3.【线性代数】——矩阵乘法和逆矩阵

三矩阵乘法和逆矩阵

- [1. 矩阵乘法](#1. 矩阵乘法)
- - - [1.1 常规方法](#1.1 常规方法)
    - [1.2 列向量组合](#1.2 列向量组合)
    - [1.3 行向量组合](#1.3 行向量组合)
    - [1.4 单行和单列的乘积和](#1.4 单行和单列的乘积和)
    - [1.5 块乘法](#1.5 块乘法)
- [2. 逆矩阵](#2. 逆矩阵)
- - - [2.1 逆矩阵的定义](#2.1 逆矩阵的定义)
    - [2.2 奇异矩阵](#2.2 奇异矩阵)
    - [2.3 Gauss-Jordan 求逆矩阵](#2.3 Gauss-Jordan 求逆矩阵)
    - - [2.3.1 求逆矩阵 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺解方程组](#2.3.1 求逆矩阵 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺解方程组)
      - [2.3.2 Gauss-Jordan求逆矩阵](#2.3.2 Gauss-Jordan求逆矩阵)

1. 矩阵乘法

1.1 常规方法

$. . . . . . . . . . . . a 31 a 32 a 33 a 34 . . . . . . . . . . . .$ ⏟ A m ∗ n $. . . . . . . . . b 14 . . . . . . . . . b 24 . . . . . . . . . b 34 . . . . . . . . . b 44$ ⏟ B n ∗ p = $. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 34 . . . . . . . . . . . .$ ⏟ C m ∗ p \underbrace{\begin{bmatrix} ...&...&...&...\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ ...&...&...&...\\ \end{bmatrix}}{A{m*n}} \underbrace{\begin{bmatrix} ...&...&...&b_{14}\\ ...&...&...&b_{24}\\ ...&...&...&b_{34}\\ ...&...&...&b_{44} \end{bmatrix}}{B{n*p}}= \underbrace{\begin{bmatrix} ...&...&...&...\\ ...&...&...&C_{34}\\ ...&...&...&... \end{bmatrix}}{C{m*p}} Am∗n ...a31......a32......a33......a34... Bn∗p ....................................b14b24b34b44 =Cm∗p ..............................C34...
C 34 = A r o w 3 ∗ B c o l 4 = ∑ i = 1 n a 3 i ∗ b i 4 C_{34} = A_{row_3}*B_{col_4} = \sum\limits_{i=1}^{n}a_{3i}*b_{i4} C34=Arow3∗Bcol4=i=1∑na3i∗bi4

1.2 列向量组合

已知
$A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33$ $B 11 B 21 B 31$ = B 11 ∗ A c o l 1 + B 21 ∗ A c o l 2 + B 31 ∗ A c o l 3 = $B 11 * A 11 + B 21 * A 12 + B 31 * A 13 B 11 * A 21 + B 21 * A 22 + B 31 * A 23 B 11 * A 31 + B 21 * A 32 + B 31 * A 33$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11}\\ B_{21}\\ B_{31} \end{bmatrix} &=B_{11}*A_{col1}+B_{21}*A_{col2}+B_{31}*A_{col3} \newline &= \begin{bmatrix} B_{11}*A_{11}+B_{21}*A_{12}+B_{31}*A_{13}\\ B_{11}*A_{21}+B_{21}*A_{22}+B_{31}*A_{23}\\ B_{11}*A_{31}+B_{21}*A_{32}+B_{31}*A_{33} \end{bmatrix}\end{aligned} A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B11B21B31 =B11∗Acol1+B21∗Acol2+B31∗Acol3= B11∗A11+B21∗A12+B31∗A13B11∗A21+B21∗A22+B31∗A23B11∗A31+B21∗A32+B31∗A33

那么
$A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33$ ⏟ A $B 11 B 12 B 21 B 22 B 31 B 32$ ⏟ B = $B 11 * A c o l 1 + B 21 * A c o l 2 + B 31 * A c o l 3 B 12 * A c o l 1 + B 22 * A c o l 2 + B 32 * A c o l 3$ ⏟ C = $B 11 * A 11 + B 21 * A 12 + B 31 * A 13 B 12 * A 11 + B 22 * A 12 + B 32 * A 13 B 11 * A 21 + B 21 * A 22 + B 31 * A 23 B 12 * A 21 + B 22 * A 22 + B 32 * A 23 B 11 * A 31 + B 21 * A 32 + B 31 * A 33 B 12 * A 31 + B 22 * A 32 + B 32 * A 33$ \begin{aligned} \underbrace{\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{bmatrix}}{A} \underbrace{\begin{bmatrix} B{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\\ B_{31}&B_{32} \end{bmatrix}}{B} &=\underbrace{\begin{bmatrix}B{11}*A_{col1}+B_{21}*A_{col2}+B_{31}*A_{col3} & B_{12}*A_{col1}+B_{22}*A_{col2}+B_{32}*A_{col3}\end{bmatrix}}{C} \newline &=\begin{bmatrix} B{11}*A_{11}+B_{21}*A_{12}+B_{31}*A_{13}& B_{12}*A_{11}+B_{22}*A_{12}+B_{32}*A_{13}\\ B_{11}*A_{21}+B_{21}*A_{22}+B_{31}*A_{23} & B_{12}*A_{21}+B_{22}*A_{22}+B_{32}*A_{23}\\ B_{11}*A_{31}+B_{21}*A_{32}+B_{31}*A_{33} & B_{12}*A_{31}+B_{22}*A_{32}+B_{32}*A_{33} \end{bmatrix}\end{aligned} A A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B B11B21B31B12B22B32 =C $B11*Acol1+B21*Acol2+B31*Acol3B12*Acol1+B22*Acol2+B32*Acol3$ = B11∗A11+B21∗A12+B31∗A13B11∗A21+B21∗A22+B31∗A23B11∗A31+B21∗A32+B31∗A33B12∗A11+B22∗A12+B32∗A13B12∗A21+B22∗A22+B32∗A23B12∗A31+B22∗A32+B32∗A33

