""
        classes, counts = np.unique(y, return_counts=True)
        p = counts / len(y)
        return 1 - np.sum(p ** 2)

    def best_split(self, X, y):
        """寻找最佳分裂特征和分裂点"""
        m, n = X.shape
        best_feature, best_threshold, best_gini = None, None, float('inf')
        best_left_idx, best_right_idx = None, None

        for feature in range(n):
            # 排序 X[:, feature] 以便找到最佳分裂点
            sorted_indices = np.argsort(X[:, feature])
            sorted_X = X[sorted_indices]
            sorted_y = y[sorted_indices]

            for i in range(1, m):  # 从1开始，避免最左或最右的分裂
                if sorted_X[i, feature] == sorted_X[i-1, feature]:  # 如果相邻元素相等，跳过
                    continue

                # 计算分裂点
                threshold = (sorted_X[i, feature] + sorted_X[i-1, feature]) / 2
                left_idx = sorted_X[:, feature] <= threshold
                right_idx = sorted_X[:, feature] > threshold

                left_gini = self.gini(sorted_y[left_idx])
                right_gini = self.gini(sorted_y[right_idx])
                gini_score = (len(left_idx) * left_gini + len(right_idx) * right_gini) / m

                if gini_score < best_gini:
                    best_feature, best_threshold, best_gini = feature, threshold, gini_score
                    best_left_idx, best_right_idx = left_idx, right_idx

        return best_feature, best_threshold, best_left_idx, best_right_idx

    def build_tree(self, X, y, depth=0):
        """递归构建决策树"""
        if len(set(y)) == 1 or depth >= self.max_depth:
            return Node(value=max(set(y), key=list(y).count))

        feature, threshold, left_idx, right_idx = self.best_split(X, y)

        if feature is None:
            return Node(value=max(set(y), key=list(y).count))

        left_subtree = self.build_tree(X[left_idx], y[left_idx], depth + 1)
        right_subtree = self.build_tree(X[right_idx], y[right_idx], depth + 1)

        return Node(feature, threshold, left_subtree, right_subtree)

    def fit(self, X, y):
        """训练分类树"""
        self.root = self.build_tree(X, y)

    def predict_one(self, x, node):
        """单样本预测"""
        if node.value is not None:
            return node.value
        if x[node.feature] <= node.threshold:
            return self.predict_one(x, node.left)
        else:
            return self.predict_one(x, node.right)

    def predict(self, X):
        """批量预测"""
        return np.array([self.predict_one(sample, self.root) for sample in X])

    def print_tree(self, node=None, depth=0):
        """文本格式输出决策树"""
        if node is None:
            node = self.root
        if node.value is not None:
            print("  " * depth + f"Leaf: Class {node.value}")
            return
        feature_name = f"X{node.feature + 1}"  # 显示为 X1, X2, ...
        print("  " * depth + f"|--- {feature_name} <= {node.threshold:.3f}")
        self.print_tree(node.left, depth + 1)
        self.print_tree(node.right, depth + 1)

    def plot_tree(self):
        """可视化决策树"""
        graph = nx.DiGraph()
        pos = {}

        def traverse(node, depth=0, x=0, parent=None):
            if node is None:
                return
            node_id = id(node)
            pos[node_id] = (x, -depth)
            label = f"X[{node.feature}] <= {node.threshold:.2f}" if node.value is None else f"Class {node.value}"
            graph.add_node(node_id, label=label)
            if parent is not None:
                graph.add_edge(parent, node_id)
            traverse(node.left, depth + 1, x - 2 ** (-depth), node_id)
            traverse(node.right, depth + 1, x + 2 ** (-depth), node_id)

        traverse(self.root)
        labels = nx.get_node_attributes(graph, 'label')
        plt.figure(figsize=(8, 6))
        nx.draw(graph, pos, with_labels=True, labels=labels, node_size=2000, node_color="lightblue", font_size=10)
        plt.title("CART 分类树可视化")
        plt.show()


