图论-最短路Dijkstra算法

目录

本篇文章将详细介绍Dijkstra最短路算法,从它的实现原理一步一步分析,从基本的思想到算法的优化一步步剖析,耐心看完哦~

Dijkstra算法解释

迪杰斯特拉算法是基于贪心思想单源的最短路算法。

变量解释

e[u]用来存储节点u的所有出边的终点和边权。
d[u]存u到源点s的最小距离。
vis[u]用来标记u是否出圈。

  • 1.初始时,所有点都在集合内,初始化vis=0,d[s]=0,d[其他节点]=INT_MAX(因为要最小,所以初始化最大)。
  • 2.从圈内选一个距离最小的点u,打上标记移出圈。
  • 3.对u的所有出边执行操作(尝试更新邻点v的最小距离)
  • 4.重复2,3,直到圈内为空。

缺点:

如果边权有负数就会出错。

图示:

步骤3:

代码展示

cpp 复制代码
struct edug{
	int v,w;//存出边的终点和边权 
}; 
vector<edge>e[N];//邻接表法建树
int d[N],vis[N];//存最小距离和访问状态
void dijkstra(int s)
{
	for(int i=0;i<=n;i++)d[i]=INT_MAX;//初始化为最大 
	d[s]=0;//起始点即源点最小距离就是0 
	for(int i=1;i<n;i++)//枚举n-1次
	{
		int u=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)//枚举点 
		if(!vis[j]&&d[j]<d[u])u=j;//如果没被访问过,并且有更小的距离就更新
		vis[u]=1;//更新u已经被访问过
		for(auto x:e[u])//枚举u的每个邻点
		{
			int v=x.v,w=x.w;
			if(d[u]+w)<d[v])//有更小距离就更新
			d[v]=d[u]+w; 
		 } 
	 } 
 } 
 int main()
 {
 	cin>>n>>m>>s;
 	for(int i=0;i<m;i++)
 	cin>>a>>b>>c,e[a].push_back({b,c});
 	dijkstra(s);
 }

这样操作下来的时间复杂度为O( n 2 n^2 n2+m)还是比较大的,数据范围大一些就用不了。

优化

可以观察每一轮更新的点数是有限的,以及还有一些已经被pass掉的点不必要再去枚举,因此我们可以用优先队列来维护,每次只需与到源点最近的距离比较即可,不必枚举所有

由于用pair类型创建小根堆比较复杂,所以我们可以创建一个大根堆,将参数取负,那么实际上也就是小根堆的道理。时间复杂度优化为O(mlogm)
代码展示

cpp 复制代码
struct edug{
	int v,w;
}; 
vector<edge>e[N];
int d[N],vis[N];
priority_queue<pair<int,int>>q;
void dijkstra(int s)
{
	for(int i=0;i<=n;i++)d[i]=INT_MAX;
	d[s]=0;q.push({0,s});
	while(q.size())
	{
		auto t=q.top();q.pop();
		int u=t.second;
		if(vis[u])continue;//如果已经出队就不做处理 
		vis[u]=1;//标记已经出队 
		for(auto x:e[u])
		{
			int v=x.v,w=x.w;
			if(d[u]+w<d[v])
			{
				d[v]=d[u]+w;
				q.push({-d[v],v}); 
			}
		}
	}
}

路径的记录与递归输出

cpp 复制代码
struct edug{
	int v,w;
}; 
vector<edge>e[N];
int d[N],vis[N];
priority_queue<pair<int,int>>q;
void dijkstra(int s)
{
	for(int i=0;i<=n;i++)d[i]=INT_MAX;
	d[s]=0;q.push({0,s});
	while(q.size())
	{
		auto t=q.top();q.pop();
		int u=t.second;
		if(vis[u])continue;//如果已经出队就不做处理 
		vis[u]=1;//标记已经出队 
		for(auto x:e[u])
		{
			int v=x.v,w=x.w;
			if(d[u]+w<d[v])
			{
				d[v]=d[u]+w;
				pre[v]=u;//记录前驱点 
				q.push({-d[v],v}); 
			}
		}
	}
}
void dfs_path(int u)
{
	if(u==s)
	{
		cout<<u<<" ";
		return ;
	}
	dfs_path(pre[u]);
	cout<<u<<" ";
 } 
相关推荐
极客BIM工作室22 分钟前
深入理解C++中的Lazy Evaluation:延迟计算的艺术
开发语言·c++
roman_日积跬步-终至千里37 分钟前
【机器学习】“回归“算法模型的三个评估指标:MAE(衡量预测准确性)、MSE(放大大误差)、R²(说明模型解释能力)
算法·机器学习·回归
kokunka40 分钟前
【数据结构】栈的顺序存储(整型栈、字符栈)
数据结构
皮蛋瘦肉粥_1212 小时前
代码随想录day52图论3
图论
骑着猪去兜风.2 小时前
搜索与图论(最小生成树 二分图)
图论
KyollBM2 小时前
【CF】Day115——杂题 (构造 | 区间DP | 思维 + 贪心 | 图论 + 博弈论 | 构造 + 位运算 | 贪心 + 构造 | 计数DP)
图论
王德博客3 小时前
【从基础到实战】STL string 学习笔记(上)
c++·笔记·学习
赴3353 小时前
逻辑回归 银行贷款资格判断案列优化 交叉验证,调整阈值,下采样与过采样方法
算法·机器学习·逻辑回归·下采样·交叉验证·过采样·阈值
2501_924878733 小时前
无人机光伏巡检缺陷检出率↑32%:陌讯多模态融合算法实战解析
开发语言·人工智能·算法·视觉检测·无人机