图距离（两节点之间最短路径长/边数）
图距离是指两个节点之间的最短路径的长度（有关路径的概念请见上期）。
- 在无权图中，图距离表示两个节点之间的最短路径的边数（有权图每条边才有欧式距离等权重）
- 用于衡量图中节点之间的距离或相似性
1、寻找&绘制最短路径
- 用 **networkx.shortest_path()**找到图中两节点之间最短路径图
python
#用俱乐部数据集，查看图
G = nx.karate_club_graph()
# 空手道俱乐部图
pos = nx.spring_layout(G,seed=3)
plt.figure(figsize = (14,9))
nx.draw_networkx(G, pos)
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,nodelist = [12,18],node_color = 'r') #可选择任意几个点标红，这里选择12和18
plt.savefig('空手道俱乐部图.svg')
python
path_nodes = nx.shortest_path(G, 12, 18) # 找到节点12、18之间最短路径。返回一个数组[12, 0, 2, 32, 18]依次连接几个节点即可
path_edges = list(nx.utils.pairwise(path_nodes))
# 在路径节点序列中获取相邻元素的配对转化为边序列 [(12, 0), (0, 2), (2, 32), (32, 18)]
#(不封闭)参数 cyclic=False 为默认，当为True 生成首尾闭合路径边序列
plt.figure(figsize = (14,9))
nx.draw_networkx(G, pos)
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,
nodelist = path_nodes,
node_color = 'r')
nx.draw_networkx_edges(G,pos,
edgelist = path_edges,
edge_color = 'r') #绘制最短路径节点，节点颜色为红色
plt.savefig('空手道俱乐部图，15、16最短路径.svg')
2、图距离矩阵
- 图距离矩阵 ：一张图每一对节点之间的图距离构造的矩阵，提供了图中节点之间的所有可能路径的距离信息。
python
# 成对最短距离值 (图距离)
distances_all = dict(nx.shortest_path_length(G)) #这里未选择某两个节点，意思是找到每个节点两两之间的最短路径距离。并转化为字典格式
# 创建图距离矩阵
list_nodes = list(G.nodes())
Shortest_D_matrix = np.full((len(G.nodes()),
len(G.nodes())), np.nan)
#将嵌套字典转换为图距离矩阵。第一个 for 循环遍历list_nodes 列表中的所有节点，相当于始点。第二层 for 循环相当于遍历所有终点
for i,i_node in enumerate(list_nodes):
for j,j_node in enumerate(list_nodes):
#用 try ... except ... 处理可能不存在路径的情况
try:
d_ij = distances_all[i_node][j_node]
Shortest_D_matrix[i][j] = d_ij
except KeyError:
print(i_node + ' to ' + j_node + ': no path')
Shortest_D_matrix.max()
# 图距离最大值
# 用热图可视化图距离矩阵
plt.figure(figsize = (14,9))
sns.heatmap(Shortest_D_matrix, cmap = 'Reds',
annot = False,
xticklabels = list(G.nodes),
yticklabels = list(G.nodes),
linecolor = 'k', square = True,
cbar = True,
linewidths = 0.2)
plt.savefig('图距离矩阵，无权图.svg')
由于数据集为无权无向图，图距离矩阵对称，且图距离就是最短路径的边数 （范围在1~5）。下面统计下每个距离值（边数）的频数 并绘制柱状图。
python
# 取出图距离矩阵中所有成对图距离 (不含对角线下三角元素)------因为对于无向图而言，矩阵对称，比如12-18与18-12之间的图距离相等
# 使用numpy.tril获取下三角矩阵，并排除对角线元素
lower_tri_wo_diag = np.tril(Shortest_D_matrix, k=-1)
# 获取下三角矩阵（不含对角线）的索引
rows, cols = np.tril_indices(Shortest_D_matrix.shape[0], k=-1)
# 使用索引从原矩阵中取出对应的元素。这是因为无向图图距离为对称矩阵，节点成对距离 (非对角线元素) 重复
list_shortest_distances = Shortest_D_matrix[rows, cols]
# 使用numpy.unique函数获取独特值及其出现次数。例如np.unique([1, 1, 2, 2, 3, 3])返回[1,2,3]
unique_values, counts = np.unique(list_shortest_distances,
return_counts=True)
print(unique_values)
# 绘制柱状图
plt.figure(figsize = (14,9))
plt.bar(unique_values, counts, color = 'green')
plt.xlabel('Graph distance')
plt.ylabel('Count')
plt.savefig('图距离柱状图.svg')
3、平均图距离
- 平均图距离 ：任意节点和其他节点都存在图距离；这些距离的平均值即为该节点的平均图距离。------图距离矩阵每行或每列所有元素 (对角线以外) 取均值。
python
# 节点平均距离。返回一个数组，元素依次是每个节点的平均图距离（平均最短路径边数）
average_path_lengths = [
np.mean(list(spl.values())) for spl in distances_all.values()
]
average_all = np.mean(average_path_lengths) # 所有节点平均图距离取均值。用于画一条红线进行比较
# 绘制每个节点的平均图距离柱状图
plt.figure(figsize = (14,9))
plt.bar(G.nodes(),average_path_lengths,color = 'green')
