一、暴力搜索（DFS） O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
1.1）思路解析
1、注意和01背包的区别在于每个物品可以无限次选择
- 注意在完全背包中，当一个物品被选择过一次，我们仍然需要考虑是否继续选择这个物品
- 01背包：
max(dfs(x + 1, Spv), dfs(x + 1, Spv - vi[x]) + wi[x])//不选/选 - 完全背包：
max(dfs(x+1,Spv),dfs(x,Spv-vi[x])+wi[x]) //不选/选
- 01背包：
2、注意当选这个物品的时候，下一次应该继续考虑这个物品是否继续选择，所以是dfs(x,Spv-vi[x])+wi[x]
1.2）代码解析
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1007;
int vi[N],wi[N];
int n, v;
int dfs(int x, int Spv)//从第x件物品开始，当前剩余容量为Spv
{
if(x>n) return 0;
if(Spv<vi[x]) return dfs(x+1,Spv); //物品体积太大，选不了
else return max(dfs(x+1,Spv),dfs(x,Spv-vi[x])+wi[x]);
}
void solve()
{
cin >> n >> v;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> vi[i]>>wi[i];
}
int res=dfs(1,v);
cout<<res<<'\n';
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int _ =1; //cin >> _;
while (_--) solve();
system("pause");
return 0;
}二、记忆化搜索 O ( n ∗ v ) O(n*v) O(n∗v)
2.1）思路解析
1、相比所谓的暴力搜索，优化了大量的时间复杂度（指数级->线性级）
2、所谓记忆化搜索，就是把DFS计算过的数据不再重复计算（用一个mem数组存储状态）
PS ：记忆化数组的数据个数一般和DFS函数的参数一致
2.2）代码解析
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1007;
int vi[N],wi[N];
int n, v;
int mem[N][N];
int dfs(int x, int Spv)//从第x件物品开始，当前剩余容量为Spv
{
if(mem[x][Spv]) return mem[x][Spv];
if(x>n) return 0;
if(Spv>=vi[x]) //表示可以选
{
//选/不选
return mem[x][Spv]=max(dfs(x,Spv-vi[x])+wi[x],dfs(x+1,Spv));
}
else //空间不够，不能拿当前物品
{
return mem[x][Spv]=dfs(x+1,Spv);
}
}
void solve()
{
cin >> n >> v;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> vi[i]>>wi[i];
}
cout<<dfs(1,v)<<'\n';
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int _ =1; //cin >> _;
while (_--) solve();
system("pause");
return 0;
}三、倒序动态规划
3.1）思路解析
1、典型的空间换时间的做法，相比于搜索，节约了大量的时间复杂度
2、动态规划的for循环变量的参数，应该与DFS边界的限制的参数相同（例如：本题目中，边界与物品数量X、剩余的体积SPV有关）所以循环为n/v作为参数
- 因为在递归中，只有归才是产生答案的过程，所以可以从边界直接开始推出答案
3.2）代码解析
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1007;
int vi[N],wi[N];
int n, v;
int mem[N][N];
int f[N][N];
// int dfs(int x, int Spv)//从第x件物品开始，当前剩余容量为Spv
// {
// if(mem[x][Spv]) return mem[x][Spv];
// if(x>n) return 0;
// if(Spv>=vi[x]) //表示可以选
// {
// //选/不选
// return mem[x][Spv]=max(dfs(x,Spv-vi[x])+wi[x],dfs(x+1,Spv));
// }
// else //空间不够，不能拿当前物品
// {
// return mem[x][Spv]=dfs(x+1,Spv);
// }
// }
void solve()
{
cin >> n >> v;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> vi[i]>>wi[i];
}
//cout<<dfs(1,v)<<'\n';
for(int i=1;i<=n;i++) //第几个物品
{
for(int j=0;j<=v;j++) //体积值
{
if(j>=vi[i]) 表示可以选
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-vi[i]]+wi[i]); //不选/选
else //空间不够，不能拿当前物品
f[i][j]=f[i-1][j];
}
}
cout<<f[n][v];
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int _ =1; //cin >> _;
while (_--) solve();
system("pause");
return 0;
}四、顺序动态规划
4.1）思路解析
1、倒序遍历物品总是怪怪的，那么可不可以正序枚举呢，当然是可以的。
- PS：正序枚举相当于以 n − > 1 n->1 n−>1开始递归，此时边界刚刚好是为 1 1 1，所以循环从 1 1 1开始
4.2）代码解析
c
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1007;
int vi[N],wi[N];
int n, v;
int mem[N][N];
int f[N][N];
// int dfs(int x, int Spv)//从第x件物品开始，当前剩余容量为Spv
// {
// if(mem[x][Spv]) return mem[x][Spv];
// int sum=0;
// if(x>n) sum= 0;
// else if(Spv<vi[x]) sum= dfs(x+1,Spv); //物品体积太大，选不了
// else sum= max(dfs(x+1,Spv),dfs(x,Spv-vi[x])+wi[x]);
// mem[x][Spv]=sum;
// return sum;
// }
void solve()
{
cin >> n >> v;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> vi[i]>>wi[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++) //变为正序递推
{
for(int j=0;j<=v;j++)
{
if(j<vi[i]) f[i][j]=f[i-1][j]; //选不了
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-vi[i]]+wi[i]); //不选/选
}
}
cout<<f[n][v];
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int _ =1; //cin >> _;
while (_--) solve();
system("pause");
return 0;
}五、二维-->一维(空间优化)
5.1）思路解析
- 注意完全背包的二维的遍历应该是顺序枚举，为什么呢？
1、看下图，如果是正序的话，那么结果就会从：i 的状态--> i-1的状态
- 也就是从已经拿过第
i件商品的情况下，考虑在相同体积下是否要继续拿第i件商品
2、而物品 i i i的状态此时表明已经考虑过了 i i i这个物品，也就是已经选过了 i i i
3、那么此时就变成了从这个物品已经选过的状态--->下一个状态，那么此时，就表明这个物品就重复选了！！！，这就变成了完全背包！！！
5.2）代码解析
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1007;
int vi[N],wi[N];
int n, v;
int mem[N][N];
int f[N];
// int dfs(int x, int Spv)//从第x件物品开始，当前剩余容量为Spv
// {
// if(mem[x][Spv]) return mem[x][Spv];
// if(x>n) return 0;
// if(Spv>=vi[x]) //表示可以选
// {
// //选/不选
// return mem[x][Spv]=max(dfs(x,Spv-vi[x])+wi[x],dfs(x+1,Spv));
// }
// else //空间不够，不能拿当前物品
// {
// return mem[x][Spv]=dfs(x+1,Spv);
// }
// }
void solve()
{
cin >> n >> v;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> vi[i]>>wi[i];
}
//cout<<dfs(1,v)<<'\n';
for(int i=1;i<=n;i++) //第几个物品
{
for(int j=0;j<=v;j++) //体积值
{
if(j>=vi[i]) f[j]=max(f[j],f[j-vi[i]]+wi[i]); //不选/选
}
}
cout<<f[v];
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int _ =1; //cin >> _;
while (_--) solve();
system("pause");
return 0;
}总结：
