AI探索笔记：线性回归

前言

写这篇博客，主要是自己来练练手。网络上教程已经是数不胜数，也都讲得非常清楚了。但自己不动手，知识和能力还是别人的。下面分别用传统方法（sklearn）和神经网络（pytorch）来解决线性回归问题。

内容

什么是线性回归

线性回归（Linear Regression）是统计学和机器学习中最基础且广泛使用的预测模型，用于建立**自变量（输入特征）与因变量（输出目标）**之间的线性关系模型。其核心思想是通过一条直线（或超平面）拟合数据点，以实现对连续型数值的预测。

核心概念与公式

适用场景

预测连续值：如房价预测、销售额预测、温度趋势分析等。
因果关系初探：分析自变量对因变量的影响方向和强度（需谨慎，需排除混杂因素）。
基线模型：作为复杂模型（如神经网络）的对比基准。

关键假设

线性回归的有效性依赖于以下假设：

线性关系：自变量与因变量呈线性关系。
独立性：样本之间相互独立（无自相关）。
同方差性：误差项的方差恒定。
正态性：误差项服从正态分布（对参数估计的统计推断有影响）。
无多重共线性：自变量之间高度相关会降低模型稳定性。

优缺点

优点	缺点
简单易懂，计算高效	仅能建模线性关系，无法处理非线性问题
结果可解释性强（系数直接反映影响）	对异常值和噪声敏感
统计推断明确（如p值、置信区间）	需严格满足模型假设

示例

场景：预测房屋价格（单位：万元）

自变量：面积（㎡）、房间数、地理位置评分
模型：房价=10+0.5×面积+3×房间数+2×地理位置
解读：面积每增加1㎡，房价预计上涨0.5万元；每多一间房，房价上涨3万元。

扩展：正则化线性回归

为应对过拟合或特征共线性，可引入正则化技术：

岭回归（Ridge）：在损失函数中加入L2正则化项（控制系数大小）。
Lasso回归：加入L1正则化项（可实现特征选择，稀疏化系数）。

线性回归是机器学习的基石，理解它有助于后续学习更复杂的模型（如逻辑回归、神经网络）。实际应用中需结合数据特性验证假设或调整模型。

传统方法（sklearn）解法

Scikit-learn是一个基于Python语言的机器学习库，它提供了广泛的机器学习算法，包括但不限于支持向量机、随机森林、梯度提升机、k-近邻、逻辑回归、线性回归、岭回归、套索回归、弹性网回归、朴素贝叶斯、决策树、集成方法、聚类算法如k-均值、层次聚类、DBSCAN、谱聚类以及降维技术如主成分分析、线性判别分析、t-SNE等，通过简单易用的API和详细的文档，它为研究人员和开发者提供了一个强大的工具箱，用于数据挖掘和数据分析任务。

以下是一个使用Python和Scikit-learn库实现的简单线性回归示例代码：

python 复制代码

from sklearn.linear_model import LinearRegression
import numpy as np
# 示例数据
# 自变量（特征）
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]])
# 因变量（目标值）
y = np.array([1, 2, 2.5, 4, 5])
# 创建线性回归模型实例
model = LinearRegression()
# 训练模型
model.fit(X, y)
# 预测
# 例如，预测X为6时的y值
X_new = np.array([[6]])
y_pred = model.predict(X_new)
# 打印模型参数（斜率和截距）
slope = model.coef_[0]
intercept = model.intercept_
print("斜率:", slope)
print("截距:", intercept)
print("预测值:", y_pred[0])

在这个例子中，我们使用了一个特征X和一个目标值y。模型训练后，我们预测了当X为6时的y值。模型的斜率是1.0，截距是-0.1。因此，当X为6时，预测的y值约为5.9。

在Scikit-learn库中，线性回归是通过LinearRegression类实现的。这个类使用了最小二乘法来估计线性模型的参数。下面是LinearRegression类的基本实现原理和代码示例：