C矩阵是A矩阵的列向量组合

1.3 行向量组合

已知
$A 11 A 12 A 13$ $B 11 B 12 B 21 B 22 B 31 B 32$ = A 11 ∗ B r o w 1 + A 12 ∗ B r o w 2 + A 13 ∗ B r o w 3 = $A 11 * B 11 A 11 * B 12 + + A 12 * B 21 A 12 * B 22 + + A 13 * B 31 A 13 * B 32$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\\ B_{31}&B_{32} \end{bmatrix} &=A_{11}*B_{row1}+A_{12}*B_{row2}+A_{13}*B_{row3} \newline &= \begin{bmatrix} A_{11}*B_{11}&A_{11}*B_{12}\\ +&+\\ A_{12}*B_{21}&A_{12}*B_{22}\\ +&+\\ A_{13}*B_{31}&A_{13}*B_{32} \end{bmatrix}\end{aligned} $A11A12A13$ B11B21B31B12B22B32 =A11∗Brow1+A12∗Brow2+A13∗Brow3= A11∗B11+A12∗B21+A13∗B31A11∗B12+A12∗B22+A13∗B32

那么
$A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33$ ⏟ A $B 11 B 12 B 21 B 22 B 31 B 32$ ⏟ B = $A 11 * B r o w 1 + A 12 * B r o w 2 + A 13 * B r o w 3 A 21 * B r o w 1 + A 22 * B r o w 2 + A 23 * B r o w 3 A 31 * B r o w 1 + A 32 * B r o w 2 + A 33 * B r o w 3$ ⏟ C \begin{aligned} \underbrace{\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{bmatrix}}{A} \underbrace{\begin{bmatrix} B{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22}\\ B_{31}&B_{32} \end{bmatrix}}{B} &=\underbrace{\begin{bmatrix} A{11}*B_{row1}+A_{12}*B_{row2}+A_{13}*B_{row3}\\ A_{21}*B_{row1}+A_{22}*B_{row2}+A_{23}*B_{row3}\\ A_{31}*B_{row1}+A_{32}*B_{row2}+A_{33}*B_{row3} \end{bmatrix}}_{C} \newline \end{aligned} A A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B B11B21B31B12B22B32 =C A11∗Brow1+A12∗Brow2+A13∗Brow3A21∗Brow1+A22∗Brow2+A23∗Brow3A31∗Brow1+A32∗Brow2+A33∗Brow3

C矩阵是B矩阵的行向量组合

1.4 单行和单列的乘积和

$2 7 3 8 4 9$ $1 6 1 1$ = $2 3 4$ $1 6$ + $7 8 9$ $1 1$ = $9 19 11 26 13 33$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} 2&7\\ 3&8\\ 4&9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6\\ 1&1\\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7\\ 8\\ 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1\\ \end{bmatrix} \newline &= \begin{bmatrix} 9&19\\ 11&26\\ 13&33 \end{bmatrix} \end{aligned} 234789 $1161$ = 234 $16$ + 789 $11$ = 91113192633

1.5 块乘法

$A 1 ∣ A 2 ------ ------ ------ A 3 ∣ A 4$ $B 1 ∣ B 2 ------ ------ ------ B 3 ∣ B 4$ = $A 1 * B 1 + A 2 * B 3 ∣ A 1 * B 2 + A 2 * B 4 ------------------------ ------ ------------------------ A 3 * B 1 + A 4 * B 3 ∣ A 3 * B 2 + A 4 * B 4$ \begin{bmatrix} A_{1}&|&A_{2}\\ ------&------&------\\ A_{3}&|&A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{1}&|&B_{2}\\ ------&------&------\\ B_{3}&|&B_{4} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} A_{1}*B_{1}+A_2*B_{3}&|&A_{1}*B_{2}+A_2*B_{4}\\ ------------------------&------&------------------------\\ A_{3}*B_{1}+A_4*B_{3}&|&A_{3}*B_{2}+A_4*B_{4} \end{bmatrix} A1------A3∣------∣A2------A4 B1------B3∣------∣B2------B4 = A1∗B1+A2∗B3------------------------A3∗B1+A4∗B3∣------∣A1∗B2+A2∗B4------------------------A3∗B2+A4∗B4