# 数据集
X = np.array([[2.7, 4.5], [3.4, 1.8], [1.3, 3.7], [5.1, 2.1]])
y = np.array([0, 1, 0, 1])  # 分类标签

# 训练分类树
tree = CARTClassifier(max_depth=2)
tree.fit(X, y)

# 预测
y_pred = tree.predict(X)
print("预测结果:", y_pred)

# 输出树结构
tree.print_tree()

# 设置支持中文的字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题

# 画出分类树
tree.plot_tree()
运行效果
python 复制代码 
预测结果: [0 1 0 1]
|--- X1 <= 3.050
  |--- X1 <= 3.050
    Leaf: Class 0
    Leaf: Class 1
  |--- X1 <= 3.200
    Leaf: Class 0
    Leaf: Class 1
sklearn实现
python 复制代码 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier, plot_tree, export_text

# 数据集
X = np.array([[2.7, 4.5], [3.4, 1.8], [1.3, 3.7], [5.1, 2.1]])
y = np.array([0, 1, 0, 1])  # 分类标签

# 训练 sklearn 的分类树
sklearn_tree = DecisionTreeClassifier(criterion="gini", max_depth=2)
sklearn_tree.fit(X, y)

# 预测
y_pred_sklearn = sklearn_tree.predict(X)
print("sklearn 预测结果:", y_pred_sklearn)

# 文本格式输出

print(export_text(sklearn_tree, feature_names=["X1", "X2"]))

# 设置支持中文的字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题

# 画出分类树
plt.figure(figsize=(8, 6))
plot_tree(sklearn_tree, feature_names=["X1", "X2"], class_names=["0", "1"], filled=True)
plt.title("sklearn 决策树")
plt.show()
运行效果
python 复制代码 
sklearn 预测结果: [0 1 0 1]
|--- X1 <= 3.05
|   |--- class: 0
|--- X1 >  3.05
|   |--- class: 1
总结
  1. 计算整个数据集的基尼指数（初始为 0.5）。
  2. 依次尝试所有可能的分裂点，计算基尼指数，选择使基尼指数最小的 作为最优分裂点。
  3. 递归构建子树：
    • 若子集数据的类别已经纯净，则停止分裂。
    • 否则继续递归分裂，直到满足终止条件。

最终得到最优的二分决策树，能够对新的数据进行分类。

(2) CART 回归树

假设我们有如下 5 个样本，每个样本有一个特征 X 和对应的目标值 Y：

样本编号 特征 X 目标值 Y
1 1.0 2.0
2 2.0 2.5
3 3.0 4.0
4 4.0 4.5
5 5.0 5.0

目标 ：构建 CART 回归树，找到最优的分裂点，使得均方误差（MSE）最小。

步骤 1：计算数据集的总方差

回归树使用 均方误差（Mean Squared Error, MSE） 作为分裂标准：

其中：

  • 是数据集的平均目标值。

计算整个数据集的均值：

计算整体均方误差：


步骤 2：尝试不同的分裂点

CART 采用 二分法，在所有可能的分裂点中选择使得 MSE 最小的点。

(1) 选取 X 作为分裂特征

候选分裂点（取相邻样本的均值）：

对每个分裂点计算 MSE。

① 分裂点 X=1.5

分裂后：

  • 左子集：X ≤ 1.5 → 样本 {1}，Y={2.0}Y = \{2.0\}Y={2.0}。
  • 右子集：X > 1.5 → 样本 {2, 3, 4, 5}，Y={2.5, 4.0, 4.5, 5.0}。

计算左子集 MSE：

(只有一个样本)

计算右子集的均值：

计算右子集 MSE：


加权 MSE：

② 分裂点 X=2.5

分裂后：

  • 左子集：X ≤ 2.5 → 样本 {1, 2}，Y={2.0, 2.5}。
  • 右子集：X > 2.5 → 样本 {3, 4, 5}，Y={4.0, 4.5, 5.0}。

