四元数如何用于 3D 旋转（代替欧拉角和旋转矩阵）
在三维空间中，物体的旋转可以用 欧拉角、旋转矩阵 或 四元数 来表示。
四元数相比于欧拉角和旋转矩阵有 计算更高效、避免万向锁、存储占用少 等优点，因此广泛用于 游戏开发、机器人学、计算机图形学和航空航天 等领域。
四元数的定义
一个四元数 q 由四个实数组成：
q = w + x i + y j + z k q=w+xi+yj+zk q=w+xi+yj+zk
其中：w,x,y,z 是实数；i,j,k 是虚单位，满足特定的乘法规则
旋转的基本表示方式
| 方式 | 表示方法 | 优缺点 |
|---|---|---|
| 欧拉角（Euler Angles） | (α,β,γ) 对应绕 X, Y, Z 轴的旋转 | 优点：直观易理解，和现实生活的旋转方式类似。缺点：存在万向锁（Gimbal Lock）问题，计算复杂。 |
| 旋转矩阵（Rotation Matrix） | 3×3 矩阵 | 优点：适用于线性代数计算，方便复合旋转。缺点：需要存储 9 个值，数值误差累积会导致非正交性。 |
| 四元数（Quaternion） | q=w+xi+yj+zk | 优点：旋转计算简单，存储更紧凑（只需要 4 个数），避免万向锁，插值平滑。缺点：不直观，不容易手动调整。 |
旋转四元数的定义
一个 旋转四元数q 表示围绕单位向量 (x,y,z) 旋转角度 θ 的旋转：
q = cos θ 2 + sin θ 2 ( x i + y j + z k ) q=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}) q=cos2θ+sin2θ(xi+yj+zk)
或写成向量形式：
q = ( cos θ 2 , x sin θ 2 , y sin θ 2 , z sin θ 2 ) q=\left(\cos\frac{\theta}{2},x\sin\frac{\theta}{2},y\sin\frac{\theta}{2},z\sin\frac{\theta}{2}\right) q=(cos2θ,xsin2θ,ysin2θ,zsin2θ)
其中：θ 是旋转角度
(x,y,z) 是旋转轴（必须是单位向量）
(xi,yj,zk) 是四元数的虚部，表示旋转方向
注意 ：旋转四元数必须是单位四元数，即满足：
∣ q ∣ = w 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 |q|=\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}=1 ∣q∣=w2+x2+y2+z2 =1
使用四元数进行 3D 旋转
假设有一个点 v = ( v x , v y , v z ) \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) v=(vx,vy,vz)，我们想用四元数 q 旋转它。方法如下：
- 将点转换为纯四元数（虚部存储向量坐标）
p = ( 0 , v x , v y , v z ) p=(0,v_x,v_y,v_z) p=(0,vx,vy,vz) - 计算旋转后的点
p ′ = q p q − 1 p^{\prime}=qpq^{-1} p′=qpq−1
其中： q − 1 q^{-1} q−1是四元数的逆（单位四元数的逆就是它的共轭）
旋转后的点 p ′ p^{\prime} p′也是一个纯四元数，其中的虚部给出新坐标。 - 单位四元数的逆
q − 1 = q ∗ = ( cos θ 2 , − x sin θ 2 , − y sin θ 2 , − z sin θ 2 ) q^{-1}=q^*=(\cos\frac{\theta}{2},-x\sin\frac{\theta}{2},-y\sin\frac{\theta}{2},-z\sin\frac{\theta}{2}) q−1=q∗=(cos2θ,−xsin2θ,−ysin2θ,−zsin2θ)
例程（C语言）
旋转 (1, 0, 0) 向量 绕 Y 轴旋转 90°。
计算后，结果应该接近 (0, 0, -1)，即 X 轴向量变成 Z 轴负方向。
c
#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 定义四元数结构体
typedef struct {
double w, x, y, z;
} Quaternion;
// 定义向量结构体
typedef struct {
double x, y, z;
} Vector3;
// 归一化四元数（单位四元数）
Quaternion normalize(Quaternion q) {
double magnitude = sqrt(q.w * q.w + q.x * q.x + q.y * q.y + q.z * q.z);
q.w /= magnitude;
q.x /= magnitude;
q.y /= magnitude;
q.z /= magnitude;
return q;
}
// 计算四元数的共轭
Quaternion conjugate(Quaternion q) {
Quaternion conj = {q.w, -q.x, -q.y, -q.z};
return conj;
}
// 计算两个四元数的乘法
Quaternion multiply(Quaternion q1, Quaternion q2) {
Quaternion result;
result.w = q1.w * q2.w - q1.x * q2.x - q1.y * q2.y - q1.z * q2.z;
result.x = q1.w * q2.x + q1.x * q2.w + q1.y * q2.z - q1.z * q2.y;
result.y = q1.w * q2.y - q1.x * q2.z + q1.y * q2.w + q1.z * q2.x;
result.z = q1.w * q2.z + q1.x * q2.y - q1.y * q2.x + q1.z * q2.w;
return result;
}
// 旋转向量 v 使用四元数 q
Vector3 rotate_vector(Vector3 v, Quaternion q) {
Quaternion p = {0, v.x, v.y, v.z}; // 将向量转换为纯四元数
Quaternion q_conj = conjugate(q); // 计算四元数共轭
// 计算旋转后的四元数 p' = q * p * q^(-1)
Quaternion temp = multiply(q, p);
Quaternion rotated = multiply(temp, q_conj);
// 结果的虚部即为旋转后的向量
Vector3 result = {rotated.x, rotated.y, rotated.z};
return result;
}
// 生成绕 (ux, uy, uz) 轴旋转 theta 角度的四元数
Quaternion from_axis_angle(double ux, double uy, double uz, double theta) {
Quaternion q;
double half_theta = theta * M_PI / 360.0; // 角度转弧度并除以 2
double sin_half_theta = sin(half_theta);
q.w = cos(half_theta);
q.x = ux * sin_half_theta;
q.y = uy * sin_half_theta;
q.z = uz * sin_half_theta;
return normalize(q);
}
int main() {
// 定义一个向量 (1, 0, 0)
Vector3 v = {1, 0, 0};
// 绕 Y 轴旋转 90 度的四元数
Quaternion q = from_axis_angle(0, 1, 0, 90);
// 旋转向量
Vector3 rotated_v = rotate_vector(v, q);
// 输出旋转后的结果
printf("旋转后向量: (%f, %f, %f)\n", rotated_v.x, rotated_v.y, rotated_v.z);
return 0;
}代码解析
- 定义数据结构
Quaternion 结构体存储四元数（w, x, y, z）
Vector3 结构体存储 3D 向量（x, y, z） - 归一化四元数
旋转四元数必须是 单位四元数，所以 normalize() 函数保证四元数的模长为 1。 - 计算四元数共轭
conjugate() 计算 （对于单位四元数，逆就是共轭）。 - 四元数乘法
multiply() 执行两个四元数的乘法，用于计算旋转变换。 - 向量旋转
rotate_vector() 采用公式 计算旋转后的向量。 - 从轴-角度转换为四元数
from_axis_angle() 计算沿任意轴旋转 theta 角度的旋转四元数。
如预期，原来的 (1, 0, 0) 经过 绕 Y 轴旋转 90° 后变成了 (0, 0, -1)