Codeforces Round 1004 (Div. 1) C. Bitwise Slides

题意：

给你一个数组，三个整数P，Q，R
每一个操作使得P，Q，R三个数中的某个数异或s[i]
每一步操作后需要保证三个数中至少两个数相同，问合法操作的种类数

思路：

首先考虑二维 d p dp dp,假设当前三个数为上一次操作后三个数为 i,i,j,那么 d p i , j dp_{i,j} dpi,j代表上次操作产生i,i,j的种类数

假设当前的数为s[i],那么那么有以下转移方程：
d p [ 0 ] [ 0 ] × 3 → d p [ 0 ] [ s [ i ] ] d p [ i ] [ j ] → d p [ i ] [ j ⊕ s [ i ] ] if j ⊕ s [ i ] ≠ i d p [ i ] [ j ] × 2 → d p [ j ] [ i ] if j ⊕ s [ i ] = i \begin{aligned} dp[0][0] \times 3 &\rightarrow dp[0][s[i]] \\ dp[i][j] &\rightarrow dp[i][j \oplus s[i]] \quad \text{if} \ j \oplus s[i] \neq i \\ dp[i][j] \times 2 &\rightarrow dp[j][i] \quad \text{if} \ j \oplus s[i] = i \end{aligned} dp[0][0]×3dp[i][j]dp[i][j]×2→dp[0][s[i]]→dp[i][j⊕s[i]]if j⊕s[i]=i→dp[j][i]if j⊕s[i]=i

我们发现，只记录 y = i ⊕ j y=i \oplus j y=i⊕j可以使得
d p ′ [ y ] = ∑ i = j ⊕ y d p [ i ] [ j ] dp^{'}[y]=\sum _{i=j \oplus y} dp[i][j] dp′[y]=i=j⊕y∑dp[i][j]

这样,转移方程变为：
d p [ 0 ] × 3 → d p [ s [ i ] ] d p [ s [ i ] ] → 2 × d p [ s [ i ] ] d p [ i ] → d p [ i ⊕ s [ i ] ] for all i \begin{aligned} dp[0] \times 3 &\rightarrow dp[s[i]] \\ dp[s[i]] &\rightarrow 2 \times dp[s[i]] \\ dp[i] &\rightarrow dp[i \oplus s[i]] \quad \text{for all} \ i \end{aligned} dp[0]×3dp[s[i]]dp[i]→dp[s[i]]→2×dp[s[i]]→dp[i⊕s[i]]for all i

由此我们可以写出以下代码：

cpp 复制代码

		map<int, int> dp;
        dp[s[0]] = 3;
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            map<int, int> tem;
            for (auto j : dp)
            {
                if (j.first == s[i])
                    tem[s[i]] = (tem[s[i]] + (dp[j.first] * 2) % mod) % mod;
                if (j.first != 0)
                    tem[j.first ^ s[i]] = (tem[j.first ^ s[i]] + dp[j.first]) % mod;
                else
                    tem[j.first ^ s[i]] = (tem[j.first ^ s[i]] + (dp[j.first] * 3) % mod) % mod;
            }
            dp = tem;
        }

我们发现设置一个tag能将所有 d p [ x ] dp[x] dp[x] 整体变为 d p [ x ⊕ s [ i ] ] dp[x \oplus s[i]] dp[x⊕s[i]],于是有了以下优化

cpp 复制代码

		map<int, int> dp;
        dp[s[0]] = 3;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            dp[now] = (dp[now] * 3) % mod, dp[now] = (dp[now] + (dp[now ^ s[i]] * 2) % mod) % mod, now ^= s[i];

从左到右枚举所有数后 ,答案为 ∑ d p [ i ] \sum dp[i] ∑dp[i]

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long int
#define Paddi ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int mod = 1e9 + 7;
signed main()
{
    Paddi;
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        vector<int> s(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cin >> s[i];
        int ans = 0;
        int now = 0;
        map<int, int> dp;
        dp[s[0]] = 3;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            dp[now] = (dp[now] * 3) % mod, dp[now] = (dp[now] + (dp[now ^ s[i]] * 2) % mod) % mod, now ^= s[i];
        for (auto i : dp)
            ans = (ans + i.second) % mod;
        cout << ans % mod << endl;
    }
    return 0;
}