数据准备：确保输入数据是数值型，并且特征矩阵是二维数组，目标变量是一维数组。

模型创建：创建一个LinearRegression类的实例。

模型拟合：使用.fit()方法来训练模型，它会计算最佳拟合直线。

预测：使用.predict()方法来进行预测。

下面是Scikit-learn中LinearRegression类的简化版伪代码，展示了它的基本结构：

python 复制代码

from sklearn.base import BaseEstimator, RegressorMixin
from sklearn.utils.validation import check_X_y, check_array, check_is_fitted
from sklearn.utils.extmath import safe_sparse_dot
import numpy as np
class LinearRegression(BaseEstimator, RegressorMixin):
    def __init__(self, fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=None):
        # 初始化模型参数
        self.fit_intercept = fit_intercept
        self.normalize = normalize
        self.copy_X = copy_X
        self.n_jobs = n_jobs
    def fit(self, X, y):
        # 检查输入数据
        X, y = check_X_y(X, y, accept_sparse=['csr', 'csc', 'coo'],
                         y_numeric=True, multi_output=True)
        # 标准化数据（如果需要）
        if self.normalize:
            X = self._normalize(X)
        # 添加截距项（如果需要）
        if self.fit_intercept:
            X = np.hstack((np.ones((X.shape[0], 1)), X))
        # 使用最小二乘法计算权重
        self.coef_, self.residues_, self.rank_, self.singular_ = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=-1)
        self.coef_ = self.coef_.T
        # 如果添加了截距项，则调整权重和截距
        if self.fit_intercept:
            self.intercept_ = self.coef_[0]
            self.coef_ = self.coef_[1:]
        else:
            self.intercept_ = 0.
        # 返回拟合的模型
        return self
    def predict(self, X):
        # 检查模型是否已经拟合
        check_is_fitted(self)
        # 检查输入数据
        X = check_array(X, accept_sparse=['csr', 'csc', 'coo'])
        # 标准化数据（如果需要）
        if self.normalize:
            X = self._normalize(X)
        # 添加截距项（如果需要）
        if self.fit_intercept:
            X = np.hstack((np.ones((X.shape[0], 1)), X))
        # 进行预测
        return safe_sparse_dot(X, self.coef_.T) + self.intercept_
    def _normalize(self, X):
        # 标准化特征
        # ...
        return X
# 使用示例
# 创建模型实例
model = LinearRegression()
# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)
# 进行预测
predictions = model.predict(X_test)

这个伪代码展示了LinearRegression类的基本结构，实际代码会更加复杂，包含更多的输入验证、错误处理和优化。在Scikit-learn的源代码中，LinearRegression类的实现会涉及到更多细节，比如多输出回归、稀疏矩阵的支持、并行计算等。如果需要查看详细的实现，可以直接查看Scikit-learn库的源代码。

神经网络（pytorch）

在PyTorch中解决线性回归问题，我们首先需要构建一个简单的神经网络模型，该模型将只包含一个线性层，因为我们正在尝试学习一个线性关系。以下是如何使用PyTorch来实现线性回归的步骤：

导入必要的库

创建模拟数据集

定义一个简单的神经网络模型

选择损失函数和优化器

训练模型

评估模型

以下是具体的代码实现：

python 复制代码

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
# 1. 创建模拟数据集
# 真实的线性关系: y = 2x + 1
x_data = torch.tensor([[1.0], [2.0], [3.0], [4.0]])
y_data = torch.tensor([[3.0], [5.0], [7.0], [9.0]])
# 2. 定义一个简单的神经网络模型
class LinearRegressionModel(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(LinearRegressionModel, self).__init__()
        self.linear = nn.Linear(in_features=1, out_features=1)  # 一个输入特征和一个输出特征
    def forward(self, x):
        return self.linear(x)
model = LinearRegressionModel()
# 3. 选择损失函数和优化器
criterion = nn.MSELoss()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)
# 4. 训练模型
for epoch in range(100):
    # 前向传播
    y_pred = model(x_data)
    # 计算损失
    loss = criterion(y_pred, y_data)
    # 反向传播
    optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()
    if (epoch+1) % 10 == 0:
        print(f'Epoch [{epoch+1}/100], Loss: {loss.item():.4f}')
# 5. 评估模型
with torch.no_grad():  # 在这个上下文中，我们不需要计算梯度
    predicted = model(x_data).data.numpy()
    expected = y_data.data.numpy()
    print(f'Predicted: {predicted.flatten()}, Expected: {expected.flatten()}')

在这个例子中，我们首先创建了一个包含四个数据点的简单线性关系的数据集。然后，我们定义了一个只有一个线性层的神经网络模型。我们使用了均方误差损失函数（MSELoss）和随机梯度下降优化器（SGD）来训练模型。最后，我们训练了模型100个epoch，并在每个10个epoch后打印出损失值，最后评估模型的预测结果。

请注意，这个例子使用了模拟数据，实际应用中你需要使用真实的数据集。此外，对于线性回归问题，通常情况下并不需要使用神经网络，因为线性回归模型已经足够简单且有效。但是，这个例子展示了如何在PyTorch中设置和训练一个神经网络模型。

总结

sklearn 是使用了最小二乘法来进行求解，而 pytorch则是做了一个只有一个神经元的神经网络。sklean中还有很多传统机器学习算法，在一些情况下还是很有用的。而pytorch则逐渐发展出来用于实现各种结构的神经网络。就像生物进化一样，发展出了不同分支，但都能适应一定的环境。

AI探索笔记：线性回归

前言

内容

什么是线性回归

核心概念与公式

适用场景

关键假设

优缺点

示例

扩展：正则化线性回归

传统方法（sklearn） 解法

神经网络（pytorch）

总结

传统方法（sklearn）解法