计算左子集均值：

计算左子集 MSE：

计算右子集均值：

计算右子集 MSE：


加权 MSE：

步骤 3：选择最优分裂点
  • X = 1.5 时 。
  • X = 2.5 时 （最小）。
  • 其他分裂点的 MSE 更大。

最优分裂点：X = 2.5。

步骤 4：递归构建子树

按照 X = 2.5 进行分裂，得到：

  • 左子树（X ≤ 2.5）：均值为 2.25。
  • 右子树（X > 2.5）：均值为 4.5。

由于误差已足够小，停止分裂。

最终的回归树

如果输入新的 X 值：

  • 若 X ≤ 2.5，则预测值为 2.25。
  • 若 X > 2.5，则预测值为 4.5。
代码实现

从0开始完整实现

python 复制代码 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib


# 定义节点类
class Node:
    """回归树节点"""

    def __init__(self, feature=None, threshold=None, left=None, right=None, value=None):
        self.feature = feature  # 分裂的特征索引（这里只有 1 个特征，固定为 0）
        self.threshold = threshold  # 分裂阈值
        self.left = left  # 左子树
        self.right = right  # 右子树
        self.value = value  # 叶子节点的预测值


# 定义 CART 回归树
class CARTRegressionTree:
    def __init__(self, min_samples_split=2, max_depth=None):
        self.min_samples_split = min_samples_split  # 最小分裂样本数
        self.max_depth = max_depth  # 最大树深
        self.root = None  # 树的根节点

    def fit(self, X, y):
        """训练回归树"""
        self.root = self._build_tree(X, y, depth=0)

    def _build_tree(self, X, y, depth):
        num_samples = X.shape[0]

        # 如果当前节点所有样本的目标值都相同，则无需继续分裂
        if len(np.unique(y)) == 1:
            return Node(value=y[0])

        # 叶子节点的预测值为当前节点样本目标值的均值
        leaf_value = np.mean(y)

        # 如果样本数不足或已达到最大深度，返回叶子节点
        if num_samples < self.min_samples_split or (self.max_depth is not None and depth >= self.max_depth):
            return Node(value=leaf_value)

        # 寻找最佳分裂：返回最佳特征、最佳分裂点以及左右分割的索引
        best_feature, best_threshold, best_mse, best_left_idx, best_right_idx = self._find_best_split(X, y)

        # 若没有找到有效的分裂（通常不会发生），返回叶子节点
        if best_feature is None:
            return Node(value=leaf_value)

        # 递归构建左右子树
        left_subtree = self._build_tree(X[best_left_idx], y[best_left_idx], depth + 1)
        right_subtree = self._build_tree(X[best_right_idx], y[best_right_idx], depth + 1)
        return Node(feature=best_feature, threshold=best_threshold, left=left_subtree, right=right_subtree)

    def _find_best_split(self, X, y):
        """遍历所有候选分裂点，找到最优分裂"""
        best_mse = float("inf")
        best_feature, best_threshold = None, None
        best_left_idx, best_right_idx = None, None
        n_features = X.shape[1]

        # 对每个特征（这里只有 1 个特征）
        for feature in range(n_features):
            # 取该特征上的所有唯一值并排序
            unique_vals = np.sort(np.unique(X[:, feature]))
            # 如果唯一值个数不足 2，则无法分裂
            if unique_vals.shape[0] < 2:
                continue
            # 候选分裂点：相邻唯一值的中点
            candidate_thresholds = (unique_vals[:-1] + unique_vals[1:]) / 2.0
            for threshold in candidate_thresholds:
                left_idx = X[:, feature] <= threshold
                right_idx = X[:, feature] > threshold
                # 如果任一侧为空，则跳过
                if np.sum(left_idx) == 0 or np.sum(right_idx) == 0:
                    continue
                mse = self._calculate_weighted_mse(y[left_idx], y[right_idx])
                if mse < best_mse:
                    best_mse = mse
                    best_feature = feature
                    best_threshold = threshold
                    best_left_idx = left_idx
                    best_right_idx = right_idx

        return best_feature, best_threshold, best_mse, best_left_idx, best_right_idx

    def _calculate_weighted_mse(self, y_left, y_right):
        """计算左右子集的加权均方误差（这里用 SSE 再除以样本总数）"""