plt.axhline(y = average_all, c = 'r')
plt.xlabel('Node label')
plt.ylabel('Average node graph distance')
plt.savefig('节点平均图距离.svg')
python
# 绘制每个平均图距离数值的频数图（直方图）
plt.figure(figsize = (14,9))
plt.hist(average_path_lengths, ec = 'k',color = 'g')
plt.axvline(x = average_all, c = 'r')
plt.xlabel('Average node graph distance')
plt.ylabel('Count')
plt.savefig('节点图距离直方图.svg')
也可根据节点平均图距离大小渲染节点：
python
dict_ave_graph_d = {index: value for index, value in enumerate(average_path_lengths)}
# 根据节点平均图距离大小渲染节点
unique_ave_graph_d = set(average_path_lengths)
# 取出节点离心率独特值
# colors = plt.cm.RdYlBu(np.linspace(0, 1, len(unique_ave_graph_d)))
# 独特值的颜色映射
plt.figure(figsize = (14,9))
nx.draw_networkx(G, pos,
cmap = 'RdYlBu_r',
with_labels = True,
node_color = average_path_lengths)
plt.savefig('根据平均图距离大小渲染节点.svg')
上图暖色系节点代表此节点的平均图距离较大，也就说这些节点在这个社区关系中更"边缘"；相反冷色系代表节点平均距离更小，即这群节点更"中心"（该节点起关键作用）。
平均图距离 帮助理解一个节点在整个网络中的位置以及它与其他节点的**相对接近度，**提供了对网络连通性和结构特性的洞察。
4、离心率
- 定义为该节点到图中所有其他节点的最短路径中的最长路径的长度（离该节点图距离的最大值）------用nx.eccentricity计算
- 并不是传统意义上的圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的离心率
- 离心率越小 的节点，通常意味着它在图中的位置越"中心" ，即它到其他节点的距离都相对较短
- 识别网络中的关键节点，如信息传播的中心或意见领袖、优化运输路径，提高物流效率、分析疾病传播的速度和范围，从而制定有效的防控策略等
python
eccentricity = nx.eccentricity(G)# 计算每个节点离心率。返回一个字典------节点标签：离心率
eccentricity_list = list(eccentricity.values()) #只取字典values并转化为列表
# 自定义函数，过滤dict。
#过滤出所有值等于 unique 的键值对，并将这些键值对存储在新的字典 newDict 中返回。这是为了后续节点颜色映射的方便。离心率相同的被映射为相同的颜色
def filter_value(dict_, unique):
newDict = {}
for (key, value) in dict_.items():
if value == unique:
newDict[key] = value
return newDict
# 根据离心率大小渲染节点
unique_ecc = set(eccentricity_list)# 取出节点离心率独特值
colors = plt.cm.RdYlBu(np.linspace(0, 1, len(unique_ecc)))# 独特值的颜色映射
plt.figure(figsize = (14,9))
nx.draw_networkx_edges(G, pos)# 绘制图的边
# 分别绘制不同离心率
for deg_i, color_i in zip(unique_ecc,colors):
dict_i = filter_value(eccentricity,deg_i)
nx.draw_networkx_nodes(G, pos,
nodelist = list(dict_i.keys()),
node_color = color_i) #绘制不同离心率节点，用不同颜色渲染节点
labels = {node: node for node in G.nodes()} # 使用节点ID作为标签的示例
nx.draw_networkx_labels(G, pos, labels=labels, font_size=14) # 调整font_size以适应你的图形
plt.savefig('根据离心率大小渲染节点.svg')
也可以绘制节点-离心率bar柱状图 、**离心率-频数图（离心率直方图）**进行更多侧面信息的统计可视化！
5、图直径/边缘点/半径/中心点
图直径：
- 图距离矩阵中的最大值；所有节点离心率的最大值
- 非连通图 （至少一对节点间无路径相连）的图直径无穷大
- 衡量图的大小和稀疏程度 的指标、提供了对图整体大小和节点之间最远距离的感知、大小反映了图的大致尺寸，被用作衡量图的全局性质的一个指标
- 一幅图如果直径较大，这说明图中存在一些较为疏远的节点。
边缘点：
- 离心率最大的节点 ，即该节点的离心率等于图直径
- 可能不止一个
python
list_periphery = list(nx.periphery(G)) # 获取图的边缘点
plt.figure(figsize = (14,9))
nx.draw_networkx(G, pos, node_color = 'green')
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,
nodelist = list_periphery,
node_color = 'r')
plt.savefig('空手道俱乐部图，边缘点.svg')
图半径：
- 不是图直径的一半，是所有节点离心率的最小值
- 描述图的"紧凑性"。半径越小， 表示网络中任意两点之间的最远距离越短，网络越紧凑
中心点：
- 离心率最小的节点 ，即该节点的离心率等于图半径
- 可能不止一个
python
list_centers = list(nx.center(G)) # 获取图的中心点
plt.figure(figsize = (14,9))
nx.draw_networkx(G, pos, node_color = 'green')
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,
nodelist = list_centers,
node_color = 'r')
plt.savefig('空手道俱乐部图，中心点.svg')