三 矩阵乘法和逆矩阵
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- [1. 矩阵乘法](#1. 矩阵乘法)
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- [1.1 常规方法](#1.1 常规方法)
- [1.2 列向量组合](#1.2 列向量组合)
- [1.3 行向量组合](#1.3 行向量组合)
- [1.4 单行和单列的乘积和](#1.4 单行和单列的乘积和)
- [1.5 块乘法](#1.5 块乘法)
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- [2. 逆矩阵](#2. 逆矩阵)
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- [2.1 逆矩阵的定义](#2.1 逆矩阵的定义)
- [2.2 奇异矩阵](#2.2 奇异矩阵)
- [2.3 Gauss-Jordan 求逆矩阵](#2.3 Gauss-Jordan 求逆矩阵)
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- [2.3.1 求逆矩阵 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺解方程组](#2.3.1 求逆矩阵 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺解方程组)
- [2.3.2 Gauss-Jordan求逆矩阵](#2.3.2 Gauss-Jordan求逆矩阵)
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1. 矩阵乘法
1.1 常规方法
. . . . . . . . . . . . a 31 a 32 a 33 a 34 . . . . . . . . . . . . \] ⏟ A m ∗ n \[ . . . . . . . . . b 14 . . . . . . . . . b 24 . . . . . . . . . b 34 . . . . . . . . . b 44 \] ⏟ B n ∗ p = \[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 34 . . . . . . . . . . . . \] ⏟ C m ∗ p \\underbrace{\\begin{bmatrix} ...\&...\&...\&...\\\\ a_{31}\&a_{32}\&a_{33}\&a_{34}\\\\ ...\&...\&...\&...\\\\ \\end{bmatrix}}_{A_{m\*n}} \\underbrace{\\begin{bmatrix} ...\&...\&...\&b_{14}\\\\ ...\&...\&...\&b_{24}\\\\ ...\&...\&...\&b_{34}\\\\ ...\&...\&...\&b_{44} \\end{bmatrix}}_{B_{n\*p}}= \\underbrace{\\begin{bmatrix} ...\&...\&...\&...\\\\ ...\&...\&...\&C_{34}\\\\ ...\&...\&...\&... \\end{bmatrix}}_{C_{m\*p}} Am∗n ...a31......a32......a33......a34... Bn∗p ....................................b14b24b34b44 =Cm∗p ..............................C34... C 34 = A r o w 3 ∗ B c o l 4 = ∑ i = 1 n a 3 i ∗ b i 4 C_{34} = A_{row_3}\*B_{col_4} = \\sum\\limits_{i=1}\^{n}a_{3i}\*b_{i4} C34=Arow3∗Bcol4=i=1∑na3i∗bi4 ##### 1.2 列向量组合 已知 \[ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 \] \[ B 11 B 21 B 31 \] = B 11 ∗ A c o l 1 + B 21 ∗ A c o l 2 + B 31 ∗ A c o l 3 = \[ B 11 ∗ A 11 + B 21 ∗ A 12 + B 31 ∗ A 13 B 11 ∗ A 21 + B 21 ∗ A 22 + B 31 ∗ A 23 B 11 ∗ A 31 + B 21 ∗ A 32 + B 31 ∗ A 33 \] \\begin{aligned} \\begin{bmatrix} A_{11}\&A_{12}\&A_{13}\\\\ A_{21}\&A_{22}\&A_{23}\\\\ A_{31}\&A_{32}\&A_{33} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} B_{11}\\\\ B_{21}\\\\ B_{31} \\end{bmatrix} \&=B_{11}\*A_{col1}+B_{21}\*A_{col2}+B_{31}\*A_{col3} \\newline \&= \\begin{bmatrix} B_{11}\*A_{11}+B_{21}\*A_{12}+B_{31}\*A_{13}\\\\ B_{11}\*A_{21}+B_{21}\*A_{22}+B_{31}\*A_{23}\\\\ B_{11}\*A_{31}+B_{21}\*A_{32}+B_{31}\*A_{33} \\end{bmatrix}\\end{aligned} A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B11B21B31 =B11∗Acol1+B21∗Acol2+B31∗Acol3= B11∗A11+B21∗A12+B31∗A13B11∗A21+B21∗A22+B31∗A23B11∗A31+B21∗A32+B31∗A33 那么 \[ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 \] ⏟ A \[ B 11 B 12 B 21 B 22 B 31 B 32 \] ⏟ B = \[ B 11 ∗ A c o l 1 + B 21 ∗ A c o l 2 + B 31 ∗ A c o l 3 B 12 ∗ A c o l 1 + B 22 ∗ A c o l 2 + B 32 ∗ A c o l 3 \] ⏟ C = \[ B 11 ∗ A 11 + B 21 ∗ A 12 + B 31 ∗ A 13 B 12 ∗ A 11 + B 22 ∗ A 12 + B 32 ∗ A 13 B 11 ∗ A 21 + B 21 ∗ A 22 + B 31 ∗ A 23 B 12 ∗ A 21 + B 22 ∗ A 22 + B 32 ∗ A 23 B 11 ∗ A 31 + B 21 ∗ A 32 + B 31 ∗ A 33 B 12 ∗ A 31 + B 22 ∗ A 32 + B 32 ∗ A 33 \] \\begin{aligned} \\underbrace{\\begin{bmatrix} A_{11}\&A_{12}\&A_{13}\\\\ A_{21}\&A_{22}\&A_{23}\\\\ A_{31}\&A_{32}\&A_{33} \\end{bmatrix}}_{A} \\underbrace{\\begin{bmatrix} B_{11}\&B_{12}\\\\ B_{21}\&B_{22}\\\\ B_{31}\&B_{32} \\end{bmatrix}}_{B} \&=\\underbrace{\\begin{bmatrix}B_{11}\*A_{col1}+B_{21}\*A_{col2}+B_{31}\*A_{col3} \& B_{12}\*A_{col1}+B_{22}\*A_{col2}+B_{32}\*A_{col3}\\end{bmatrix}}_{C} \\newline \&=\\begin{bmatrix} B_{11}\*A_{11}+B_{21}\*A_{12}+B_{31}\*A_{13}\& B_{12}\*A_{11}+B_{22}\*A_{12}+B_{32}\*A_{13}\\\\ B_{11}\*A_{21}+B_{21}\*A_{22}+B_{31}\*A_{23} \& B_{12}\*A_{21}+B_{22}\*A_{22}+B_{32}\*A_{23}\\\\ B_{11}\*A_{31}+B_{21}\*A_{32}+B_{31}\*A_{33} \& B_{12}\*A_{31}+B_{22}\*A_{32}+B_{32}\*A_{33} \\end{bmatrix}\\end{aligned} A A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B B11B21B31B12B22B32 =C \[B11∗Acol1+B21∗Acol2+B31∗Acol3B12∗Acol1+B22∗Acol2+B32∗Acol3\]= B11∗A11+B21∗A12+B31∗A13B11∗A21+B21∗A22+B31∗A23B11∗A31+B21∗A32+B31∗A33B12∗A11+B22∗A12+B32∗A13B12∗A21+B22∗A22+B32∗A23B12∗A31+B22∗A32+B32∗A33 C矩阵是A矩阵的列向量组合 ##### 1.3 行向量组合 已知 \[ A 11 A 12 A 13 \] \[ B 11 B 12 B 21 B 22 B 31 B 32 \] = A 11 ∗ B r o w 1 + A 12 ∗ B r o w 2 + A 13 ∗ B r o w 3 = \[ A 11 ∗ B 11 A 11 ∗ B 12 + + A 12 ∗ B 21 A 12 ∗ B 22 + + A 13 ∗ B 31 A 13 ∗ B 32 \] \\begin{aligned} \\begin{bmatrix} A_{11}\&A_{12}\&A_{13} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} B_{11}\&B_{12}\\\\ B_{21}\&B_{22}\\\\ B_{31}\&B_{32} \\end{bmatrix} \&=A_{11}\*B_{row1}+A_{12}\*B_{row2}+A_{13}\*B_{row3} \\newline \&= \\begin{bmatrix} A_{11}\*B_{11}\&A_{11}\*B_{12}\\\\ +\&+\\\\ A_{12}\*B_{21}\&A_{12}\*B_{22}\\\\ +\&+\\\\ A_{13}\*B_{31}\&A_{13}\*B_{32} \\end{bmatrix}\\end{aligned} \[A11A12A13\] B11B21B31B12B22B32 =A11∗Brow1+A12∗Brow2+A13∗Brow3= A11∗B11+A12∗B21+A13∗B31A11∗B12+A12∗B22+A13∗B32 那么 \[ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 \] ⏟ A \[ B 11 B 12 B 21 B 22 B 31 B 32 \] ⏟ B = \[ A 11 ∗ B r o w 1 + A 12 ∗ B r o w 2 + A 13 ∗ B r o w 3 A 21 ∗ B r o w 1 + A 22 ∗ B r o w 2 + A 23 ∗ B r o w 3 A 31 ∗ B r o w 1 + A 32 ∗ B r o w 2 + A 33 ∗ B r o w 3 \] ⏟ C \\begin{aligned} \\underbrace{\\begin{bmatrix} A_{11}\&A_{12}\&A_{13}\\\\ A_{21}\&A_{22}\&A_{23}\\\\ A_{31}\&A_{32}\&A_{33} \\end{bmatrix}}_{A} \\underbrace{\\begin{bmatrix} B_{11}\&B_{12}\\\\ B_{21}\&B_{22}\\\\ B_{31}\&B_{32} \\end{bmatrix}}_{B} \&=\\underbrace{\\begin{bmatrix} A_{11}\*B_{row1}+A_{12}\*B_{row2}+A_{13}\*B_{row3}\\\\ A_{21}\*B_{row1}+A_{22}\*B_{row2}+A_{23}\*B_{row3}\\\\ A_{31}\*B_{row1}+A_{32}\*B_{row2}+A_{33}\*B_{row3} \\end{bmatrix}}_{C} \\newline \\end{aligned} A A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B B11B21B31B12B22B32 =C A11∗Brow1+A12∗Brow2+A13∗Brow3A21∗Brow1+A22∗Brow2+A23∗Brow3A31∗Brow1+A32∗Brow2+A33∗Brow3 C矩阵是B矩阵的行向量组合 ##### 1.4 单行和单列的乘积和 \[ 2 7 3 8 4 9 \] \[ 1 6 1 1 \] = \[ 2 3 4 \] \[ 1 6 \] + \[ 7 8 9 \] \[ 1 1 \] = \[ 9 19 11 26 13 33 \] \\begin{aligned} \\begin{bmatrix} 2\&7\\\\ 3\&8\\\\ 4\&9 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1\&6\\\\ 1\&1\\\\ \\end{bmatrix} \&= \\begin{bmatrix} 2\\\\ 3\\\\ 4 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1\&6\\\\ \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 7\\\\ 8\\\\ 9 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1\&1\\\\ \\end{bmatrix} \\newline \&= \\begin{bmatrix} 9\&19\\\\ 11\&26\\\\ 13\&33 \\end{bmatrix} \\end{aligned} 234789 \[1161\]= 234 \[16\]+ 789 \[11\]= 91113192633 ##### 1.5 块乘法 \[ A 1 ∣ A 2 ------ ------ ------ A 3 ∣ A 4 \] \[ B 1 ∣ B 2 ------ ------ ------ B 3 ∣ B 4 \] = \[ A 1 ∗ B 1 + A 2 ∗ B 3 ∣ A 1 ∗ B 2 + A 2 ∗ B 4 ------------------------ ------ ------------------------ A 3 ∗ B 1 + A 4 ∗ B 3 ∣ A 3 ∗ B 2 + A 4 ∗ B 4 \] \\begin{bmatrix} A_{1}\&\|\&A_{2}\\\\ ------\&------\&------\\\\ A_{3}\&\|\&A_{4} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} B_{1}\&\|\&B_{2}\\\\ ------\&------\&------\\\\ B_{3}\&\|\&B_{4} \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} A_{1}\*B_{1}+A_2\*B_{3}\&\|\&A_{1}\*B_{2}+A_2\*B_{4}\\\\ ------------------------\&------\&------------------------\\\\ A_{3}\*B_{1}+A_4\*B_{3}\&\|\&A_{3}\*B_{2}+A_4\*B_{4} \\end{bmatrix} A1------A3∣------∣A2------A4 B1------B3∣------∣B2------B4 = A1∗B1+A2∗B3------------------------A3∗B1+A4∗B3∣------∣A1∗B2+A2∗B4------------------------A3∗B2+A4∗B4 ### 2. 逆矩阵 ##### 2.1 逆矩阵的定义 存在 A − 1 A = I A\^{-1}A = I A−1A=I 那么，称 A − 1 A\^{-1} A−1为A的逆矩阵，A是可逆的，记为非奇异矩阵 当A为方阵（行数=列数）时，左逆矩阵=右逆矩阵 A − 1 A = I = A A − 1 A\^{-1}A = I=AA\^{-1} A−1A=I=AA−1 ##### 2.2 奇异矩阵 存在 A x = 0 ( x 非零向量 ) ⇒ A 不可逆 Ax=0(x非零向量)\\Rightarrow A不可逆 Ax=0(x非零向量)⇒A不可逆 证明如下 A x = 0 ⇒ A − 1 A = I A − 1 A x = 0 ⇒ x = 0 （与 x 为非零向量冲突） \\begin{aligned} \&Ax = 0 \\newline\&\\xRightarrow{A\^{-1}A=I} A\^{-1}Ax=0\\newline \&\\xRightarrow{} x=0 （与x为非零向量冲突） \\end{aligned} Ax=0A−1A=I A−1Ax=0 x=0（与x为非零向量冲突） 延伸（学习了后面的列向量等）： * A x Ax Ax是A的列向量的线性组合， A x = 0 有解 Ax=0有解 Ax=0有解说明，存在A的列向量的组合为0，A不是满秩矩阵。 * 那么奇异矩阵不是满秩矩阵 那能不能说明由此推导出满秩矩阵可逆？ 好像不是很充分，除非能推导出 A x = 0 ( x 非零向量 ) 无解 ⇒ A 可逆 Ax=0(x非零向量)无解\\Rightarrow A可逆 Ax=0(x非零向量)无解⇒A可逆 ##### 2.3 Gauss-Jordan 求逆矩阵 ###### 2.3.1 求逆矩阵 ⟺ \\Longleftrightarrow ⟺解方程组 \[ 1 3 2 7 \] ⏟ A \[ a c b d \] ⏟ A − 1 = \[ 1 0 0 1 \] ⏟ I ⟺ { a + 3 b = 1 2 c + 7 d = 1 \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&3\\\\ 2\&7 \\end{bmatrix}}_{A} \\underbrace{\\begin{bmatrix} a\&c\\\\ b\&d \\end{bmatrix}}_{A\^{-1}} =\\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\\\\ 0\&1 \\end{bmatrix}}_{I} \\Longleftrightarrow \\begin{cases} a+3b=1 \\\\ 2c+7d=1\\\\ \\end{cases} A \[1237\]A−1 \[abcd\]=I \[1001\]⟺{a+3b=12c+7d=1 ###### 2.3.2 Gauss-Jordan求逆矩阵 A A − 1 = I AA\^{-1}=I AA−1=I 可写为： { \[ 1 3 2 7 \] \[ a b \] = \[ 1 0 \] \[ 1 3 2 7 \] \[ c d \] = \[ 0 1 \] \\begin{cases} \\begin{bmatrix} 1\&3\\\\ 2\&7 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a\\\\b \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1\\\\0 \\end{bmatrix} \\\\\\\\ \\begin{bmatrix} 1\&3\\\\ 2\&7 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} c\\\\d \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0\\\\1 \\end{bmatrix} \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧\[1237\]\[ab\]=\[10\]\[1237\]\[cd\]=\[01
1 3 1 0 2 7 0 1 \] ⏟ 增广矩阵\[A\|I\] ⇒ r o w 2 − 2 r o w 1 \[ 1 3 1 0 0 1 − 2 1 \] ⇒ r o w 1 − 3 r o w 2 \[ 1 0 7 − 3 0 1 − 2 1 \] ⏟ \[ I ∣ E \] \\begin{aligned} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&3\&1\&0\\\\ 2\&7\&0\&1 \\end{bmatrix}}_{\\text{增广矩阵\[A\|I\]}} \&\\xRightarrow{row_{2}-2row_{1}} \\begin{bmatrix} 1\&3\&1\&0\\\\ 0\&1\&-2\&1 \\end{bmatrix} \\newline\&\\xRightarrow{row_{1}-3row_{2}} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\&7\&-3\\\\ 0\&1\&-2\&1 \\end{bmatrix}}_{\[I\|E\]} \\end{aligned} 增广矩阵\[A\|I\] \[12371001\]row2−2row1 \[10311−201\]row1−3row2 \[I∣E\] \[10017−2−31
第一种，老师上课讲的，公式推导
E [ A I ] = [ I E ] ⇒ E A = I ⇒ E = A − 1 E\begin{bmatrix} A&I \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} I&E \end{bmatrix} \Rightarrow EA=I \Rightarrow E = A^{-1} E[AI]=[IE]⇒EA=I⇒E=A−1
ps:
- 从矩阵A经过消元变成了单位矩阵, 那么A满秩，不然变不成单位矩阵。
- 所以说，如果A可逆，那么A一定是满秩矩阵。
- 如果A满秩，那么A一定可逆。
第二种，回代到方程组中，也能求出解
{ [ 1 0 0 1 ] [ a b ] = [ 7 − 2 ] [ 1 0 0 1 ] [ c d ] = [ − 3 1 ] ⇒ { a = 7 b = − 2 c = − 3 d = 1 \begin{cases} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\-2 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\\1 \end{bmatrix} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 7\\ b=-2\\ c=-3\\ d=1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧[1001][ab]=[7−2][1001][cd]=[−31]⇒⎩ ⎨ ⎧a=7b=−2c=−3d=1