        def sse(y):
            mean_y = np.mean(y)
            return np.sum((y - mean_y) ** 2)

        left_sse = sse(y_left)
        right_sse = sse(y_right)
        total = len(y_left) + len(y_right)
        return (left_sse + right_sse) / total

    def predict(self, X):
        """预测多个样本"""
        return np.array([self._predict_single(x) for x in X])

    def _predict_single(self, x):
        """单个样本预测"""
        node = self.root
        while node.value is None:
            if x[node.feature] <= node.threshold:
                node = node.left
            else:
                node = node.right
        return node.value

    def print_tree(self, node=None, depth=0):
        """以文本格式打印树结构"""
        if node is None:
            node = self.root
        if node.value is not None:
            print("  " * depth + f"Leaf: {node.value:.2f}")
            return
        print("  " * depth + f"X[{node.feature}] <= {node.threshold:.2f}")
        self.print_tree(node.left, depth + 1)
        self.print_tree(node.right, depth + 1)


# ----------------------------
# 测试代码
# 数据集
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]])
y = np.array([2.0, 2.5, 4.0, 4.5, 5.0])

# 训练从零实现的 CART 回归树（最大深度设为2）
tree = CARTRegressionTree(max_depth=2)
tree.fit(X, y)

# 打印树结构，输出应为：
# X[0] <= 2.50
#   X[0] <= 1.50
#     Leaf: 2.00
#     Leaf: 2.50
#   X[0] <= 3.50
#     Leaf: 4.00
#     Leaf: 4.75
tree.print_tree()

# 生成预测数据
X_test = np.linspace(0, 6, 10).reshape(-1, 1)
y_pred = tree.predict(X_test)

# 可视化
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

plt.scatter(X, y, color="red", label="训练数据")
plt.plot(X_test, y_pred, color="blue", label="CART 预测", linewidth=2)
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.title("手写 CART 回归树")
plt.legend()
plt.show()

运行效果

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X[0] <= 2.50
  X[0] <= 1.50
    Leaf: 2.00
    Leaf: 2.50
  X[0] <= 3.50
    Leaf: 4.00
    Leaf: 4.75
sklearn实现
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor, export_text

# 1. 构造数据集
X = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape(-1, 1)
y = np.array([2.0, 2.5, 4.0, 4.5, 5.0])

# 2. 训练回归树模型
reg_tree = DecisionTreeRegressor(max_depth=2)  # 限制树深度，避免过拟合
reg_tree.fit(X, y)

# 3. 生成预测数据
X_test = np.linspace(0, 6, 100).reshape(-1, 1)  # 测试数据（0到6之间均匀取100个点）
y_pred = reg_tree.predict(X_test)

# 设置支持中文的字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题

# 4. 可视化结果
print(export_text(reg_tree, feature_names=["X"]))

plt.scatter(X, y, color="red", label="训练数据")
plt.plot(X_test, y_pred, color="blue", label="回归树预测", linewidth=2)
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.title("CART 回归树示例")
plt.legend()
plt.show()
运行效果
python 复制代码 
|--- X <= 2.50
|   |--- X <= 1.50
|   |   |--- value: [2.00]
|   |--- X >  1.50
|   |   |--- value: [2.50]
|--- X >  2.50
|   |--- X <= 3.50
|   |   |--- value: [4.00]
|   |--- X >  3.50
|   |   |--- value: [4.75]
总结
  1. 计算整个数据集的均方误差。
  2. 依次尝试所有可能的分裂点，计算 MSE，选择 MSE 最小的分裂点（X = 2.5）。
  3. 递归构建子树，直到误差足够小。

7. 总结

  • CART 是一个用于构建分类树和回归树的决策树算法。
  • 采用 基尼指数（分类） 和 MSE（回归） 作为分裂标准。
  • 采用 二分法 进行划分，保证树的可解释性。
  • 通过 剪枝 避免过拟合，提高泛化能力。
  • 相比 ID3 和 C4.5，CART 更适用于数值型数据 和回归问题。
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