2. 逆矩阵

2.1 逆矩阵的定义

存在
A − 1 A = I A^{-1}A = I A−1A=I

那么，称 A − 1 A^{-1} A−1为A的逆矩阵，A是可逆的，记为非奇异矩阵

当A为方阵（行数=列数）时，左逆矩阵=右逆矩阵
A − 1 A = I = A A − 1 A^{-1}A = I=AA^{-1} A−1A=I=AA−1

2.2 奇异矩阵

存在 A x = 0 ( x 非零向量 ) ⇒ A 不可逆 Ax=0(x非零向量)\Rightarrow A不可逆 Ax=0(x非零向量)⇒A不可逆

证明如下
A x = 0 ⇒ A − 1 A = I A − 1 A x = 0 ⇒ x = 0 （与 x 为非零向量冲突） \begin{aligned} &Ax = 0 \newline&\xRightarrow{A^{-1}A=I} A^{-1}Ax=0\newline &\xRightarrow{} x=0 （与x为非零向量冲突） \end{aligned} Ax=0A−1A=I A−1Ax=0 x=0（与x为非零向量冲突）

延伸（学习了后面的列向量等）：

A x Ax Ax是A的列向量的线性组合， A x = 0 有解 Ax=0有解 Ax=0有解说明，存在A的列向量的组合为0，A不是满秩矩阵。
那么奇异矩阵不是满秩矩阵
那能不能说明由此推导出满秩矩阵可逆？
好像不是很充分，除非能推导出 A x = 0 ( x 非零向量 ) 无解 ⇒ A 可逆 Ax=0(x非零向量)无解\Rightarrow A可逆 Ax=0(x非零向量)无解⇒A可逆

2.3 Gauss-Jordan 求逆矩阵

2.3.1 求逆矩阵 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺解方程组

$1 3 2 7$ ⏟ A $a c b d$ ⏟ A − 1 = $1 0 0 1$ ⏟ I ⟺ { a + 3 b = 1 2 c + 7 d = 1 \underbrace{\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&7 \end{bmatrix}}{A} \underbrace{\begin{bmatrix} a&c\\ b&d \end{bmatrix}}{A^{-1}} =\underbrace{\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}}_{I} \Longleftrightarrow \begin{cases} a+3b=1 \\ 2c+7d=1\\ \end{cases} A $1237$ A−1 $abcd$ =I $1001$ ⟺{a+3b=12c+7d=1

2.3.2 Gauss-Jordan求逆矩阵

A A − 1 = I AA^{-1}=I AA−1=I 可写为：
{ $1 3 2 7$ $a b$ = $1 0$ $1 3 2 7$ $c d$ = $0 1$ \begin{cases} \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} 1&3\\ 2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ $1237$ $ab$ = $10$ $1237$ $cd$ = $01$

1 3 1 0 2 7 0 1 \] ⏟ 增广矩阵\[A\|I\] ⇒ r o w 2 − 2 r o w 1 \[ 1 3 1 0 0 1 − 2 1 \] ⇒ r o w 1 − 3 r o w 2 \[ 1 0 7 − 3 0 1 − 2 1 \] ⏟ \[ I ∣ E \] \\begin{aligned} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&3\&1\&0\\\\ 2\&7\&0\&1 \\end{bmatrix}}_{\\text{增广矩阵\[A\|I\]}} \&\\xRightarrow{row_{2}-2row_{1}} \\begin{bmatrix} 1\&3\&1\&0\\\\ 0\&1\&-2\&1 \\end{bmatrix} \\newline\&\\xRightarrow{row_{1}-3row_{2}} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\&7\&-3\\\\ 0\&1\&-2\&1 \\end{bmatrix}}_{\[I\|E\]} \\end{aligned} 增广矩阵\[A\|I\] \[12371001\]row2−2row1 \[10311−201\]row1−3row2 \[I∣E\] \[10017−2−31

第一种，老师上课讲的，公式推导
E $A I$ = $I E$ ⇒ E A = I ⇒ E = A − 1 E\begin{bmatrix} A&I \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} I&E \end{bmatrix} \Rightarrow EA=I \Rightarrow E = A^{-1} E $AI$ = $IE$ ⇒EA=I⇒E=A−1

ps:

从矩阵A经过消元变成了单位矩阵, 那么A满秩，不然变不成单位矩阵。
所以说，如果A可逆，那么A一定是满秩矩阵。
如果A满秩，那么A一定可逆。

第二种，回代到方程组中，也能求出解
{ $1 0 0 1$ $a b$ = $7 - 2$ $1 0 0 1$ $c d$ = $- 3 1$ ⇒ { a = 7 b = − 2 c = − 3 d = 1 \begin{cases} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\-2 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\\1 \end{bmatrix} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 7\\ b=-2\\ c=-3\\ d=1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ $1001$ $ab$ = $7-2$ $1001$ $cd$ = $-31$ ⇒⎩ ⎨ ⎧a=7b=−2c=−3d=1